福建省仙游第一中学高二数学上学期期中试题理
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仙游一中2022-2022学年度上学期期中考高二年数学(理科)试卷满分150分,答卷时间2小时.第I卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题。每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列语句中,是命题的个数是()①|x+2|;②-5∈Z;③πR;④{0}∈N。A.1B.2C.3D.42.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是()A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,533.若的()A.充公不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知样本点的散点图呈线性正相关,且回归直线的斜率估计值的绝对值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为( )A.=1.23x+4B.=1.23x+5C.=1.23x+0.08D.=0.08x+1.235.椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为()A.2B.C.D.46.命题p:x>1,log2x>0,则p是( )A.x>1,log2x≤0 B.x≤1,log2x>0C.x≤1,log2x>0D.x>1,log2x≤07.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素α,则函数y=xα x∈[0,+∞)是增函数的概率为()A.B.C.D.8.从装有2个红球和2个黑球的袋内任取2球,那么互斥不对立的两个事件是A.至少有一个黑球与都是黑球B.至多有一个黑球与都是黑球C.至少有一个黑球与至少有一个红球D.恰有一个黑球与恰有两个黑球-7-\n9.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.10.若“”和“”都是真命题,其逆命题都是假命题,则“”是“”的()A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件11.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线上一点P使∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是( )A.12 B.16 C.24 D.3212.若抛物线y2=2x上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为()A.- B.C.D.-第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。共20分.13.二进制数10111转化为十进制数是_______.14.在区间[0,4]上任取一实数a,使双曲线的离心率e>2的概率是.15.p:函数f(x)=lgx+1无零点;q:存在α、β,使sin(α-β)=sinα-sinβ,在p∨q,p∧q,③p,④q中真命题为(填上序号即可)。16.f(x)=|x|·(x-b)在[0,2]上是减函数的充要条件是____________.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明;证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)仙游一中团委组织了“弘扬奥运精神,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形给出的信息,回答下列问题:(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分。-7-\n18.(本小题满分12分)已知命题:关于的不等式对一切恒成立;命题:函数是R上的减函数.若为真,为假,求:实数的取值范围.19.(本小题满分12分)设双曲线中心在原点,右焦点与抛物线的焦点重合,双曲线的渐进线方程是y=x,求:(1)双曲线的标准方程;(2)过点P(1,1)能否作一条直线,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?请说明原因。开始i=0S=bi=i+1S=S+是输入S结束否输入b20.(本小题满分12分)某企业生产的某产品经市场调查得到如下信息:在不作广告宣传且每件获利a元的前提下,销售量为b件;若作广告宣传,销售量为S与广告费n千元的关系可用程序框图(如图)表示。(1)试写出销售量S与广告费n千元的函数关系式;(2)当a=40,b=4000时,该企业应生产多少件产品,作多少千元广告,才能获利最多?21.已知函数()(1)若从集合中任取一个元素,从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求:方程恰有两个不相等实根的概率;(2)若从区间中任取一个数,从区间中任取一个数,求:方程没有实根的概率.-7-\n22.(本小题满分12分)已知椭圆C:的焦距为4,其长轴长和短轴长之比为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,T为直线上纵坐标不为0的任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(ⅰ)若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点),求的值;(ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当最小时,求点T的坐标.仙游一中2022-2022学年度上学期期中考高二年数学(理科)参考答案一、选择题:CAACCDCDABBA二、填空题:13.23;14.;15.③;16.b≥4。三、解答题:17解(1)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:f4=1-(0.025+0.015×2+0.01+0.005)×10=0.03.其频率分布直方图如图所示(略).(2)依题意,60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组,频率和为(0.015+0.030+0.025+0.005)×10=0.75.所以,估计这次考试的合格率是75%.利用组中值估算这次考试的平均分,可得:45·f1+55·f2+65·f3+75·f4+85·f5+95·f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.所以估计这次考试的平均分是71分.18解:p:由x2-2ax+4>0对∀x∈R恒成立,得△=(2a)2-4×4<0,解得-2<a<2.所以p真:-2<a<2.q:∵函数是R上的减函数∴0<2a-5<1,解得:<a<3所以q真:<a<3-7-\n由“p∨q”为真,“p∧q”为假知,p与q中必有一真一假,即p真q假或p假q真.;所以-2<a<2或<a<319解:(1)设双曲线的标准方程,因抛物线的焦点为F,依题意:,解得:。所以双曲线的标准方程.(2)设A、B,则,由(1)-(2)得:,因AB中点为点P(1,1),直线的斜率k=所以。直线的方程为:.联立:,消去y得:,所以x无解。所以过点P(1,1)不能作一条直线满足条件。20.(1);(2)该企业应生产7875件产品,作5千元广告,才能获利最多。21.解:(1)∵取集合中任一个元素,取集合{0,1,2,3}中任一个元素 取值的情况是:,(0,3),(1,3),(2,3),(3,3)其中第一个数表示的取值,第二个数表示的取值.即基本事件总数为16,设“方程恰有两个不相等的实根”为事件当时,方程恰有两个不相等实根的充要条件为b>且不等于零当b>时,取值的情况有(1,2),(1,3),(2,3)即包含的基本事件数为3,∴方程恰有两个不相等实根的概率(2)∵从区间中任取一个数,从区间中任取一个数,则试验的全部结果构成区域,这是一个矩形区域,其面积-7-\n设“方程没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为其面积由几何概型的概率计算公式可得:方程没有实根的概率22解:(1)依题意得:,解得:。所以椭圆C的标准方程是(2)(ⅰ)由(1)可得,F点的坐标是(2,0).设直线PQ的方程为x=my+2,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.于是x1+x2=m(y1+y2)+4=.设M为PQ的中点,则点M.因为,所以直线FT的斜率为,其方程为.当时,,所以点的坐标为,此时直线OT的斜率为,其方程为.将点M代入,得.解得.(ⅱ)由(ⅰ)知T为直线上任意一点可得,点T点的坐标为.于是,.所以.当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.-7-\n故当最小时,T点的坐标是(3,1)或(3,-1).-7-
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