山西省太原市2022届高三数学上学期期中试卷含解析

2022-2022学年山西省太原市高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请讲字母代码填入下表相应位置）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若A∩B=B，则实数m的值是()A．0B．2C．0或2D．0或1或22．下列函数中，与函数f（x）=lnx有相同定义域的是()A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=|x|D．f（x）=2x3．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于()A．1B．C．2D．34．若0＜x＜y，则下列各式正确的是()A．x3＜y3B．logx＜logyC．（）xD．5．函数y=（）x+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是()A．B．C．D．6．设函数D（x）=则下列结论正确的是()A．D（x）的值域为B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）是单调函数-22-\n7．等差数列{an}中，a5+a6=4，则log2（•…）=()A．10B．20C．40D．2+log258．已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有()A．f′（x）＞0，g′（x）＞0B．f′（x）＞0，g′（x）＜0C．f′（x）＜0，g′（x）＞0D．f′（x）＜0，g′（x）＜09．已知数列{an}为等比数列，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，则a1+a10的值为()A．7B．﹣5C．5D．﹣710．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为()A．﹣1B．﹣2C．1D．211．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈时，f（x）=（）x﹣1，若关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）在区间（﹣2，6）内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈B．D．（﹣∞，﹣]∪上有定义，若对象x1，x2∈，有f（）≤，则称f（x）在上具有性质P．设f（x）在上具有性质P．现给出如下结论：①f（x）=2x2，在上具有性质P；②f（x2）在上具有性质P；③f（x）在上的图象是连续不断的；④若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈；-22-\n其中正确结论的序号是__________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=a﹣．（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．18．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn=2n+a，（n∈N*）．（Ⅰ）求a的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．19．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．（Ⅰ）设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM面积的最大值．20．已知函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx+x2（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对∀x∈∪D．（﹣∞，1]十一、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在题中横线上）33．不等式|3x﹣1|≥2的解集为__________．-22-\n34．对于实数x、y，若|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1，则|x﹣2y+1|的最大值为__________．十二、解答题（本大题共1小题，共10分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）35．对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a﹣b|≥M•|a|恒成立，记实数M的最大值是m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）解不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m．-22-\n2022-2022学年山西省太原市高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请讲字母代码填入下表相应位置）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若A∩B=B，则实数m的值是()A．0B．2C．0或2D．0或1或2【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由A∩B=B，得B⊆A，然后利用子集的概念求得m的值．【解答】解：∵A∩B=B，∴B⊆A．当m=0时，B={1，0}，满足B⊆A．当m=2时，B={1，2}，满足B⊆A．∴m=0或m=2．∴实数m的值为0或2．故选：C．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了子集的概念，是基础题．2．下列函数中，与函数f（x）=lnx有相同定义域的是()A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=|x|D．f（x）=2x【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】分别求出各个选项中函数的定义域，从而判断出结论．【解答】解：f（x）=lnx的定义域是（0，+∞），对于A：f（x）的定义域是（0，+∞），对于B：f（x）的定义域是故选A-22-\n【点评】本题考查的知识点是反函数及对数函数的图象，其中根据已知函数的解析式，求出其反函数的解析式是解答本题的关键．6．设函数D（x）=则下列结论正确的是()A．D（x）的值域为B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）是单调函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据已知函数f（x）的解析式，结合函数单调性、奇偶性的定义，函数周期性的定义及函数值域，分别判断四个答案的真假，即可得出结论．【解答】解：∵函数D（x）=，∴函数值域为{0，1}，故A不正确；当x为有理数时，﹣x必为有理数，此时f（﹣x）=f（x）=1；当x为无理数时，﹣x必为无理数，此时f（﹣x）=f（x）=0．故f（x）是偶函数，即B正确；对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）=f（x）=1；当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）=f（x）=0；即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故C不正确；D（2）=1，D（3）=1，D（）=0，D（）=0．