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安徽省宣城市八校2022学年高二上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

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2022-2022学年安徽省宣城市八校联考高二(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的)1.(5分)某校采用系统抽样,从该校高二年级全体1000名学生中抽取一个样本做视力检查.现将这1000名学生从1则1000进行编号,已知样本中编号最小的两个数分别是14、64,则样本中最大的编号应该为(  )A.966B.965C.964D.9632.(5分)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(  )A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,则输出s=(  )A.3B.﹣3C.2D.﹣24.(5分)现有一个k进制的数27(k),k为其所有可能取值中最小的正整数,则27(k)化为十进制为(  )A.24B.23C.22D.215.(5分)若集合A={3,a2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的(  )21/21\nA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)在5场篮球比赛中某篮球运动员A的得分所构成的样本为21,15,17,8,13.若篮球运动员B的得分所构成的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据,则A,B两名运动员得分所构成的两样本的下列数字特征对应相同的是(  )A.平均数B.众数C.中位数D.标准差7.(5分)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为60°,则该双曲线的标准方程为(  )A.B.C.D.8.(5分)下列命题中是真命题的是(  )A.∃x0∈R,B.∀x∈R,lg(x2+1)≥0C.若x2>x,则x>0”的逆命题D.若x<y,则x2<y2”的逆否命题9.(5分)等边三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,O为坐标原点,则这个三角形的边长为(  )A.B.C.D.2p10.(5分)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为(  )A.3B.﹣3C.5D.﹣511.(5分)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(  )A.3B.2C.D.21/21\n12.(5分)已知函数f(x)=xlnx﹣aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是(  )A.B.(0,e)C.D.(﹣∞,e)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.(5分)命题:∃x0∈R,x02+2x0+2<0的否定  .14.(5分)某人发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,则他等待的时间不多于15分钟的概率为  .15.(5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,;则C的实轴长为  .16.(5分)若函数f(x)=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是  .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(10分)现将某校高二年级某班的学业水平测试数学成绩分为[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)五组,绘制而成的茎叶图、频率分布直方图如下,由于工作疏忽,茎叶图有部分被损坏,频率分布直方图也不完整,请据此解答如下问题:(注:该班同学数学成绩均在区间[50,100)内)(1)将频率分布直方图补充完整.(2)该班希望组建两个数学学习互助小组,班上数学成绩最好的两位同学分别担任两组组长,将此次成绩低于60分的同学作为组员平均分到两组,即每组有一名组长和两名成绩低60分的组员,求此次考试成绩为52分、54分和98分的三名同学分到同一组的概率.18.(12分)p:关于x的方程x2+(a﹣2)x+4=0无解,q:2﹣m<a<2+m(m>0)(1)若m=5时,“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.21/21\n(2)当命题“若p,则q”为真命题,“若q,则p”为假命题时,求实数m的取值范围.19.(12分)企业需为员工缴纳社会保险,缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资(单位:元)的8%缴纳,年份20222022202220222022t12345y270330390460550某企业员工甲在2022年至2022年各年中每月所撒纳的养老保险数额y(单位:元)与年份序号t的统计如下表:(1)求出t关于t的线性回归方程;(2)试预测2022年该员工的月平均工资为多少元?附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:(注:==,=,其中tiyi=6440)20.(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y1y2=﹣4.