安徽省芜湖市南陵县萃英园中学高一数学上学期期中试卷含解析

2022-2022学年安徽省芜湖市南陵县萃英园中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数f（x）=+的定义域是()A．2．已知f（2x﹣1）=x2+x，则f（5）的值为()A．30B．12C．6D．93．已知x∈{0，2，x2），则实数x的值为()A．1B．2C．0或1或2D．1或24．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x2，则当x∈（0，+∞）时，f（x）的表达式为()A．x+x2B．﹣x+x2C．﹣x﹣x2D．x﹣x25．方程组的解集为()A．（2，3）B．{（3，2）}C．（3，2）D．{（2，3）}6．已知f（x）=ax5+bx3+﹣8，且f（2）=5，则f（﹣2）的值为()A．﹣5B．21C．13D．﹣217．已知f（x）=，若f（x）=8，则x的值为()A．x=3或4B．x=±3或4C．x=﹣3或4D．4-12-\n8．已知函数f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数，则当x∈时，此函数的值域是()A．B．C．9．集合A={x|ax=2}，B={3}，且A⊆B，则实数a的值为()A．0或B．0或C．D．10．已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x﹣2在（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，1）C．B．C．（1）若m=2，求A∩B，A∪B；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围；（3）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．18．某市场经营一批进价为300元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数的关系，且销售单价为300元时，销售量是60件；销售单价为400元时，销售量是50件．（1）求出y与x的函数关系式y=f（x）；（2）设经营此商品的日销售利润为w元，根据上述关系，写出w关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少？19．定义在上的奇函数f（x），已知当x∈上的最大值；（2）若f（x）是（0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=loga且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判定f（x）的奇偶性．21．设函数f（x）=，a∈N*是奇函数，且f（1）=1，f（﹣2）＞﹣．-12-\n（1）求函数f（x）的解析式；（2）f（x）在（1，+∞）上的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．22．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y）．（1）求f（1）的值；（2）若f（x）在（1，+∞）上单调递增，①求证：f（x）在（0，1）上单调递增；②如果f（3）=1，解关于x的不等式f（5x）＞f（x﹣1）+2．-12-\n2022-2022学年安徽省芜湖市南陵县萃英园中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数f（x）=+的定义域是()A．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0求解x的取值集合得答案．【解答】解：由，解得：x≥1且x≠2．∴函数f（x）=+的定义域是6．已知f（x）=ax5+bx3+﹣8，且f（2）=5，则f（﹣2）的值为()A．﹣5B．21C．13D．﹣21【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由已知中f（x）的解析式，可得f（x）+f（﹣x）=﹣16，进而结合f（2）=5，可得f（﹣2）的值．【解答】解：∵f（x）=ax5+bx3+﹣8，∴f（﹣x）=﹣（ax5+bx3+）﹣8，∴f（x）+f（﹣x）=﹣16，又∵f（2）=5，∴f（﹣2）=﹣21，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的定义和性质，是解答的关键．-12-\n7．已知f（x）=，若f（x）=8，则x的值为()A．x=3或4B．x=±3或4C．x=﹣3或4D．4【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数，列出方程求解即可．【解答】解：f（x）=，f（x）=8，当x≤0时，x2﹣1=8，解得x=﹣3，当x＞0时，2x=8，解得x=4．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力．8．已知函数f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数，则当x∈时，此函数的值域是()A．B．C．【考点】函数的值域．【专题】数形结合；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数，可得，解得a．再利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=（a2﹣3a+3）ax是指数函数，∴，解得a=2．∴y=2x．则当x∈时，∴2﹣1≤2x≤22，此函数的值域是．-12-\n故选：B．【点评】本题考查了指数函数的定义单调性值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．集合A={x|ax=2}，B={3}，且A⊆B，则实数a的值为()A．0或B．0或C．D．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；综合法；集合．【分析】分类讨论，利用A⊆B，求出实数a的值．【解答】解：若a=0，即A=∅时，满足条件．若a≠0，则A={}，若A⊆B，则=3，解得a=．则实数a的取值为0或故选：B．【点评】本题主要考查集合关系的应用，注意当A为空集时，也满足条件，防止漏解．10．已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x﹣2在（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，3]B．（﹣∞，1）C．．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11．已知函数y=log2（ax2﹣4x+4）的定义域为R，则实数a的取值范围是()A．（0，1]B．C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．已知函数f（x+l）的定义域为（1，+∞），则f（1﹣x）的定义域为（﹣∞，﹣1）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；高考数学专题；函数的性质及应用．-12-\n【分析】求出x+1的范围，推出1﹣x的范围，即可求解函数f（1﹣x）的定义域．【解答】解：函数f（x+l）的定义域为（1，+∞），可得x+1＞2，则1﹣x＞2，解得x＜﹣1．f（1﹣x）的定义域为：（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查抽象函数的定义域的求法，是基础题．14．已知集合A={x|x2+ax+l=0），B={x|x2+2x﹣a+3=0}，且A=B，则实数a的取值范围是﹣2＜a≤2．【考点】集合的相等．【专题】分类讨论；分类法；集合．【分析】分A=B≠∅，和A=B=∅两种情况，分别求出满足条件的a值，可得答案．【解答】解：若A=B≠∅，则，解得：a=2，若A=B=∅，，解得：﹣2＜a＜2，综上可得：﹣2＜a≤2，故答案为：﹣2＜a≤2【点评】本题考查的知识点是集合相等的定义，分类讨论思想，难度不大，属于基础题目．