山西大学附中高一数学上学期期中试卷含解析

2022-2022学年山西大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．化简的结果是()A．2π﹣9B．9﹣2πC．﹣1D．12．已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N=()A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}3．若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a4．已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为()A．B．﹣C．2D．﹣25．若loga＜1，则a的取值范围是()A．0＜a＜B．a＞且a≠1C．＜a＜1D．0＜a＜或a＞16．函数f（x）=ax﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜07．函数的定义域是：()A．[1，+∞）B．C．D．8．设f（x）=，x∈R，那么f（x）是()A．奇函数且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数且在（0，+∞）上是增函数C．奇函数且在（0，+∞）上是减函数D．偶函数且在（0，+∞）上是减函数-13-\n9．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是()A．B．C．D．10．函数y=的值域是()A．RB．[8，+∞）C．（﹣∞，﹣3]D．[3，+∞）11．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，，则满足的取值范围是()A．B．（0，+∞）C．D．12．对任何x∈（1，a），都有()A．loga（logax）＜logax2＜（logax）2B．loga（logax）＜（logax）2＜logax2C．logax2＜loga（logax）＜（logax）2D．（logax）2＜logax2＜loga（logax）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数y=loga（x+1）+2，（a＞0，a≠1）的图象恒过一定点，这个定点是__________．14．设g（x）=，则g（g（））=__________．15．函数y=的值域是__________．16．当x＞0时，函数y=（a2﹣8）x的值恒大于1，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知log23=a，3b=7，试用a，b表示log1456．18．求函数在x∈[﹣1，2]的最值．-13-\n19．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁RA；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1）．（1）判断f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈R，不等式f（x2﹣2x）+f（t﹣x）＞0恒成立，求t的取值范围．-13-\n2022-2022学年山西大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．化简的结果是()A．2π﹣9B．9﹣2πC．﹣1D．1【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据根式的运算性质，可得答案．【解答】解：=|π﹣4|+π﹣5=4﹣π+π﹣5=﹣1，故选：C【点评】本题考查的知识点是根式的化简和计算，熟练掌握，是解答的关键．2．已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N=()A．{﹣1，1}B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求【解答】解：⇔2﹣1＜2x+1＜22⇔﹣1＜x+1＜2⇔﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B【点评】本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．3．若a=log3π，b=log76，c=log20.8，则()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据π＞3，6＜7，2＞1，0.8＜1，可知log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0，进而比较出大小．【解答】解：∵log3π＞1，0＜log76＜1，log20.8＜0∴a＞b＞c故选A．【点评】本题主要考查对数函数的性质及图象．是高考的热点．-13-\n4．已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为()A．B．﹣C．2D．﹣2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，图象过点（3，），∴3α=，∴α=，∴f（x）=（x≥0）；∴log4f（2）=log4=log42=×=；故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题．5．若loga＜1，则a的取值范围是()A．0＜a＜B．a＞且a≠1C．＜a＜1D．0＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】把不等式右边的1化为logaa，然后对a分类利用对数式的单调性得答案．【解答】解：由loga＜1=logaa，当a＞1时，不等式成立；当0＜a＜1时，得0．∴a的取值范围是0＜a＜或a＞1．故选：D．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．6．函数f（x）=ax﹣b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()-13-\nA．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0【考点】指数函数的图像变换．