山东诗营一中2022届高三数学上学期期中试卷文含解析

2022-2022学年山东省东营一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是()A．B．C．D．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象()A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位3．若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=()A．15B．12C．﹣12D．﹣154．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为()A．B．C．D．5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．96．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=()A．﹣B．﹣C．D．7．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是()A．B．2C．0D．118\n8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=()A．90°B．60°C．45°D．30°9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是()A．f（1）与f（﹣1）B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是()A．[1，4]B．[2，3]C．[3，4]D．[2，4]二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=__________．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=__________．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是__________．14．已知各项不为0的等差数列{an}满足，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=__________．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；18\n④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是__________（填序号）．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．18．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．19．已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足（n∈N+）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△AF1B的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C相交P，Q两点，求△OPQ的面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线l的方程．21．（14分）已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；18\n（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求实数b的取值范围．18\n2022-2022学年山东省东营一中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域是()A．B．C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的及诶小时可得可得，解方程组求得x的范围，即为所求．【解答】解：由函数，可得．解得﹣＜x＜2，故选B．【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．2．要得到y=sin2x+cos2x的图象，只需将y=sin2x的图象()A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先利用两角和的正弦公式将函数y=sin2x+cos2x变形为y=Asin（ωx+φ）型函数，再与函数y=sin2x的解析式进行对照即可得平移方向和平移量【解答】解：y=sin2x+cos2x=（sin2xcos+cos2xsin）=sin（2x+）=sin[2（x+）]∴只需将y=sin2x的图象向左平移个单位，即可得函数y=sin[2（x+）]，即y=sin2x+cos2x的图象故选B【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，三角变换公式的运用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象性质，准确将目标函数变形是解决本题的关键18\n3．若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=()A．15B．12C．﹣12D．﹣15【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选A．【点评】本题主要考查了数列求和．对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律．4．已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为()A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．【解答】解：由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；故选C．【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值．故选A．18\n【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．6．已知α为第四象限角．sinα+cosα=，则cos2α=()A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用二倍角的正弦与同角三角函数间的关系可求得cosα﹣sinα=，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α．【解答】解：∵sinα+cosα=，①∴两边平方得：1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵α为第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，cosα﹣sinα＞0．∴cosα﹣sinα=，②∴①×②可解得：cos2α=．故选：D．【点评】本题考查二倍角的正弦、余弦与同角三角函数间的关系，属于中档题．7．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是()A．B．2C．0D．1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），E（，1），F（x，2）∴=（，0），=（x，2），18\n∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）∴=（，1），=（1﹣，2）∴=（1﹣）+1×2=故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=()A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC∴sinC=1，C=．∴S=ab=（b2+c2﹣a2），解得a=b，因此∠B=45°．故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应熟练记忆和掌握正弦定理公式及其变形公式．9．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是()18\nA．f（1）与f（﹣1）B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数最值的应用．【分析】当x＜0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相反；当x＞0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相同，由y=x•f′（x）的图象得f′（x）的符号；判断出函数的单调性得函数的极值．【解答】解：由y=x•f′（x）的图象知，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴当x=﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x=2时，f（x）有极小值f（2）故选项为C【点评】本题考查识图的能力；利用导数求函数的单调性和极值；．是高考常考内容，需重视．10．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x﹣3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是()A．[1，4]B．[2，3]C．[3，4]D．[2，4]【考点】函数的值域．【专题】计算题；压轴题；新定义．【分析】根据“密切函数”的定义列出绝对值不等式|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1，求出解集即可得到它的“密切区间”．【解答】解：因为f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，则|f（x）﹣g（x）|≤1即|x2﹣3x+4﹣（2x﹣3）|≤1即|x2﹣5x+7|≤1，化简得﹣1≤x2﹣5x+7≤1，因为x2﹣5x+7的△＜0即与x轴没有交点，由开口向上得到x2﹣5x+7＞0＞﹣1恒成立；所以由x2﹣5x+7≤1解得2≤x≤3，所以它的“密切区间”是[2，3]故选B【点评】考查学生会根据题中新定义的概念列出不等式得到解集，要求学生会解绝对值不等式．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设单位向量满足，则=．【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】根据题意和数量积的运算法则先求出，再求出．【解答】解：∵，=1，=1∴==1﹣2+4=3，∴=，18\n故答案为：．【点评】本题考查了利用向量数量积的运算求出向量模，属于基础题．12．已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）=﹣4．【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围．【解答】解：x＜1时，ex﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．故答案为：x≤8．【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题．14．