显然函数D（x）不是单调函数，故D不正确；故选：B．【点评】本题考查的知识点是分段函数与应用，函数的值域及函数的性质，正确理解新定义是解答的关键．7．等差数列{an}中，a5+a6=4，则log2（•…）=()A．10B．20C．40D．2+log25【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．-22-\n【分析】由等差数列{an}中，a5+a6=4，利用等差数列的性质得到其项数之和为11的两项之和为4，可得出a1+a2+…+a10的值，将所求式子的真数利用同底数幂的乘法法则计算，再利用对数的运算性质计算后，将a1+a2+…+a10的值代入即可求出值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a5+a6=4，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4，∴a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a5+a6）=20，则log2（•…）=log22a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10=20．故选B【点评】此题考查了等差数列的性质，以及对数的运算法则，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．8．已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有()A．f′（x）＞0，g′（x）＞0B．f′（x）＞0，g′（x）＜0C．f′（x）＜0，g′（x）＞0D．f′（x）＜0，g′（x）＜0【考点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】由已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，又由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．又x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数由奇、偶函数的性质知，在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数则当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0．故选B-22-\n【点评】奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的一个最关键的粘合点，故要熟练掌握．9．已知数列{an}为等比数列，a4+a7=2，a5•a6=﹣8，则a1+a10的值为()A．7B．﹣5C．5D．﹣7【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用数列的通项公式，列方程组求解a1，q的值，在求解a1+a10的值【解答】解：a4+a7=2，a5•a6=﹣8，由等比数列的性质可知a5•a6=a4•a7a4•a7=﹣8，a4+a7=2，∴a4=﹣2，a7=4或a4=4，a7=﹣2，a1=1，q3=﹣2或a1=﹣8，q3=a1+a10=﹣7故选：D【点评】本题考查了数列的基本应用，典型的知三求二的题型．10．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为()A．﹣1B．﹣2C．1D．2【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】将3代入相应的分段函数进行求值，则f（3）=f（2）﹣f（1），f（2）=f（1）﹣f（0）从而f（3）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0），将0代入f（x）=log2（4﹣x）进行求解．【解答】解：由已知定义在R上的函数f（x）满足，-22-\n得f（3）=f（2）﹣f（1），f（2）=f（1）﹣f（0）∴f（3）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log2（4﹣0）=﹣2，故选B．【点评】本题主要考查了分段函数的求值，同时考查了递推关系，属于基础题．11．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈时，f（x）=（）x﹣1，若关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）在区间（﹣2，6）内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是()A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意，讨论0＜a＜1时，当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0时，y=f（x）和y=loga（x+2）只有一个交点；故a＞1．关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1），在区间（﹣2，6）内恰有四个不同实根可化为函数f（x）与函数y=loga（x+2）有四个不同的交点，作出函数f（x）与函数y=loga（x+2）的图象，由图象解出答案．【解答】解：由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），即为f（x+4）=f（﹣x）=f（x），则f（x）为周期为4的函数．当x∈时，f（x）=（）x﹣1，可得x∈时，f（x）=f（﹣x）=（）﹣x﹣1，又∵f（x）=loga（x+2）（a＞0且a≠1），当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0时，y=f（x）和y=loga（x+2）只有一个交点；在0＜x＜6时，f（x）＞0，loga（x+2）＜0，则没有交点，故a＞1，作出它们在区间（﹣2，6）内图象如右图：当x=6时，f（6）=f（2）=1，loga（6+2）=1，解得a=8，由于﹣2＜x＜6，即有a＞8，y=f（x）和y=loga（x+2）有四个交点．故选：D．-22-\n【点评】本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，同时考查了数形结合的数学思想应用，属于中档题．12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈B．D．（﹣∞，﹣]∪上有定义，若对象x1，x2∈，有f（）≤，则称f（x）在上具有性质P．设f（x）在上具有性质P．现给出如下结论：①f（x）=2x2，在上具有性质P；②f（x2）在上具有性质P；③f（x）在上的图象是连续不断的；④若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈；其中正确结论的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】新定义；函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】①根据定义，直接求出f（），，比较即可；②③可通过反例说明不成立；④中构造1=f（2）=f（）≤（f（x）+f（4﹣x）），结合定义可得出f（x）只能为1才满足题意．【解答】解：①f（x）=2x2，x1，x2∈，∴f（）=，=+，显然有f（）≤，故在上具有性质P，故正确；②中，反例：f（x）=﹣x在上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在上不满足性质P，故②错误；③中，反例：f（x）=，1≤x＜3；f（x）=2，x=3在上满足性质P，但f（x）在上不是连续函数，故③不成立；-22-\n④中f（x）在x=2处取得最大值1，∵1=f（2）=f（）≤（f（x）+f（4﹣x）），∴f（x）+f（4﹣x）≥2，∵f（x）≤1，f（4﹣x）≤1，∴f（x）=1，x∈，故正确；故答案为①④．