(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;(Ⅱ)已知点P(﹣1,k),且△PAB的面积为6,求k的值.21.(12分)已知函数f(x)=x2﹣(a﹣2)x﹣alnx(a∈R).(1)求函数y=f(x)的单调区间.(2)当a=3时,证明:对任意x>0,都有f(x)≥2(1﹣x)成立.21/21\n22.(12分)已知椭圆的左顶点为A,右焦点为F2(2,0),点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上,是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.21/21\n2022-2022学年安徽省宣城市八校联考高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的)1.(5分)某校采用系统抽样,从该校高二年级全体1000名学生中抽取一个样本做视力检查.现将这1000名学生从1则1000进行编号,已知样本中编号最小的两个数分别是14、64,则样本中最大的编号应该为(  )A.966B.965C.964D.963【分析】求出样本间隔和样本容量,结合系统抽样的定义进行求解即可.【解答】解:样本间隔为64﹣14=50,共抽取1000÷50=20个,则最大的编号应该为14+19×50=964,故选:C.【点评】本题主要考查系统抽样的应用,求出样本间隔和样本容量,结合等差数列的公式是解决本题的关键.2.(5分)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(  )A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.以上都不对【分析】由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.【解答】解:根据题意,把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,则两者是互斥事件,但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外,还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”,则两者不是对立事件.∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件.21/21\n故选:B.【点评】本题考查了互斥事件与对立事件,考查了互斥事件与对立事件的概念,是基础的概念题.3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,则输出s=(  )A.3B.﹣3C.2D.﹣2【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的s,k值,当k=5时,程序终止即可得到结论.【解答】解:执行程序框图,a=1,k=1,s=0,满足条件k≤4,执行循环,s=1,a=﹣1,k=2;满足条件k≤4,执行循环,s=﹣1,a=1,k=3;满足条件k≤4,执行循环,s=2,a=﹣1,k=4;满足条件k≤4,执行循环,s=﹣2,a=1,k=5;此时,不满足条件k≤4,退出循环输出S的值为﹣2.故选:D.【点评】本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查,比较基础.4.(5分)现有一个k进制的数27(k),k为其所有可能取值中最小的正整数,则27(k)化为十进制为(  )21/21\nA.24B.23C.22D.21【分析】由已知可求k的值,利用k进制数化为十进制数的方法即可得解.【解答】解:∵k进制的数27(k),k为其所有可能取值中最小的正整数,∴k=8,∴27(8)=2×81+7×80=23.故选:B.【点评】本题考查了k进制数化为十进制数的方法,考查了计算能力,属于基础题.5.(5分)若集合A={3,a2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】可以根据充要条件的定义进行判断,解题的关键是理清思路.【解答】解:∵“a=2”⇒A={3,4},又B={2,4},⇒“A∩B={4}”;反之不成立;∴“a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.故选:A.【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.6.(5分)在5场篮球比赛中某篮球运动员A的得分所构成的样本为21,15,17,8,13.若篮球运动员B的得分所构成的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据,则A,B两名运动员得分所构成的两样本的下列数字特征对应相同的是(  )A.平均数B.众数C.中位数D.标准差【分析】根据平均数、众数、中位数和标准差的定义,结合题意,即可判断出正确的结果.【解答】解:A的样本数据为21,15,17,8,13;B的样本数据恰好是A样本数据每个都减3后所得的数据,则A样本数据比B两样本数据的平均数大3,众数大3,中位数也大3,标准差相同.21/21\n故选:D.【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和标准差的定义与应用问题,是基础题.7.(5分)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合,其一条渐近线的倾斜角为60°,则该双曲线的标准方程为(  )A.B.C.D.【分析】求出抛物线的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程得到a,b关系,求解即可.【解答】解:抛物线x2=24y的焦点:(0,6),可得c=6,双曲线的渐近线的倾斜角为60°,双曲线的焦点坐标在y轴上.可得,即=,36=a2+b2,解得a2=27,b2=9.