已知各项不为0的等差数列{an}满足，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=16．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】各项不为0的等差数列{an}满足，可得2×2a7﹣=0，解得a7．利用等比数列的性质可得b6b8=．18\n【解答】解：∵各项不为0的等差数列{an}满足，∴2×2a7﹣=0，解得a7=4．数列{bn}是等比数列，且b7=a7=4．则b6b8==16．故答案为：16．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：①函数y=cos是奇函数；②存在实数α，使得sinα+cosα=；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．其中命题正确的是①④（填序号）．【考点】余弦函数的奇偶性；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称性；正切函数的单调性．【专题】综合题．【分析】①利用诱导公式化简函数y=cos，即可判断是奇函数；②通过函数的最值，判断是否存在实数α，使得sinα+cosα=即可得到正误；③利用正切函数的性质频道若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ的正误；④把x=代入函数y=sin是否取得最值，即可判断它是否是一条对称轴方程；⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．利用x=，函数是否为0即可判断正误；【解答】解：①函数y=cos=﹣sin是奇函数，正确；②存在实数α，使得sinα+cosα≤＜；所以不正确；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；显然不正确，如α=60°，β=390°时不等式不正确；④x=是函数y=sin的一条对称轴方程；把x=代入函数y=sin取得最小值，所以正确；18\n⑤函数y=sin的图象关于点成中心对称图形．x=，函数y≠0，所以不正确；故答案为：①④【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本知识的综合应用，函数的奇偶性、最值、单调性、对称性的应用，考查基本知识的灵活运应能力．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简已知等式得2cosBsinA+sin（B+C）=0，由三角函数的诱导公式可得sinA=sin（B+C），代入前面的等式并整理得sinA（2cosB+1）=0．由此解出cosB=﹣，即可得出角B的大小．（2）利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，将b及cosB的值代入，并利用基本不等式变形后得出ac的最大值，然后再利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，，∴根据正弦定理，得=﹣，去分母，得cosB（2sinA+sinC）=﹣sinBcosC，即2cosBsinA+（sinBcosC+cosBsinC）=0，可得2cosBsinA+sin（B+C）=0，∵△ABC中，sinA=sin（B+C），∴2cosBsinA+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0．又∵△ABC中，sinA＞0，∴2cosB+1=0，可得cosB=﹣．∵B∈（0，π），∴B=π．（2）∵b=3，cosB=cosπ=﹣，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤3，∴S△ABC=acsinB≤×3×=（当且仅当ac时取等号），则△ABC面积最大值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18\n17．已知函数f（x）=，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a、b的值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，可得最小值和周期；（Ⅱ）由f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0结合角的范围可得C=，再由向量共线和正弦定理可得b=2a，由余弦定理可得ab的方程，解方程组可得．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为T=π（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，∴sin（2C﹣）=1，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=，∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0，∴由正弦定理可得==，即b=2a，①∵c=3，∴由余弦定理可得9=a2+b2﹣2abcos，②联立①②解方程组可得【点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的周期性和余弦定理，属中档题．18．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意得，由此能求出an=4n+2．18\n（2）由a1=6，d=4，得Sn=2n2+4n，==，从而Tn==﹣＜，由此能证明≤Tn＜．【解答】解：（1）由题意得，解得a1=6，d=4，∴an=6+（n﹣1）×4=4n+2．（2）∵a1=6，d=4，∴Sn=6n+=2n2+4n，==，∴Tn===﹣＜，（Tn）min=T1=﹣=．故≤Tn＜．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19．已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足（n∈N+）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式可得an；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵（n∈N+）．∴当n=1时，4a1=，解得a1=1．当n≥2时，4an=4（Sn﹣Sn﹣1）=﹣，18\n化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，∵数列{an}各项均为正数，∴an﹣an﹣1=2．∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2．∴an=2n﹣1．（2）=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{bn}的前n项和Tn=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，∴2Tn=2+3×22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，∴﹣Tn=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=﹣1﹣（2n﹣1）•2n=（3﹣2n）•2n﹣3，∴Tn=（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于A、B两点，且△AF1B的周长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过定点M（0，﹣2）的动直线l与椭圆C相交P，Q两点，求△OPQ的面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得：，解得即可得出；（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0，利用根与系数的关系可得：|PQ|=．原点O到直线l的距离d=．利用S△OPQ=即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：，解得a=，c=1，b2=2．18\n∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意可知：直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（2+3k2）x2﹣12kx+6=0，∴x1+x2=，x1x2=．|PQ|===．原点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==×=．令3k2﹣2=t2（t＞0），∴S△OPQ===，当且仅当t=2，即时取等号．∴，．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次根与系数的关系、点到直线的距离公式、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx．（a∈R）（1）当a=0时，求f（x）在x=1处的切线方程；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围；（3）设g（x）=f（x）﹣2ax，h（x）=x2﹣2bx+．当a=时，若对于任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；18\n（2）令，由题意可得g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．求出g（x）的导数，对a讨论，①若，②若，判断单调性，求出极值点，即可得到所求范围；（3）由题意可得任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，只要g（x1）max≤h（x2）max，运用单调性分别求得g（x）和h（x）的最值，解不等式即可得到所求b的范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣x2+lnx的导数为f′（x）=﹣x+，f（x）在x=1处的切线斜率为0，切点为（1，﹣），则f（x）在x=1处的切线方程为；（2）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立.①①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（0，1）上有g'（x）＞0，在（1，x2）上有g'（x）＜0，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2≤x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，由此求得a的范围是[，]．综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．（3）当时，由（Ⅱ）中①知g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，所以对任意x1∈（0，2），都有，18\n又已知存在x2∈[1，2]，使g（x1）≤h（x2），即存在x2∈[1，2]，使，即存在x2∈[1，2]，，即存在x2∈[1，2]，使．因为，所以，解得，所以实数b的取值范围是．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题及任意性和存在性问题，注意转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题．18