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山东省济宁市曲阜市高二数学上学期期中试卷含解析
山东省济宁市曲阜市高二数学上学期期中试卷含解析
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2022-2022学年山东省济宁市曲阜市高二(上)期中数学试卷一、选择题:每小题5分,共50分.在四个选项中只有一项是正确的.1.若集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|y=lg(x﹣1)},则A∩B()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(1,+∞)2.如果a>b>0,那么下列不等式中不正确的是()A.B.C.ab>b2D.a2>ab3.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若A=60°,c=4,a=4,则此三角形有()A.两解B.一解C.无解D.无穷多解4.已知等差数列{an}和等比数列{bn},它们的首项是一个相等的正数,且第3项也是相等的正数,则a2与b2的大小关系为()A.a2≤b2B.a2≥b2C.a2<b2D.a2>b25.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=()A.2B.C.D.36.已知在数列{an}中,an=,其前n项和为,则在平面直角坐标系中直线nx+y+(n+1)=0在y轴上的截距是()A.﹣10B.﹣9C.10D.97.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若△ABC的面积S=,则角C的大小是()A.90°B.60°C.45°D.30°8.已知等差数列的前n项和为Sn,且S15>0,S16<0,则此数列中绝对值最小的项为()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项9.对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2)B.[﹣2,+∞)C.[﹣2,2]D.[0,+∞)14\n10.已知x,y满足,则z=的取值范围为()A.(﹣1,]B.(﹣∞,﹣1)∪[,+∞)C.[﹣,]D.(﹣∞,﹣]∪[,+∞)二、填空题:每小题5分,共25分.11.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2=a2+ac+c2,则角B=__________.12.在数列{an}中,若a1=3,an+1=an+2(n≥1且n∈N*),则数列{an}的前n项和S12=__________.13.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n﹣2,则an=__________.14.设x>0,y>0且x+y=1,则的最小值为__________.15.定义在R上的运算:x*y=x(1﹣y),若不等式(x﹣y)*(x+y)<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是__________.三、解答题:共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,cosA=,bc=182.(1)求△ABC的面积;(2)若c﹣b=1,求a的值.17.已知在等差数列{an}中,a1=﹣31,Sn为数列{an}的前n项和,S10=S22.(1)求{an}的通项公式,并判断2022是否是数列{an}的项;(2)这个数列前多少项的和最小,最小值是多少?18.已知不等式ax2﹣3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},(1)求a,b;(2)解不等式ax2﹣(ac+b)x+bc<0.19.在△ABC中,边a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足bcosC=(3a﹣c)cosB.(1)求cosB;(2)若•=4,b=4,求边a,c的值.14\n20.(13分)某化工企业2022年底投入169万元,购入一套污水处理设备,该设备每年的运转费用是0.7万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元);(2)问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算(即年平均污水处理费用最低)?平均最低费用是多少?21.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an,且数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前2n项和T2n;(3)求数列{an•bn}的前n项和Rn.14\n2022-2022学年山东省济宁市曲阜市高二(上)期中数学试卷一、选择题:每小题5分,共50分.在四个选项中只有一项是正确的.1.若集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|y=lg(x﹣1)},则A∩B()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(1,+∞)【考点】对数函数的定义域;交集及其运算.