所求双曲线方程为:.故选:C.【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.8.(5分)下列命题中是真命题的是(  )A.∃x0∈R,B.∀x∈R,lg(x2+1)≥0C.若x2>x,则x>0”的逆命题D.若x<y,则x2<y2”的逆否命题【分析】直接利用排除法和命题的真假的判断求出结果.【解答】解:对于选项A,对于∃x0∈R,为假命题.故错误,对于选项C:当0<x<1时,逆命题不成立.21/21\n对于选项D:若“x<y,则x2<y2”为假命题,故逆否命题为假命题.故选:B.【点评】本题考查的知识要点:简易逻辑的应用,不等式的应用,等价命题的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.9.(5分)等边三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,O为坐标原点,则这个三角形的边长为(  )A.B.C.D.2p【分析】根据抛物线的对称性可知,若正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则另外两个定点关于x轴对称,就可的直线OA的倾斜角,据此求出直线OA的方程,与抛物线方程联立解出A点坐标,就可求出正三角形的边长.【解答】解:∵抛物线y2=2px关于x轴对称,∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则A,B点关于x轴对称,∴直线OA倾斜角为30•斜率为∴直线OA方程为y=x,由得,,∴A(6p,2p),则B(6p,﹣2p),∴|AB|=4p∴这个正三角形的边长为4p.故选:C.21/21\n【点评】本题主要考查了抛物线的对称性,直线方程的点斜式,以及曲线交点的求法,属于圆锥曲线的综合题.10.(5分)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为(  )A.3B.﹣3C.5D.﹣5【分析】因为(1,3)是直线与曲线的交点,所以把(1,3)代入直线方程即可求出斜率k的值,然后利用求导法则求出曲线方程的导函数,把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率,让斜率等于k列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切点坐标和a的值代入曲线方程,即可求出b的值.【解答】解:把(1,3)代入直线y=kx+1中,得到k=2,求导得:y′=3x2+a,所以y′x=1=3+a=2,解得a=﹣1,把(1,3)及a=﹣1代入曲线方程得:1﹣1+b=3,则b的值为3.故选:A.【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题.11.(5分)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(  )A.3B.2C.D.【分析】根据M,N是双曲线的两顶点,M,O,N21/21\n将椭圆长轴四等分,可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍,利用双曲线与椭圆有公共焦点,即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值.【解答】解:∵M,N是双曲线的两顶点,M,O,N将椭圆长轴四等分∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍∵双曲线与椭圆有公共焦点,∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2故选:B.【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质,解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍.12.(5分)已知函数f(x)=xlnx﹣aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是(  )A.B.(0,e)C.D.(﹣∞,e)【分析】求出函数的导数,问题转化为y=a和g(x)=在(0,+∞)2个交点,根据函数的单调性求出g(x)的范围,从而求出a的范围即可.【解答】解:f′(x)=lnx﹣aex+1,若函数f(x)=xlnx﹣aex有两个极值点,则y=a和g(x)=在(0,+∞)有2个交点,g′(x)=,(x>0),令h(x)=﹣lnx﹣1,则h′(x)=﹣﹣<0,h(x)在(0,+∞)递减,而h(1)=0,故x∈(0,1)时,h(x)>0,即g′(x)>0,g(x)递增,x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g′(x)<0,g(x)递减,故g(x)max=g(1)=,而x→0时,g(x)→﹣∞,x→+∞时,g(x)→0,若y=a和g(x)在(0,+∞)有2个交点,只需0<a<,故选:A.21/21\n【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题.二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.(5分)命题:∃x0∈R,x02+2x0+2<0的否定 ∀x∈R,x2+2x+2≥0. .【分析】存在性命题”的否定一定是“全称命题”.【解答】解:∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”,∴:∃x0∈R,x02+2x0+2<0的否定是:∀x∈R,x2+2x+2≥0.故答案为:∀x∈R,x2+2x+2≥0.【点评】命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”;“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”.14.