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山东省泰安市2022届高三数学下学期三模试题(Word版附解析)

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高三三模检测数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.(0,2]B.(0,2)C.(1,2)D.(1,2]【答案】C【解析】【分析】化简集合,根据集合的交集运算的定义求.【详解】不等式的解集为,不等式的解集为,故,,所以,故选:C.2.已知复数,i为虚数单位,则z的共轭复数为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算公式求复数的代数形式,再求其共轭复数即可.【详解】,所以z的共轭复数为,故选:B.3.已知随机变量X服从正态分布,若,则()\nA.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对称性可得结合条件可求,再由求解.【详解】因随机变量服从正态分布,由对称性可知,,又,所以,故.故选:A.4.已知对数函数的图象经过点,,,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由对数函数的图象过点,可求出的值,代入、、即可比较出三个数的大小关系.【详解】对数函数图象经过点,则,所以,,,,因此,.故选:D\n5.已知双曲线(,)的右焦点为F,点B为双曲线虚轴的上端点,A为双曲线的左顶点,若,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知求出的坐标,再由列方程求双曲线的离心率.【详解】由已知双曲线的右焦点的坐标为,虚轴的上端点B的坐标为,左顶点A的坐标为,所以,又,所以,故,即,所以,又,所以双曲线的离心率,故选:D.6.已知函数,则对任意实数,,“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性和单调性,结合函数的性质判断与的关系即可.\n【详解】∵,∴,∴,∴函数为奇函数,又,当时,函数单调递增,单调递减,所以函数在上单调递增,又函数为奇函数,所以函数在上单调递增,由可得,所以,故,由可得,所以,所以,所以“”是“”的充要条件,故选:C.7.已知数列满足:对任意的m,,都有,且,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由递推关系判断数列为等比数列,再由等比数列通项公式求.【详解】因为对任意的m,,都有,所以,,\n又,所以,所以,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以,所以,故选:C.8.如图,已知三棱柱的底面是等腰直角三角形,底面ABC,AC=BC=2,,点D在上底面(包括边界)上运动,则三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为()A.B.24πC.D.【答案】B【解析】【分析】由条件确定球心位置,引入变量表示球的半径,由此确定球的表面积及其最大值.【详解】因为为等腰直角三角形,AC=BC=2,所以外接圆的圆心为的中点,且连接与的中点,则,所以平面,设球的球心为,由球的截面性质可得在上,设,,半径为,\n因为,所以,所以,又所以,因为,所以,所以三棱锥D-ABC的外接球表面积的最大值为,故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知a,,,且,则下列说法正确的为()A.ab的最小值为1B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】直接根据基本不等式判断各选项的对错即可.【详解】因为,由基本不等式可得,当且仅当时等号成立,又,所以,当且仅当时等号成立,故ab的最大值为1,A错,,当且仅当时等号成立,B对,,当且仅当时等号成立,C对,\n,当且仅当,时等号成立,D错,故选:BC.10.已知实数x,y满足方程,则下列说法正确的是()A.的最大值为B.的最小值为0C.的最大值为D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据的几何意义,结合图形可求得的最值,由此判断A,B,根据的几何意义求其最值,判断C,再利用三角换元,结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x,y满足方程可得点在圆上,作其图象如下,因为表示点与坐标原点连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为,则,解得:或,,,,A,B正确;\n表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为,所以最大值为,又,所以的最大值为,C错,因为可化为,故可设,,所以,所以当时,即时取最大值,最大值为,D对,故选:ABD.11.