【专题】计算题;函数的性质及应用;集合.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,求出B中x的范围确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:由A中不等式变形得:x(x﹣2)<0,解得:0<x<2,即A=(0,2),由B中y=lg(x﹣1),得到x﹣1>0,即x>1,∴B=(1,+∞),则A∩B=(1,2),故选:C.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.如果a>b>0,那么下列不等式中不正确的是()A.B.C.ab>b2D.a2>ab【考点】不等关系与不等式.【专题】不等式的解法及应用.【分析】由a>b>0,可得ab>0且a2>b2>0,利用不等式的性质2“不等式的两边同乘(除)一个正数,不等号方向不变”,逐一分析四个答案的正误,可得答案【解答】解:∵a>b>0,∴ab>0∴,即,故A答案正确;∴a2>b2>0,即>,即,故B答案正确;∴ab>b2,故C答案正确;∴a2>ab,故D答案正确;故不等式中不正确的是B故选B【点评】本题考查的知识点是不等式与不等关系,熟练掌握不等式的性质是解答的关键.3.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若A=60°,c=4,a=4,则此三角形有()A.两解B.一解C.无解D.无穷多解【考点】解三角形.【专题】数形结合;数形结合法;解三角形.【分析】由三角形的知识可判三角形为正三角形,可得一解.14\n【解答】解:由等边对等角可得C=A=60°,由三角形的内角和可得B=60°,∴此三角形为正三角形,唯一解.故选:B【点评】本题考查三角形解得个数的判断,涉及等边对等角和三角形的内角和,属基础题.4.已知等差数列{an}和等比数列{bn},它们的首项是一个相等的正数,且第3项也是相等的正数,则a2与b2的大小关系为()A.a2≤b2B.a2≥b2C.a2<b2D.a2>b2【考点】等比数列的性质;等差数列的性质.【专题】计算题.【分析】设出两数列的首项为a,第三项为b(a>0,b>0),利用等差数列及等比数列的性质分别表示出a2与b2,由a与b都大于0,可得a2大于0,当b2小于0时,显然a2大于b2;当b2大于0时,利用基本不等式可得a2大于等于b2,综上,得到a2大于等于b2.【解答】解:根据题意设出两数列的首项为a,第三项为b(a>0,b>0),可得:2a2=a+b,b22=ab,又a>0,b>0,∴a2=>0,当b2<0时,b2=﹣<0,显然a2>b2;当b2>0时,b2=,∵≥,∴a2≥b2,综上,a2与b2的大小关系为a2≥b2.故选B【点评】此题考查了等差数列的性质,等比数列的性质,以及基本不等式的运用,利用了分类讨论的思想,是高考中常考的题型.5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则=()A.2B.C.D.3【考点】等比数列的前n项和.【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程,并解得q3,然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案.【解答】解:设公比为q,则===1+q3=3,所以q3=2,所以===.14\n故选B.【点评】本题考查等比数列前n项和公式.6.已知在数列{an}中,an=,其前n项和为,则在平面直角坐标系中直线nx+y+(n+1)=0在y轴上的截距是()A.﹣10B.﹣9C.10D.9【考点】数列与解析几何的综合.【专题】方程思想;作差法;等差数列与等比数列;直线与圆.【分析】由an==﹣,运用裂项相消求和,可得前n项和为Sn=1﹣,由题意解方程可得n=9,再令直线方程中x=0,解得y,即为所求.【解答】解:an==﹣,前n项和为Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣,由题意可得1﹣=,解得n=9,直线nx+y+(n+1)=0,即为9x+y+10=0,令x=0,可得y=﹣10.故选:A.【点评】本题考查数列的求和方法:裂项相消求和,考查直线的截距的求法,以及运算能力,属于基础题.7.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若△ABC的面积S=,则角C的大小是()A.90°B.60°C.45°D.30°【考点】余弦定理的应用.【专题】计算题;函数思想;解三角形.【分析】直接利用三角形的面积以及余弦定理求解即可.【解答】解:a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,△ABC的面积S=,可得=,可得sinC==cosC,14\n∴C=45°.故选:C.【点评】本题考查余弦定理以及三角形的面积的求法,考查计算能力.8.已知等差数列的前n项和为Sn,且S15>0,S16<0,则此数列中绝对值最小的项为()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项【考点】等差数列的性质.【专题】函数思想;整体思想;等差数列与等比数列.