【点评】考查了新定义类型的抽象函数，应紧扣定义，可用反例法排除选项．三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=a﹣．（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；（2）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．【考点】函数奇偶性的性质；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由于f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即可得出a．（2）利用指数函数、反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，解得：．∴．（2）由（1）知，∵2x+1＞1，∴，∴，∴所以f（x）的值域为．【点评】熟练掌握函数的奇偶性和基本函数的单调性是解题的关键．18．已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn=2n+a，（n∈N*）．（Ⅰ）求a的值及数列{an}的通项公式；-22-\n（Ⅱ）若bn=（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由数列的前n项和求出前3项，利用等比数列的性质列式求出a的值，则首项和公比可求，通项公式可求；（Ⅱ）把等比数列的通项公式代入bn=（2n﹣1）an，然后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由Sn=2n+a，∴a1=S1=2+a，a2=S2﹣S1=（4+a）﹣（2+a）=2，a3=S3﹣S2=（8+a）﹣（4+a）=4．∵{an}为等比数列，∴，即4=4（2+a），解得a=﹣1．∴a1=1，q=．则；（Ⅱ）把代入bn=（2n﹣1）an，得．∴数列{bn}的前n项和Tn=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣3）•2n﹣2+（2n﹣1）•2n﹣1①②①﹣②得：．∴．【点评】本题考查了等比数列的和的公式和通项公式，训练了利用错位相减法求数列的和，考查了学生的计算能力，此题是中档题．19．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．（Ⅰ）设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM面积的最大值．-22-\n【考点】函数模型的选择与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（I）利用三角形的相似，可得函数的解析式及定义域；（Ⅱ）表示出面积，利用配方法，可得矩形BNPM面积的最大值．【解答】解：（I）作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8﹣y，EQ=x﹣4…在△EDF中，，所以…所以，定义域为{x|4≤x≤8}…（II）设矩形BNPM的面积为S，则…所以S（x）是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10所以当x∈，S（x）单调递增…所以当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米…（13分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查配方法求函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx+x2（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对∀x∈所以f（x）的单调递增区间是（0，a），（，+∞）；单调递减区间是（a，）．②若a=，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．③若a＞，当x∈（0，），x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间是（0，），（a，+∞）；单调递减区间是（，a）．（2）因为x≥1，所以由（2x﹣4a）lnx＞﹣x，得-22-\n（2x2﹣4ax）lnx+x2＞0，即函数f（x）＞0对x≥1恒成立，由（Ⅰ）可知，当0＜a≤时，f（x）在，【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．【专题】直线与圆．【分析】利用垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法即可判断出结论．【解答】解：A．∵∠CEB=∠AED，∠BCE=∠DAE，∴△BEC∽△DEA，因此A正确；B．∵PC与圆O相切于点C，∴∠PCA=∠B=∠ACE，因此B正确；C．连接OC，则OC⊥PC，又CD⊥AB，∴CE2=OE•EP，CE=ED，∴ED2=OE•EP，因此C正确；D．由切割线定理可知：PC2=PA•PB≠PA•AB，因此D不正确．故选D．【点评】熟练掌握垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法是解题的关键．五、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在题中横线上）23．如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP=a．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】先由垂径定理可得直角三角形PAO，从而用a表示BP，再利用圆中线段相交弦关系得关于CP的等式，即可求得CP．【解答】解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，．由相交弦定理知，BP•AP=CP•DP，即，所以．-22-\n故填：．【点评】此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用，本题还考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理，属于基础题．24．（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为4.5．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角．【专题】计算题．【分析】根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度．【解答】解：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，根据切割线定理得到DC2=DB•DA，∵AB=5，CD=6，∴36=DB（DB+5）∴DB=4，由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A∴△DBC∽△DCA，∴∴AC==4.5，-22-\n故答案为：4.5【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题．六、解答题（本大题共1小题，共10分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．已知四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，BA、CD的延长线交于点E，且EF切⊙O于F．