已知函数,则下列说法正确的是()A.函数的最小正周期为πB.函数的对称轴方程为()C.函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到D.方程在[0,10]内有7个根【答案】ACD【解析】【分析】先对函数化简变形,再利用正弦函数的性质逐个分析判断即可【详解】,\n对于A,函数的最小正周期为,所以A正确,对于B,由,得,所以函数的对称轴方程为,所以B错误,对于C,的图象向右平移,得,所以函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到,所以C正确,对于D,由,得或,得或,由,得,由,得,所以方程在[0,10]内有7个根,所以D正确,故选:ACD12.已知函数()有两个不同的零点,,符号[x]表示不超过x的最大整数,如[0.5]=0,[1.2]=1,则下列结论正确的是()A.a的取值范围为B.a的取值范围为C.D.若,则a的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性,结合条件列不等式求a的取值范围,由此判断A,B,结合零点存在性定理判断C,D.\n【详解】函数的定义域为,,当时,,函数在上单调递增,函数在上至多只有一个零点,与条件矛盾,当时,由可得或(舍去),当时,,函数单调递增,当,,函数单调递减,因为函数有两个不同的零点,可得所以,所以,所以,B对,不妨设,因为,,所以,,当时,,则,当时,则所以,当时,,此时,,C错,因为,若则,,,\n所以,,,所以,所以,若,则,,,且所以,,所以,所以,又,所以,所以,故满足条件的不存在,所以a的取值范围为,D对,故选:BD.【点睛】函数的零点问题的解决的关键在于分析函数的单调性,并结合零点存在性定理列关系式.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,则________.【答案】-2【解析】【分析】利用,,即可求出答案.【详解】故答案为:-2.14.已知函数,则________.\n【答案】##【解析】【分析】根据分段函数解析式直接求值即可.【详解】∵∴,故答案为:15.如图,在中,,,点P在线段CD上(P不与C,D点重合),若的面积为,,则实数m=________,的最小值为________.【答案】①.##0.25②.【解析】【分析】用表示出与,利用两个向量共线可求出m,求出后利用基本不等式可求出最值.【详解】因为,所以而因为与为非零共线向量,故存在实数使得故所以\n的面积为,所以当且仅当时等号成立,故的最小值为;故答案为:;.16.从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA,PB,且A,B为切点,若直线AB的倾斜角为,则P点的横坐标为________.【答案】【解析】【分析】设,,,,,,由直线的倾斜角为,可得,利用导数分别求出过,的切线方程,可得,是方程的两个根,利用根与系数的关系可得,从而可得出答案.【详解】解:抛物线的准线l:,设,,,,,,则,又,,,则,由,得,,切线的方程为,切线的方程为,\n即切线的方程为,即,切线的方程为,即,点,在切线、上,,,可知,是方程的两个根,,得,即P点的横坐标为.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若.(1)求B;(2)若D为AC的中点,且,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理化角为边,再由余弦定理即可求解;(2)由题可得,则可求得,即可得出面积.【小问1详解】因为,由正弦定理可得,即,所以,又,.【小问2详解】\n由题知,AB=4,BD=2,,因为D为AC的中点,所以,所以,整理得,所以a=4,所以的面积为.18.已知数列的前n项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)能否在数列中找到这样的三项,它们按原来的顺序构成等差数列?请说明理由.【答案】(1)(2)不能;理由见解析【解析】【分析】(1)利用数列的通项与前项和的关系化简条件可得数列的递推关系,再证明数列为等比数列,并由等比数列通项公式求数列通项,(2)利用反证法结合等差数列的定义证明.【小问1详解】∵,∴n=1时,,∴;当时,,所以,∴,即()∴数列是以2为首项,3为公比的等比数列,∴.【小问2详解】若,有,,成等差数列,则即,整理得,\n又k,m,且∴,,所以,与矛盾,所以数列中找不到三项,它们按原来的顺序构成等差数列.19.如图,四边形ABCD为平行四边形,点E在AB上,AE=2EB=2,且DE⊥AB,沿DE将折起,使点A到达点F的位置,且.