(5分)某人发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,则他等待的时间不多于15分钟的概率为  .【分析】根据几何概型的定义求出等待的时间段,进行求解即可.【解答】解:在一个小时内对应的区间为[0,60],若等待的时间不多于15分钟,则此时对应的时间段在(0,15),则对应的概率P==,故答案为:.【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,转化为长度型是解决本题的关键.15.(5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于21/21\nA,B两点,;则C的实轴长为 4 .【分析】设出双曲线方程,求出抛物线的准线方程,利用,即可求得结论.【解答】解:设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ.(1)∵抛物线y2=16x,2p=16,p=8,∴=4.∴抛物线的准线方程为x=﹣4.设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A(﹣4,y),B(﹣4,﹣y)(y>0),则|AB|=|y﹣(﹣y)|=2y=4,∴y=2.将x=﹣4,y=2代入(1),得(﹣4)2﹣(2)2=λ,∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4,即∴C的实轴长为4.故答案为:4【点评】本题考查抛物线,双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.16.(5分)若函数f(x)=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是 [1,) .【分析】先对函数进行求导,根据导函数大于0时原函数单调递增,导函数小于0时原函数单调递减得解.【解答】解:因为f(x)定义域为(0,+∞),又f'(x)=4x﹣,由f'(x)=0,得x=.据题意,,解得1≤k<故答案为:[1,)【点评】本题主要考查函数的单调性与导函数的关系.属基础题.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.21/21\n17.(10分)现将某校高二年级某班的学业水平测试数学成绩分为[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)五组,绘制而成的茎叶图、频率分布直方图如下,由于工作疏忽,茎叶图有部分被损坏,频率分布直方图也不完整,请据此解答如下问题:(注:该班同学数学成绩均在区间[50,100)内)(1)将频率分布直方图补充完整.(2)该班希望组建两个数学学习互助小组,班上数学成绩最好的两位同学分别担任两组组长,将此次成绩低于60分的同学作为组员平均分到两组,即每组有一名组长和两名成绩低60分的组员,求此次考试成绩为52分、54分和98分的三名同学分到同一组的概率.【分析】(1)由茎叶图得成绩在[50,60)中的人数为4人,由频率分布直方图得成绩在[50,60)中的人数所点的频率为0.08,从而总人数为50人,由此能把频率分布直方图补充完整.(2)与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能,由此能求出此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率.【解答】解:(1)由茎叶图得成绩在[50,60)中的人数为4人,由频率分布直方图得成绩在[50,60)中的人数所点的频率为0.008×10=0.08,∴总人数为4÷0.08=50人,∴成绩在[70,80)组的人数为50﹣4﹣14﹣12﹣4=16(人),∴频率分布直方图中成绩在[70,80)和[80,90)组高度分别为:16÷50÷10=0.032和12÷50÷10=0.024,∴频率分布直方图补充完整如下:21/21\n(2)与成绩为98分的同学同组的两名同学有如下6种可能:(52,54),(52,56),(52,57),(54,56),(54,57),(56,57),∴此次考试成绩为52分、54分和98分的三名学生恰好分到同一组的概率为.【点评】本题考查频率分布直方图的画法,考查概率的求法,考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.18.(12分)p:关于x的方程x2+(a﹣2)x+4=0无解,q:2﹣m<a<2+m(m>0)(1)若m=5时,“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.(2)当命题“若p,则q”为真命题,“若q,则p”为假命题时,求实数m的取值范围.【分析】(1)直接利用函数的性质和真值表的应用求出参数的取值范围.(2)直接利用四个条件的应用和集合间的关系的应用求出结果.【解答】解:(1)命题p:关于x的方程x2+(a﹣2)x+4=0无解,则:△=(a﹣2)2﹣16<0,解得:﹣2<a<6.命题:q:2﹣m<a<2+m(m>0)由于m=5,故:﹣3<a<7.由于“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,故:①p真q假②p假q真,故:①,无解.②21/21\n解得:﹣3<a≤﹣2或6≤a<7,故:a的取值范围是:﹣3<a≤﹣2或6≤a<7.(2)命题“若p,则q”为真命题,“若q,则p”为假命题时,故命题p为命题q的充分不必要条件.故:命题p表示的集合A={a|﹣2<a<6}是命题q表示的集合B={a|2﹣m<a<2+m(m>0)}的真子集.故:,解得:m≥4,当m=4时:A=B,故:m>4.【点评】本题考查的知识要点:真值表的应用,四个条件的应用,集合间的关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.19.