【专题】计算题．【分析】根据函数的图象，确定函数的单调性，求出a的范围，结合指数函数的图象，推出b的范围，确定选项．【解答】解：由图象得函数是减函数，∴0＜a＜1．又分析得，图象是由y=ax的图象向左平移所得，∴﹣b＞0，即b＜0．从而D正确．故选D【点评】本题是基础题，考查学生视图能力，指数函数的图象变换，掌握指数函数的性质，才能正确解题．7．函数的定义域是：()A．[1，+∞）B．C．D．【考点】对数函数的定义域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】计算题；综合题．【分析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义：≥0，即：可得0＜3x﹣2≤1解得x∈故选D．【点评】本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．8．设f（x）=，x∈R，那么f（x）是()A．奇函数且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数且在（0，+∞）上是增函数C．奇函数且在（0，+∞）上是减函数D．偶函数且在（0，+∞）上是减函数【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．-13-\n【分析】先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后通过讨论去绝对值号，即可探讨函数的单调性．【解答】解：∵f（x）=，x∈R，∴f（﹣x）===f（x），故f（x）为偶函数当x＞0时，f（x）=，是减函数，故选D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断和函数单调性的判断与证明，是个基础题．9．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是()A．B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】根据增函数的定义对A、B、C、D四个选项进行一一判断；【解答】解：A、y=在（﹣1，+∞）是减函数，故A错误，B、∵y=log2t为增函数，t=在（1，+∞）为增函数，在（﹣∞，﹣1）为减函数，∴log2在（1，+∞）为增函数，在（﹣∞，﹣1）为减函数，故B错误，C、∵y=log2，当x＞0，为减函数，故C错误；D、∵y=log0.2t为减函数，t=4﹣x2在（﹣2，﹣0）为增函数，在（0，2）为减函数，∴y=log0.2（4﹣x2）在（﹣2，﹣0）为减函数，在（0，2）为增函数，故D正确．故选：D．【点评】此题主要考查函数的单调性的判断与证明，此题考查的函数都比较简单，是一道基础题．10．函数y=的值域是()A．RB．[8，+∞）C．（﹣∞，﹣3]D．[3，+∞）【考点】对数函数的值域与最值．【专题】计算题；转化思想．【分析】此为一复合函数，要由里往外求，先求内层函数x2﹣6x+17，用配方法求即可，再求复合函数的值域．【解答】解：∵t=x2﹣6x+17=（x﹣3）2+8≥8∴内层函数的值域变[8，+∞）y=在[8，+∞）是减函数，-13-\n故y≤=﹣3∴函数y=的值域是（﹣∞，﹣3]故应选C．【点评】本题考点对数型函数的值域与最值．考查对数型复合函数的值域的求法，此类函数的值域求解时一般分为两步，先求内层函数的值域，再求复合函数的值域．11．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，，则满足的取值范围是()A．B．（0，+∞）C．D．【考点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．【分析】先根据将题中关系式转化为，再由f（x）是偶函数且在[0，+∞）上递增可得关于x的不等式．【解答】解：由题意得，因为f（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）增可得或解得：0或x＞2故选A．【点评】本题重要考查函数的基本性质﹣﹣单调性、奇偶性．对于不知道解析式求自变量x的范围的题一般转化为单调性求解．12．对任何x∈（1，a），都有()A．loga（logax）＜logax2＜（logax）2B．loga（logax）＜（logax）2＜logax2C．logax2＜loga（logax）＜（logax）2D．（logax）2＜logax2＜loga（logax）【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】x∈（1，a），可得a＞1，0＜logax＜1．再利用对数的运算性质、单调性及其作差法即可得出大小关系．【解答】解：∵x∈（1，a），∴a＞1．∴0＜logax＜1，-13-\n∴loga（logax）＜0，＞0，﹣=logax（logax﹣2）＜0，即＜，∴loga（logax）＜＜，故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质、单调性及其作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数y=loga（x+1）+2，（a＞0，a≠1）的图象恒过一定点，这个定点是（0，2）．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题．【分析】根据函数y=logax经过定点（1，0），然后求出函数f（x）=loga（x+1）+2，（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点．【解答】解：由于函数y=logax经过定点（1，0），故函数f（x）=loga（x+1）+2，（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，利用了函数y=logax经过定点（1，0），属于基础题．14．设g（x）=，则g（g（））=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．-13-\n【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．15．函数y=的值域是（﹣1，1）．