15．已知函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于y轴对称，且f（a）＜f（2a+l），则实数a的取值范围是（﹣1，+∞）．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．-12-\n【分析】先求出f（x），再根据f（x）的单调性即可求出a的取值范围．【解答】解：f（x）的图象与g（x）=（）x的图象关于y轴对称，∴f（x）=3x，∴函数f（x）为增函数，∵f（a）＜f（2a+l），∴a＜2a+1解得a＞﹣1，故a的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为（﹣1，+∞）．【点评】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．16．已知f（x）=，则f（l）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f+f（）+f（）+f（）+…+f（）=．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】求出f（x）+f（1﹣x）的值，然后求解表达式的值．【解答】解：f（x）+f（）=+=1．f（l）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f+f（）+f（）+f（）+…+f（）=．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知：集合A={x|3＜x≤6），B={x|m≤x≤2m+l}（1）若m=2，求A∩B，A∪B；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围；-12-\n（3）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【考点】集合的含义；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（1）将m的值代入集合B，从而求出A和B的交集和并集；（2）根据集合的包含关系，得到m≤3＜6≤2m+1，解出即可；（3）根据空集的定义判断即可．【解答】解：（1）当m=2时：B={x|2≤x≤5}，∴A∩B={x|3＜x≤5}，A∪B={x|2≤x≤6}；（2）若A⊆B，则m≤3＜6≤2m+1，解得：≤m≤3；（3）若B=∅，则m＞6或2m+1≤3且m≥﹣1，即m＞6或﹣1≤m≤1，综上，m的范围是m＞6或m≤1．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查空集的定义，是一道基础题．18．某市场经营一批进价为300元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数的关系，且销售单价为300元时，销售量是60件；销售单价为400元时，销售量是50件．（1）求出y与x的函数关系式y=f（x）；（2）设经营此商品的日销售利润为w元，根据上述关系，写出w关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？最大日销售利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）设f（x）=kx+b（k，b为常数），代入点的坐标，求出y与x的函数关系式y=f（x）；（2）销售利润函数=（售价﹣进价）×销量，代入数值得二次函数，从而可求出最值．【解答】解：（1）设f（x）=kx+b（k，b为常数），则，解得：k=﹣0.1，b=90，∴f（x）=﹣0.1x+90，0≤x≤900，y∈N；（2）日销售利润为：w=（x﹣300）•（﹣0.1x+90）=﹣0.1x2+120x﹣27000=﹣0.1（x﹣600）2+9000，0≤x≤900；-12-\n∴x=600，即当销售单价为40元时，所获利润最大，最大日销售利润是9000元．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查一次函数、二次函数，考查二次函数的最值，正确确定函数模型是关键．19．定义在上的奇函数f（x），已知当x∈上的最大值；（2）若f（x）是（0，1]上的增函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数的定义，可得f（x）在（0，1]上的解析式，令t=2x（t∈（1，2]），可得g（t）为二次函数，求得对称轴，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性可得最大值；（2）由（1）中的g（t），可得g（t）在（1，2]上递增，即有≥2，即可得到a的范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在上的奇函数，当x∈，则﹣x∈；令t=2x（t∈（1，2]），即有g（t）=at﹣t2=﹣（t﹣）2+，当≤1即a≤2时，区间（1，2]为减区间，g（t）无最大值；当1＜＜2，即2＜a＜4时，可得g（t）的最大值为g（）=；当≥2即a≥4时，区间（1，2]为增区间，g（t）的最大值为g（2）=2a﹣4．综上可得，a≤2时，f（x）无最大值；当2＜a＜4时，f（x）的最大值为；当a≥4时，f（x）的最大值为2a﹣4；（2）f（x）=a•2x﹣4x，x∈（0，1]；令t=2x（t∈（1，2]），即有g（t）=at﹣t2=﹣（t﹣）2+，f（x）是（0，1]上的增函数，即g（t）在（1，2]上递增，即有≥2，解得a≥4．则实数a的取值范围是=（x1﹣x2）（1﹣），因为1＜x1＜x2，x1﹣x2＜0，1﹣＞0．-12-\n所以f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用和函数单调性的判断与证明，属于中档题．运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）下结论．22．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意x、y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y）．（1）求f（1）的值；（2）若f（x）在（1，+∞）上单调递增，①求证：f（x）在（0，1）上单调递增；②如果f（3）=1，解关于x的不等式f（5x）＞f（x﹣1）+2．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法进行求f（1）的值；（2）①根据函数的单调性的定义判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明．②根据函数单调性的性质解不等式即可．【解答】解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）．∴令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0；（2）①若f（x）在（1，+∞）上单调递增，设x1，x2∈（1，+∞），且x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），∴=，∵，∴当x＞1时，f（x）＞0，设x1，x2∈（0，1），且x1＞x2，-12-\n则，则f（）＞0，∴=，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上的是增函数．（3）若f（3）=1，则f（9）=f（3）+f（3）=1+1=2，则不等式f（5x）＞f（x﹣1）+2等价为f（5x）＞f（x﹣1）+f（9）．即f（5x）＞f（9x﹣9）．由（2）知函数在（0，+∞）上为增函数，则不等式等价为，即，解得1＜x＜，即不等式的解集为（1，）．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据函数的奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．-12-