【分析】由等差数列的求和公式和性质可得a8>0,a8+a9<0,结合等差数列的通项公式为n的一次函数可得结论.【解答】解:由题意和等差数列的性质可得S15===15a8>0,∴a8>0同理可得S16==8(a8+a9)<0,∴a8+a9<0,结合a8>0可得a9<0且|a8|<|a9|,故选:D【点评】本题考查等差数列的性质,涉及求和公式,属基础题.9.对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2)B.[﹣2,+∞)C.[﹣2,2]D.[0,+∞)【考点】基本不等式;函数恒成立问题;二次函数的性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】当x=0时,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,当x≠0时,则有a≥﹣(|x|+)恒成立,故a大于或等于﹣(|x|+)的最大值.再利用基本不等式求得(|x|+)得最大值,即可得到实数a的取值范围.【解答】解:当x=0时,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,当x≠0时,则有a≥=﹣(|x|+),故a大于或等于﹣(|x|+)的最大值.由基本不等式可得(|x|+)≥2,∴﹣(|x|+)≥﹣2,即﹣(|x|+)的最大值为﹣2,故实数a的取值范围是[﹣2,+∞),故选B.【点评】本题主要考查函数的恒成立问题,基本不等式的应用,求函数的最值,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题.14\n10.已知x,y满足,则z=的取值范围为()A.(﹣1,]B.(﹣∞,﹣1)∪[,+∞)C.[﹣,]D.(﹣∞,﹣]∪[,+∞)【考点】简单线性规划.【专题】数形结合;定义法;不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用直线斜率的几何意义,进行求解即可.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:z=的几何意义是区域内的点到定点D(0,﹣5)的斜率,由图象z≥kAD,或k<kBC=﹣1,由得,即A(3,8),此时kAD==,故z≥,或k<﹣1,故选:B【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用直线的斜率公式结合数形结合是解决本题的关键.二、填空题:每小题5分,共25分.11.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2=a2+ac+c2,则角B=120°.【考点】余弦定理的应用.【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形.14\n【分析】根据题意由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,可求得cosB的值,再利用B为△ABC中的角,即可求得B.【解答】解:∵在△ABC中,b2=a2+ac+c2,又b2=a2+c2﹣2accosB∴﹣2accosB=ac,∴cosB=﹣,又∠A为△ABC中的角,∴A=120°.故答案为:120°.【点评】本题考查余弦定理,考查学生记忆与应用公示的能力,属于基础题.12.在数列{an}中,若a1=3,an+1=an+2(n≥1且n∈N*),则数列{an}的前n项和S12=168.【考点】等差数列的前n项和.【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.【解答】解:∵a1=3,an+1=an+2(n≥1且n∈N*),∴数列{an}是等差数列,首项为3,公差为2.其前n项和S12=12×3+×2=168.故答案为:168.【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n﹣2,则an=.【考点】等比数列的前n项和.【专题】等差数列与等比数列.【分析】依题意,分n=1与n≥2讨论,即可求得答案.【解答】解:当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2﹣3n﹣1+2=2•3n﹣1,当n=1时,a1=31﹣2=1≠2=2•30,即n=1时,a1=1不符合n≥2时的关系式an=2•3n﹣1,∴an=.故答案为:【点评】本题考查求数列的通项公式,考查分类讨论思想在解决问题中的应用,属于中档题.14.设x>0,y>0且x+y=1,则的最小值为9.【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【专题】不等式的解法及应用.14\n【分析】先把转化成=()•(x+y)展开后利用均值不等式进行求解,注意等号成立的条件.【解答】解:∵x>0,y>0且x+y=1,∴=()•(x+y)=1+4++≥5+2=9,当且仅当=,即x=3,y=6时取等号,∴的最小值是9.故答案为:9.【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.基本不等式一定要把握好“一正,二定,三相等”的原则.属于基础题.15.定义在R上的运算:x*y=x(1﹣y),若不等式(x﹣y)*(x+y)<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是.