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】先把函数整理成1﹣听过分母求得范围最后确定函数的值域．【解答】解：y==1﹣，∵ex+1＞1，∴0＜＜2，∴﹣1＜1﹣＜1即函数的值域为（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题主要考查了函数的值域的问题．结合了不等式的相关知识，特别注意对倒数的范围的确定．16．当x＞0时，函数y=（a2﹣8）x的值恒大于1，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数的性质，可知其底数a2﹣8＞1，解之即得实数a的取值范围．【解答】解：因为x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值大于1恒成立，∴a2﹣8＞1，即a2＞9，解得a＞3或a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【点评】本题考查指数函数单调性的应用，考查解不等式的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知log23=a，3b=7，试用a，b表示log1456．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】直接利用换底公式与对数的基本运算，化简函数推出log1456的表达式．【解答】解：由已知log23=a，可得log32=，log37=blog1456=-13-\n═===．【点评】本题考查对数的基本运算性质，考查计算能力．18．求函数在x∈[﹣1，2]的最值．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令2x=t，问题转化为y是t的二次函数，结合二次函数的性质求出函数的最值即可．【解答】解：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令2x=t，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当t=3时，y有最小值，此时x=log23；﹣﹣﹣﹣当时，y有最大值，此时x=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查了二次函数的性质，求函数的最值问题，考查换元思想，是一道基础题．19．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁RA；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）直接把a=1代入x2﹣2ax﹣8a2≤0，然后求解一元二次不等式化简A，由补集概念得答案；（Ⅱ）求解不等式x2﹣2ax﹣8a2≤0化简A，然后由（﹣1，1）⊆A结合两集合端点值间的关系列不等式组得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，x2﹣2ax﹣8a2≤0化为x2﹣2x﹣8≤0，解得：﹣2≤x≤4．∴A={x|﹣2≤x≤4}．-13-\n∁RA={x|x＜﹣2或x＞4}；（Ⅱ）由|x2﹣2ax﹣8a2≤0，且a＞0，得﹣2a≤x≤4a．∴A={x|﹣2a≤x≤4a}．由（﹣1，1）⊆A，得，解得a．∴实数a的取值范围是．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合包含关系的判断与应用，是基础题．20．已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1）．（1）判断f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；（2）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域为{x|﹣1＜x＜1}关于原点对称；利用定义法．设F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（﹣x）=﹣F（x），得出结论；（2）利用函数的奇偶性整理不等式为loga（x+1）＞loga（1﹣x），对底数a分类讨论得出x的范围，．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），若要式子有意义，则，即﹣1＜x＜1．所以所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}．设F（x）=f（x）﹣g（x），则F（﹣x）=f（﹣x）﹣g（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣log（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣F（x），所以f（x）﹣g（x）是奇函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）f（x）﹣g（x）＞0，即loga（x+1）﹣loga（1﹣x）＞0，loga（x+1）＞loga（1﹣x）．当0＜a＜1时，上述不等式等价于，解得﹣1＜x＜0；当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．…【点评】考查了利用定义法判断函数的奇偶性，奇偶性在不等式中的应用和对底数a的分类讨论．-13-\n21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈R，不等式f（x2﹣2x）+f（t﹣x）＞0恒成立，求t的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数的性质可知f（0）=0，求出a的值；（2）先判断当x＞0时，显然为增函数，利用奇函数关于原点对称可得f（x）在R上也为增函数，不等式可整理为x2﹣3x+t＞0恒成立，利用判别式可求解．【解答】解：（1）函数是奇函数，∴f（0）=0，∴a=1；（2），当x＞0时，显然为增函数，∵f（x）为奇函数，∴f（x）在R上也为增函数，∵f（x2﹣2x）+f（t﹣x）＞0恒成立，∴x2﹣3x+t＞0恒成立，∴△=9﹣4t＜0，∴．【点评】考查了奇函数的性质和二次函数的应用，属于基础题型，应熟练掌握．-13-