（Ⅰ）求证：EB=2ED；（Ⅱ）若AB=2，CD=5，求EF的长．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定．【专题】证明题；方程思想；数形结合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）根据圆内接四边形的性质，可得∠EAD=∠C，进而可得△AED∽△CEB，结合相似三角形的性质及已知可得结论；（Ⅱ）根据切割线定理可得EF2=ED•EC=EA•EB，设DE=x，由AB=2，CD=5构造方程，解得DE，进而可得EF长．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠C，又∵∠DEA=∠BEC，∴△AED∽△CEB，∴ED：EB=AD：BC=1：2，即EB=2ED；解：（Ⅱ）∵EF切⊙O于F．∴EF2=ED•EC=EA•EB，-22-\n设DE=x，则由AB=2，CD=5得：x（x+5）=2x（2x﹣2），解得：x=3，∴EF2=24，即EF=2【点评】本题考查的知识点是圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，切割线定理，难度中档．七、选修4-4极坐标与参数方程．选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请讲字母代码填入下表相应位置）26．在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是()A．B．C．（1，0）D．（1，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．27．若直线l1：（t为参数）与直线l2：（s为参数）垂直，则k的值是()A．1B．﹣1C．2D．﹣2【考点】参数方程化成普通方程．-22-\n【专题】方程思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】将直线l1与直线l2化为一般直线方程，然后再根据垂直关系求解即可．【解答】解：∵直线l1：（t为参数）∴y﹣2=﹣（x﹣1），直线l2：（s为参数）∴2x+y=1，∵两直线垂直，∴﹣×（﹣2）=﹣1，得k=﹣1，故选：B．【点评】此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．八、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在题中横线上）28．在极坐标系中，点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离是．【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．【专题】计算题．【分析】先将极坐标方程化为一般方程，然后再计算点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离．【解答】解：∵在极坐标系中，ρ=2cosθ，∴x=pcosθ，y=psinθ，消去p和θ得，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圆心的直角坐标是（1，0），半径长为1．∴点在一般方程坐标为（1，），∴点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离是d==，-22-\n故答案为．【点评】此题考查极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．29．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为（，）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），把曲线（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为y=（x﹣2）2．联立方程组求出A、B两点坐标，由此能求出AB的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），把曲线（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为y=（x﹣2）2．联立，解得，或，∴A（1，1），B（4，4），∴AB的中点为（）．故答案为：（）．【点评】本题考查两点的中点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、参数方程和普通方程的相互转化及中点坐标公式的合理运用．九、解答题（本大题共1小题，共10分．解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）30．选修4﹣4：坐标系与参数方程．-22-\n极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4cosφ，=|OA|，命题得证．（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…则|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（Ⅱ）当φ=时，B，C两点的极坐标分别为（2，），（2，﹣）．化为直角坐标为B（1，），C（3，﹣）．…C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣（x﹣2），故直线的斜率为﹣，…所以m=2，α=．…【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于基础题．十、选修4-5不等式选讲．选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请讲字母代码填入下表相应位置）-22-\n31．不等式＜﹣3的解集是()A．（﹣∞，﹣）B．（﹣）∪（0，+∞）C．（﹣，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】直接利用分式不等式的解法化简转化求解即可．【解答】解：不等式＜﹣3即：，等价于（3x+2）x＜0，解得x∈（﹣，0）．不等式＜﹣3的解集是：（﹣，0）．故选：D．【点评】本题考查分式不等式的解法，转化思想的应用，考查计算能力．32．不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是()A．∪D．（﹣∞，1]【考点】绝对值不等式的解法．【专题】分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】不等式通过x与﹣1，3，分类讨论得到不等式组，分别解出不等式组的解集，再把各个解集取并集．【解答】解：不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0等价于①，或②，或③．解①得无解，解②得{x|3＞x≥1}，解③得{x|x≥3}．综上，不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是{x|3＞x≥1，或x≥3}，即{x|x≥1}．故选：A．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，以及等价转化的数学思想．十一、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在题中横线上）-22-\n33．不等式|3x﹣1|≥2的解集为（﹣∞，﹣]∪∪也就是的最小值是2，故M的最大值为2，即m=2．（Ⅱ）不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解集为：{x|≤x≤}．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．-22-