(1)求证:平面BFC⊥平面BCDE;(2)若直线DF与平面BCDE所成的角的正切值为,求平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明BF⊥平面BCDE,再由面面垂直的判定定理证明平面BFC⊥平面BCDE;(2)由线面角的定义结合条件求出AD,建立空间直角坐标系利用向量方法求二面角的大小.【小问1详解】AE=EF=2,EB=1,,所以,所以,所以BF⊥BE,又因为DE⊥AB,所以DE⊥EF,DE⊥EB.又,所以DE⊥平面BEF,\n因为平面BEF,所以BF⊥DE,因为EB,平面BCDE,,所以BF⊥平面BCDE,又平面BFC,所以平面BFC⊥平面BCDE;【小问2详解】设AD=a,则,由(1)知BF⊥平面BCDE,所以∠FDB为直线DF与平面BCDE所成的角,所以,所以,解得,以E为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(-2,0,0),B(1,0,0),D(0,2,0),C(3,2,0),,∴,,设为平面DFC一个法向量,则,即,令,则z=2,所以,由(1)知,平面DEF⊥平面BEF,过B引EF的垂线交EF于M,则BM⊥平面DEF,求得,则为平面DEF的一个法向量.\n所以,所以平面DEF与平面DFC的夹角的余弦值为.20.某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖,最多有3次抽奖机会.每次抽中,可依次获得10元,20元,30元奖金,若没有抽中,不可继续抽奖,顾客每次抽中后,可以选择带走所有奖金,结束抽奖;也可选择继续抽奖,若没有抽中,则连同前面所得奖金全部归零,结束抽奖.小明购买了500元商品并参与了抽奖活动,已知他每次抽中的概率依次为,,,选择继续抽奖的概率均为,且每次是否抽中互不影响.(1)求小明第一次抽中,但所得奖金归零的概率;(2)设小明所得奖金总数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析;期望为【解析】【分析】(1)利用独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式求解;(2)由条件确定随机变量X的可能取值,再求取各值的概率,根据期望公式求其期望.【小问1详解】记小明第i次抽中为事件,(i=1,2,3),则有,,,并且,,两两相互独立,记小明第i次抽中后选择继续抽奖为事件,则,小明第一次抽中但奖金归零记为事件A,则A的概率为.【小问2详解】\n小明所得奖金总数为随机变量X,则X=0,10,30,60,,,,随机变量X的分布列为:X0103060P随机变量X的数学期望为.21.已知椭圆(a>b>0)的离心率,四个顶点组成的菱形面积为,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)过上任意点P做的切线l与椭圆E交于点M,N,求证为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由条件列方程求出,由此可得椭圆标准方程;(2)先计算当直线的斜率不存在时的值,再利用设而不求法求出当直线的斜率存在时,结合直线与圆相切的条件证明为定值.【小问1详解】\n由题意得,,可得,b=2,所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】当切线l的斜率不存在时,其方程为,当时,将代入椭圆方程得,∴,,,∴当时,同理可得,当切线l的斜率存在时,设l的方程为,,,因为l与相切,所以,所以由,得,∴,,∴,∴或∴\n∴综上,为定值.【点睛】求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.22.已知函数,.(1)若函数是增函数,求实数a的取值范围;(2)当a=0时,设函数,证明:恒成立.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意可知在上恒成立,进而进行分参得到,然后通过导数方法求出的最大值即可得到答案;(2)分和进行讨论,然后通过导数方法并结合三角函数的有界性得到函数的单调区间,进而证明问题.【小问1详解】因为函数为增函数,所以在上恒成立,即在上恒成立.\n令(x>0),则,当时,,单调递增,当时,,单调递减,∴,∴.【小问2详解】当a=0时,,.当时,,设,则,∴单调递增,∴,∴当时,恒成立.当时,设,则,∵,∴,,,∴,单调递增.∴.∴当时,,单调递增,∴,即当时,恒成立.综上,恒成立.【点睛】本题第(2)问较难,且方法比较巧妙,一般来讲,象涵盖指(对)数函数和三角函数的超越函数通常都要分段,并会利用到三角函数的有界性,平常注意对此种题型的归纳总结.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-06-06 12:00:16 页数:22
价格:¥3 大小:1.06 MB
文章作者:随遇而安

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