江西省八所重点中学2022届高三理科数学4月联考试卷（PDF版附答案）

\n\n江西省八所重点中学2022届高三联考则抛物线的方程为y2=2x；………………………………………………………………………4分理科数学答案（2）当直线AB变动时，x轴上假设存在点Qt(,0)使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，由角平分线的判一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.定定理可得QP为∠AQB的角平分线，即有kkAQ+BQ＝0，……………………………6分题号123456789101112答案BCDCAACDBBAB22设过点P（2，0）的动直线为x=my+2，代入抛物线y＝2px，可得y−2pmy−4p=0，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.设Axy(11,)，Bxy(22,)，则yy12＝−4p，yy12+＝2pm，…………………………………8分13.只要横纵坐标相等都对.14.515.②③16.(6+62,122]y1y2y1y2则kAQ+kBQ=+=+=0，x−tx−tmy+2−tmy+2−t1212三、解答题：共70分.化为2myy+(2−t)(y+y)=0，即为−8mp+2pm(2−t)=0，化简可得t＝−2………11分121217.【详解】（1）设“李华开始答题后直到第3题才答对”为事件A，则x轴上存在点Q(−2,0)，使得点P到直线AQ，BQ的距离相等．……………………………12分3233则P(A)=(1−)×=…………………………………………………………………4分4464.20【.详解】222xy222x(1)由+=1得yfxb=()=−(1)222aba（2）设答一题得分为X,则X可能取值为5,−222aabba2422223222∴=Vππf()xdx=(b−xdx)=π(bx−x)=π(2ab−ba)=πab.331∫∫−−aaaa223−a33P(X=5)=,P(X=−2)=1−=444…………5分3113428∴EX=5×+(−2)×=πab=πa=2x2444………………………………………………………………10分(2)由33得,则C方程为：+y2=1…………………………………6分a−b11=b=1413a2所以李华得分的期望值为20EX=20×=65分.…………………………………………12分4333则P(1,−,0),P(1,0,),P(−1,0，),A(−2,0,0),B(2,0,0)………………………8分12318.【详解】222易知平面ABP的一个法向量为m=(0,1,0)3−sin2xπkππ(1)解：由f(x)==tan2x=1得2x=kπ+，k∈z,∴x=+,k∈z设平面PBP的一个法向量为n=(x,y,z)−cos2x428…………3分13π5π9ππππ3π33x>0,∴p=,p=,p=,p=+(n−1)=n−,n∈N.由n⋅PB=(x,y,z)⋅(1,,0)=x+y=0123n+18888228……………6分2233πππ11由n⋅P3B=(x,y,z)⋅(3,0,−)=3x−z=0(2)证明：q===（−）22n24n−1（2n+1）(2n−1)22n−12n+1…………………………………9分取平面PBP的一个法向量为n=(3,−2,6)………………………………………………10分130×3+1×(−2)+0×62243π11111π1π∴cos<m,n>==−=−…………………………11分∴Tn=(1−+−++−)=(1−)<.…………………………12分1×43434323352n−12n+122n+1223p∴平面ABP3与平面P1BP3所成锐二面角的余弦值为43.·…………………………12分19.【详解】（1）由抛物线的定义可知AF=+=2，解得p＝1，4322\n22【详解】（1）由题意可得直线l的普通方程的一般形式为4x+3y−10=0．'1121.【详解】（1）由已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)=x+−a(a∈R)，x+≥2xx2222曲线C的直角坐标方程为xyxy+−−+=2680，即(xy−+−=1)(3)2．………………4分'∴当a≤2时，f(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；3x=1−t5222（2）直线l的参数方程可化为（t为参数）．……………………………………………6分'x−ax+1'a−a−4a+a−44∴当a>2时，f(x)=,由f(x)=0可得，x=,x=,且x>x>0y=2+t1221x225将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，222a−a−4a−a−4a+a+48则f(x)在(0,)单调递增，在(,)单调递减，整理得52850t+t=，t⋅t=−222t−t−=，则125121.………4分a+a2+422222PNPMPM+PNt+t(t+t)−2tt在(,+∞)单调递增；1212122+====(t−t)−2212PMPNPM⋅PNttttfx()(0,+∞)故1212…………10分（2）由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须a>2.282114=(t+t)−4tt−2=()+4−2=.21212101011x−+ax525又a≤，所以2<a≤.令fxx′()=+−=a=0的两根分别为x1，x2，33xx23【详解】（1）当x≤−3时，f(x)=−x−3+2−2x=−3x−1>5，解得x≤−3；xxa+=2xx1201<<<xx当−3<x<1时，f(x)=x+3+2−2x=−x+5>5，解得−3<x<0；即x−+=ax10的两根分别为1，2，于是.不妨设12，xx=1124当x≥1时，f(x)=x+3+2x−2=3x+1>5，解得x>．由（1）可得M=f(x),N=f(x)，312114所以S=−=mnfx()−fx()=(x22−+axlnx)(−x−+axlnx)综上，不等式fx()0>的解集为xx<0或x>．……………………………………5分12221112223122=−−−+−(xx)axx()lnxlnx………………………………………………………………6分121212（2）由（1）可知当x=1时，f(x)=4，即m=4，则3a+4b+5c=4．2min2211122x1xx12−x1xx12x1因为(3a+4b+5c)2≤(32+42+52（)a2+b2+c2）,所以16≤50（a2+b2+c2）,=−(xx12−+)ln=−×+ln=−×−+()ln………………………8分222xxxxxxx21222122228345即a+b+c≥（当且仅当==时等号成立）．x11125abc令t=∈(0,1)，于是Stt=−−+()ln.x22t2228故abc++的最小值为．……………………………………………………………10分252221x1+x2(x1+x2)−2x1x2282t+===a−2∈(2,]，txxxx912121821则2<t+≤，解得≤t<1.……………………………………………………………………10分t99111112因为S′=−(1+)+=−−<(1)0，222ttt11140所以Stt=−−+ln在[,1]上为减函数.所以S∈(0,−2ln3].………………………12分2t99