河北省正定中学高二数学上学期第四次月考试题

高二年级第四次月考数学试题试卷Ⅰ（共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．1.设集合,集合,则=（）A．B．C．D．2.已知命题：，，则是（）A.B.C.D.3.从三元、光明、蒙牛三种品牌的牛奶包装袋中抽取一个样本进行质量检测，采取分层抽样的方法进行抽取，已知三元、光明、蒙牛三种品牌牛奶的总体数（袋数）是1000,2000,3000，若抽取的样本中，光明品牌的样本数是10，则样本中三元品牌和蒙牛品牌的样本之和是（）A.B.C.D.4.已知向量，则的值为A.B.C.D.5.的内角的对边分别为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A.B.C.D.7.等比数列中，，则数列的前8项和等于（）A．6B．5C．3D．48.若执行右边的程序框图，输出的值为4，则判断框中应填入的条件是（）9\nA．B．C．D．9.动点满足，点为，为坐标原点，，则的最大值是（）A.B.C.D.10.设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为（）A.B.C.D.11.已知是双曲线的左右两个焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.B.C.D.12.已知函数，其中，存在，使得成立，则实数的值为（）A.B.C.D.1第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则．14．由直线，曲线以及轴围成的图形的面积为．15.在平面几何中：的内角平分线分所成线段的比为．把这个9\n结论类比到空间：在三棱锥中，面平分二面角，且与相交于，则得到类比的结论是.16.以下命题正确的是：.①把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象；②四边形为长方形，为中点，在长方形内随机取一点，取得的点到的距离大于1的概率为；③等差数列前项和为，则三点，，共线；④已知是定义在上的函数的导函数，且满足，则不等式的解集为.三、解答题:（本大题共6小题，共70分.）17．（本题满分10分）已知等差数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和为，求.18．（本题满分12分）在锐角中,角的对边分别为,且.（1）求角的大小；（2）求函数的值域.19．(本小题满分12分)某校高二某班的一次数学测试成绩(满分为分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：9\n(1)求分数在的频率及全班人数；(2)求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；(3)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．20.（本题满分12分）在等腰梯形中，，，，是的中点，将梯形绕旋转90°，得到梯形（如图）．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知圆，点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与(Ⅰ)中轨迹相交于两点，直线的斜率分别为．△的面积为，以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列，求的取值范围．9\n22．（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的极大值；（2）设定义在上的函数的最大值为，最小值为，且，求实数的取值范围．高二年级数学试卷（理科）答案一、选择题ADBDCDDCDADA二、填空题13.14．15.16.①③④三、17．解析：根据已知条件，先设的首项为,公差为，则，得………5分由知，，……………………10分18．解：（1）∵,由正弦定理得：,整理得：即：∵是锐角三角形的内角，∴∴,………6分(2)∵∴,∵∴………8分9\n由即得：,…10分又，∴……………12分19．解(1)分数在的频率为0.008×10=0.08，(2分)由茎叶图知：分数在之间的频数为2，所以全班人数为=25，(4分)(2)分数在之间的频数为25－2－7－10－2=4；　　　　　　　　　　　(6分)频率分布直方图中间的矩形的高为÷10=0.016．　(8分)(3)将之间的4个分数编号为1,2,3,4，之间的2个分数编号为5,6，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，(10分)其中，至少有一份在之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在之间的概率是=0.6．　　　　　　　　　　(12分)20、解析：（1）证明：，是的中点，∴，又，∴四边形是平行四边形，，又，，∴四边形是菱形，,，，即，又平面，，∴．（6分）（2）解：∵，．如图建立空间直角坐标系，设,，9\n设平面的法向量为，则,取，则．∵，∴，又，，∴，与交于点，则为的中点，，∴的法向量．，由图形可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．（12分）21．解析：（Ⅰ）连结，根据题意，|，则，故动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．2分设其方程为，可知，，则，3分所以点的轨迹的方程为为．4分(Ⅱ)设直线的方程为，，由可得，由韦达定理有：且6分9\n∵构成等比数列，=，即：由韦达定理代入化简得：．∵，8分此时，即．又由三点不共线得从而．故10分又则为定值．当且仅当时等号成立．综上：12分22.解：（Ⅰ）当时，，所以在区间上为减函数，当时，，所以在区间上为增函数，所以…………4分（Ⅱ）因为所以………6分①当时，，在上单调递减，由,所以，即，得………8分②当时，，在上单调递增，9\n所以即，得……10分③当时，在，，在上单调递减，在，，在上单调递增所以即（）由（Ⅰ）知在上单调递减故，而所以不等式（）无解综上所述，．………………………………12分9