(12分)企业需为员工缴纳社会保险,缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资(单位:元)的8%缴纳,年份20222022202220222022t12345y270330390460550某企业员工甲在2022年至2022年各年中每月所撒纳的养老保险数额y(单位:元)与年份序号t的统计如下表:(1)求出t关于t的线性回归方程;(2)试预测2022年该员工的月平均工资为多少元?附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:(注:==,=,其中tiyi=6440)【分析】(1)分别求出相关系数,求出回归方程即可;(2)求出t的值,代入回归方程求出y的预报值,求出平均工资即可.21/21\n【解答】解:(1)=3,=390,==59,∴=﹣=390﹣59×3=213,故=59t+213;(2)由题意得:t=7,故=59×7+213=626,故2022年度月平均工资是626÷0.08=7825(元).【点评】本题考查了求回归方程问题,考查代入求值,是一道中档题.20.(12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y1y2=﹣4.(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;(Ⅱ)已知点P(﹣1,k),且△PAB的面积为6,求k的值.【分析】(Ⅰ)设直线AB的方程为y=k(x﹣),代入抛物线,消x,利用y1y2=﹣4,求出p,即可求抛物线C的标准方程;(Ⅱ)求出P到直线AB的距离,|AB|,利用S△PAB=,△PAB的面积为6,求k的值.【解答】解:(Ⅰ)F(,0),设直线AB的方程为y=k(x﹣),…(2分)代入抛物线,消x,得:ky2﹣2py﹣kp2=0,…(4分)∴y1y2=﹣p2=﹣4,从而p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.…(6分)(Ⅱ)由已知,F(1,0),直线AB的方程为y=k(x﹣1),21/21\n代入抛物线方程,消x,得ky2﹣4y﹣4k=0,∴y1+y2=,y1y2=﹣4,…(8分)∴|AB|=•=4(1+).又∵P到直线AB的距离d=.…(10分)故△PAB的面积S==6=6.…(12分)故得k=±.…(14分)【点评】本题考查抛物线方程,直线与抛物线的位置关系,考查三角形面积的计算,属于中档题.21.(12分)已知函数f(x)=x2﹣(a﹣2)x﹣alnx(a∈R).(1)求函数y=f(x)的单调区间.(2)当a=3时,证明:对任意x>0,都有f(x)≥2(1﹣x)成立.【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)令g(x)=f(x)﹣2(1﹣x)=x2+x﹣3lnx﹣2,求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可.【解答】解:(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=2x﹣(a﹣2)﹣=,当a≤0时,f′(x)>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以,函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增;当a>0时,由f′(x)>0得x>,由f′(x)<0,得0<x<,所以,函数在区间(,+∞)上单调递增,在区间(0,)上单调递减;(2)a=3时,令g(x)=f(x)﹣2(1﹣x)=x2+x﹣3lnx﹣2,则g′(x)=2x+1﹣=,∵x>0,∴x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)递减,x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)递增,21/21\n故g(x)min=g(1)=0,故g(x)≥0,即f(x)≥2(1﹣x).【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题.22.(12分)已知椭圆的左顶点为A,右焦点为F2(2,0),点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上,是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据题意,由椭圆的焦点坐标分析可得c的值,又由B在椭圆上,可得,由椭圆的几何性质计算可得a2、b2的值,即可得椭圆的方程;(2)假设存在这样的点P,设P(x0,0),E(x1,y1),联立直线与椭圆的方程,变形可得(1+2k2)•x2﹣8=0,利用根与系数的关系用k表示、,由向量垂直与向量数量积的关系有,即可得答案.【解答】解:(1)依题意,椭圆右焦点为F2(2,0),c=2,∵点在C上,∴,又∵a2=b2+c2,∴a2=8,b2=4,∴椭圆方程为;(2)假设存在这样的点P,设P(x0,0),E(x1,y1),则F(﹣x1,﹣y1),联立直线与椭圆的方程,,解得21/21\n,,∴AE所在直线方程为,∴,同理可得,,,∴x0=2或x0=﹣2,∴存在点P,使得无论非零实数k怎么变化,总有∠MPN为直角,点P坐标为(2,0)或(﹣2,0).【点评】本题考查椭圆的几何性质与标准方程,涉及直线与椭圆的位置关系,关键是求出椭圆的标准方程.21/21

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所属: 高中 - 语文
发布时间:2022-08-25 20:31:12 页数:21
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文章作者:U-336598

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