【考点】不等式的综合.【专题】综合题.【分析】由题意可得,(x﹣y)*(x+y)=(x﹣y)(1﹣x﹣y)<1对于任意的x都成立,即y2﹣y<x2﹣x+1对于任意的x都成立,构造函数g(x)=x2﹣x+1,只要y2﹣y<g(x)min即可.【解答】解:由题意可得,(x﹣y)*(x+y)=(x﹣y)(1﹣x﹣y)<1对于任意的x都成立即y2﹣y<x2﹣x+1对于任意的x都成立设g(x)=x2﹣x+1=(x﹣)2+所以,g(x)min=所以y2﹣y<所以﹣<y<所以实数y的取值范围是故答案为:【点评】本题以新定义为载体考查了函数的恒成立问题的求解,解题的关键是把恒成立问题转化为求函数的最值问题,体现了转化思想的应用.三、解答题:共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,cosA=,bc=182.(1)求△ABC的面积;(2)若c﹣b=1,求a的值.【考点】余弦定理.【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.14\n【分析】(1)由已知及同角三角函数关系式可求sinA的值,由三角形面积公式即可求值得解.(2)由bc=182,c﹣b=1,可得c,b的值,利用余弦定理即可求得a的值.【解答】(本题满分为12分)解:(1)由cosA=,解得sinA==…3分∵bc=182,∴△ABC的面积S=bcsinA=35…6分(2)由bc=182,c﹣b=1,可得c=14,b=13,∴a2=b2+c2﹣abccosA=13=29…10分∴a=…12分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用,考查了三角形面积公式,余弦定理的应用,考查了计算能力,属于基础题.17.已知在等差数列{an}中,a1=﹣31,Sn为数列{an}的前n项和,S10=S22.(1)求{an}的通项公式,并判断2022是否是数列{an}的项;(2)这个数列前多少项的和最小,最小值是多少?【考点】数列的求和;数列的函数特性.【专题】方程思想;数学模型法;函数的性质及应用;等差数列与等比数列.【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,由a1=﹣31,S10=S22.利用等差数列的前n项和公式即可得出.(2)令an=﹣31+2(n﹣1)=2n﹣33≤0,解得n即可得出.【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a1=﹣31,S10=S22.∴﹣31×10+=﹣31×22+,解得d=2.∴an=﹣31+2(n﹣1)=2n﹣33.假设2022=2n﹣33,解得n=1024,因此2022是数列{an}的第1024项.(2)令an=﹣31+2(n﹣1)=2n﹣33≤0,解得n.∴当n=﹣16时,这个数列前16项的和最小.S16=﹣31×16+=﹣256.【点评】本题考查了等差数列通项公式及其前n项和公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.已知不等式ax2﹣3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},(1)求a,b;(2)解不等式ax2﹣(ac+b)x+bc<0.【考点】一元二次不等式的解法.【专题】计算题;分类讨论.14\n【分析】(1)一元二次不等式解集的端点就是对应一元二次方程的根,再利用一元二次方程根与系数的关系解出a,b.(2)先把一元二次不等式变形到(x﹣2)(x﹣c)<0,分当c>2时、当c<2时、当c=2时,三种情况求出此不等式的解集.【解答】解:(1)因为不等式ax2﹣3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根,且b>1.由根与系的关系得,解得,所以得.(2)由于a=1且b=2,所以不等式ax2﹣(ac+b)x+bc<0,即x2﹣(2+c)x+2c<0,即(x﹣2)(x﹣c)<0.①当c>2时,不等式(x﹣2)(x﹣c)<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时,不等式(x﹣2)(x﹣c)<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时,不等式(x﹣2)(x﹣c)<0的解集为∅.综上所述:当c>2时,不等式ax2﹣(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式ax2﹣(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式ax2﹣(ac+b)x+bc<0的解集为∅.【点评】本题考查一元二次不等式的解法,一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于基础题.19.在△ABC中,边a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足bcosC=(3a﹣c)cosB.(1)求cosB;(2)若•=4,b=4,求边a,c的值.【考点】正弦定理;平面向量数量积的运算;余弦定理.【专题】解三角形.【分析】(1)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值.(2)由•=4可得ac=12,再由余弦定理可得a2+c2=40,由此求得边a,c的值.【解答】解:(1)在△ABC中,∵bcosC=(3a﹣c)cosB,由正弦定理可得sinBcosC=(3sinA﹣sinC)cosB,∴3sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC,化为:3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∵在△ABC中,sinA≠0,故cosB=.(2)由•=4,b=4,可得,a•c•cosB=4,即ac=12.…①.再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣,即a2+c2=40,…②.由①②求得a=2,c=6;或者a=6,c=2.综上可得,,或.【点评】本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理、余弦定理的运用,考查两角和公式.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,属于中档题.14\n20.(13分)某化工企业2022年底投入169万元,购入一套污水处理设备,该设备每年的运转费用是0.7万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元);(2)问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算(即年平均污水处理费用最低)?平均最低费用是多少?【考点】函数模型的选择与应用.【专题】应用题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.【分析】(1)根据x年的总费用除以年数x可得到年平均污水处理费用,可得到关系式.(2)将关系式化简为y=x++1.7(x>0),根据均值不等式可求出年平均费用的最低值和对应的年数.【解答】解:(1)由题意可知,年平均污水处理费用为:y==(x>0);(2)由均值不等式得:y=x++1.7≥2+1.7=27.7(万元)当且仅当x=,即x=13时取到等号所以该企业13年后需要重新更换新设备,平均最低费用是27.7(万元).【点评】本土主要考查均值不等式的应用.考查对基础知识的理解和认识.属中档题.21.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an,且数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前2n项和T2n;(3)求数列{an•bn}的前n项和Rn.【考点】数列的求和.【专题】综合题;分类讨论;转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列.【分析】(1)由Sn+2=2an,当n≥2时,Sn﹣1+2=2an﹣1,可得an=2an﹣1.当n=1时,a1+2=2a1,解得a1.利用等比数列的通项公式可得an.利用等差数列的通项公式可得bn.(2)由cn=an+bn,当n=2k(k∈N*)时,cn=b2k=2n﹣1;当n=2k﹣1(k∈N*)时,cn=a2k=2n.可得数列{cn}的前2n项和T2n=(c1+c3+…+c2n﹣1)+(c2+c4+…+c2n).(3)an•bn=(2n﹣1)•2n.利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.【解答】解:(1)∵Sn+2=2an,∴当n≥2时,Sn﹣1+2=2an﹣1,可得an=2an﹣2an﹣1,化为an=2an﹣1.当n=1时,a1+2=2a1,解得a1=2.∴数列{an}是等比数列,首项与公比为2,∴an=2n.14\n∵数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2.∴数列{bn}是等差数列,首项为1,公差为2.∴bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1.(2)由cn=an+bn,当n=2k(k∈N*)时,cn=c2k=b2k=2n﹣1;当n=2k﹣1(k∈N*)时,cn=a2k=2n.∴数列{cn}的前2n项和T2n=(c1+c3+…+c2n﹣1)+(c2+c4+…+c2n)=(21+23+…+22n﹣1)+[(2×2﹣1)+(2×4﹣1)+…+(4n﹣1)]==+2n2+n.(3)an•bn=(2n﹣1)•2n.数列{an•bn}的前n项和Rn=2+3×22+5×23+…+(2n﹣1)•2n.2Rn=22+3×23+…+(2n﹣3)•2n+(2n﹣1)•2n+1,∴﹣Rn=2+2×(22+23+…+2n)﹣(2n﹣1)•2n+1=﹣2﹣(2n﹣1)•2n+1=(3﹣2n)×2n+1﹣6,∴Rn=(2n﹣3)×2n+1+6.【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于难题.14
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高中 - 语文
发布时间:2022-08-25 20:35:37
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