山东省名校联盟优质名校2022届高三数学5月(联考)模拟考试(PDF版附答案)
资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。
1/12
2/12
3/12
4/12
5/12
6/12
7/12
8/12
9/12
10/12
剩余2页未读,查看更多内容需下载
保密!启用前;(现安排编号分别为'#!#)##的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作#若每项工作都需安排志愿者#每位志愿者恰好安排一项工作#且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作#则不同的安排方法数为名校联盟山东省优质校!$!!届高三毕业班%月模拟考3();*(!#4('+5('!!)'2'!!'+8!已知'"!#++)'.#'2''$,,+函数)!#",#.)-#2'在区间!#"''数学试题!槡)"!槡)"!$!!&%上不单调#则+是,的注意事项!3(充分不必要条件*(必要不充分条件'(本试卷共#页#!!小题#满分'%$分#考试用时'!$分钟(4(充要条件5(既不充分也不必要条件!(答卷前#考生务必将自己的学校#班级和姓名填在答题卡上#正确粘贴条形码(+!已知过点!'#槡)"的动直线-与圆.+#!2$!,';交于/#0两点#过/#0分别作)(作答选择题时#用!*铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑(.的切线#两切线交于点%!若动点"!90:##:6<#"!$'#=!!"#则-"%-的最小值为#(非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上#不准使用铅3(;*(84(+5(>笔和涂改液(二"多项选择题!本题共#小题#每小题%分#共!$分$在每小题给出的四个选项中#%(考试结束后#考生上交答题卡(有多项符合题目要求$全部选对的得%分#部分选对的得!分#有选错的得$分$>!中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成#这些五角星的位置关系象征着中一"单项选择题!本题共+小题#每小题%分#共#$分$在每小题给出的四个选项中#国共产党领导下的革命与人民大团结!如图#五角星是由五个只有一项是符合题目要求的$'!设集合",$#"!-$,槡!.-#-%#%,$$-$,/01!!#2)"##""%#则"#%,全等且顶角为);1的等腰三角形和一个正五边形组成!已知当3(&.!#/01!%'*(&.!#!'4(&$#/01!%'5(&$#!'/0,!时#0*,槡%.'#则下列结论正确的为!!已知复数&满足!'.!6"&,#.)6!6为虚数单位"#则&的共轭复数&,)()()()(3(-*2-,-*3-*(/4-05,$3(!.6*(!264(.!.65(.!264()/(3,槡%2')/(05().(02).(*,)5(..)5(3)!已知'#(是两条不同的直线#!#"是两个不同的平面#则下列结论正确的为!3(若'$(#(%!#则'$!*(若'$!#(%!#则'$(!'$!已知无穷数列$6(%满足+当(为奇数时#6(,!(2',当(为偶数时#6(,(#则4(若!&"#'%!#(%"#则'&(5(若!$"#'&!#($"#则'&(下列结论正确的为#((学习强国)377是以深入学习*宣传习近平新时代中国特色社会主义思想#立足全体党员#面向全社会的优质学习平台(为了解甲*乙两人的平台学习情况#统计3(!$!'和!$!)均为数列$6!(.'%中的项了他们最近8天的学习积分#制成如图所示的茎叶图#若中间一列的数字表示积分*(数列$6!(.'%为等差数列的十位数#两边的数字表示积分的个位数#则在这8天4(仅有有限个整数7使得6!7?6)7成立(2'中#下列结论正确的为#5(记数列$6!(%的前(项和为8(#则8(=).'恒成立3(甲*乙两人积分的极差相等!*(甲*乙两人积分的平均数不相等''!在平面直角坐标系#9$中#过点"!!#$"的直线-与抛物线.+$,!+#!+?$"交4(甲*乙两人积分的中位数相等于/#0两点#点%!#$#$$"!$$*$"为线段/0的中点#且-0%-,-9%-#则下列结5(甲积分的方差大于乙积分的方差论正确的为%!若函数)!#",-90:!#-在区间*上单调递减#则*可以为3(%为+/90的外心*("可以为.的焦点!!!)!!'3(&.##$'*(&$#!'4(&!##'5(&!#!'4(-的斜率为5(#$可以小于!$$数学试题第'页!共#页"数学试题第"!页!共#页"\n'!(著名的伯努利!*@A<0B//6"不等式为+!'2#'"!'2#!".!'2#(",'2#'2#!2.'>!!'!分"2##其中实数####.##同号#且均大于.'!特别地#当(""-#且#?.某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动#凡在该书店购书达到规定金额的小('!('时#有!'2#"(,'2(#!已知伯努利不等式还可以推广为+设##:"!#若:,'#朋友可参加双人7F赢取(购书!)的游戏!游戏规则为+游戏共三局#每局游戏开始且"#?.'#则!'2#":,'2:#!设6#;为实数#则下列结论正确的为前#在不透明的箱中装有%个号码分别为'#!#)###%的小球!小球除号码不同之外#其余完全相同"!每局由甲*乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球!摸球者;';3(任意6"!$#2C"#且任意;"&'#2C"#都有!'26"2!'2",!!;2'"6无法摸出小球号码"!若双方摸出的两球号码之差为奇数#则甲被扣除!个积分#乙增;加!个积分,若号码之差为偶数#则甲增加(!(""-"个积分#乙被扣除(个积分!7F*(任意;"!'#2C"#存在6"!$#2C"#使得62;=6;2'4(任意6"!$#''#且任意;"!.'#2C"#都有!'2;"6'6;2'游戏开始时#甲*乙的初始积分均为零#7F游戏结束后#若双方的积分不等#则积分-;;'较大的一方视为获胜方#将获得(购书!)奖励,若双方的积分相等#则均不能获得5(任意;"&'#2C"#存在6""#且6';#使得!"'66.;2'奖励!三"填空题!本大题共#小题#每小题%分#共!$分$!'"设7F游戏结束后#甲的积分为随机变量$#求$的分布列,')!请写出一个定义在!上的函数#其图象关于$轴对称#无最小值#且最大值为!!!!"以!'"中的随机变量$的数学期望为决策依据#当游戏规则对甲获得(购书其解析式可以为)!#",!!)奖励更为有利时#记正整数(的最小值为($!#!$!!""求($的值#并说明理由,'#!在平面直角坐标系#9$中#4为双曲线.+.,'的一个焦点#过4的直线-!!6;!#"当(,($时#求在甲至少有一局被扣除积分的情况下#甲仍获得(购书!)与.的一条渐近线垂直!若-与.有且仅有一个交点#则.的离心率为!奖励的概率!''%!已知:6<!290:!,#则DE<!,!90:!!$!!'!分"';!已知等边+/0.的边长为!#将其绕着0.边旋转角度##使点/旋转到/<位置!记)如图#平面/0.*&平面/02#点2为半圆弧/0上异于/#0的四面体/</0.的内切球半径和外接球半径依次为:#=#当四面体/</0.的表面积点#在矩形/0.*中#/0,槡!0.#设平面/02与平面.*2的交线为-!:最大时#/</,#,!!'"证明+-$平面/0.*,=)!注+本题第一空!分#第二空)分!"!!"当-与半圆弧/0相切时#求二面角/.*2..的余弦值!四"解答题!本大题共;小题#共8$分$解答应写出文字说明#证明过程或演算步骤$'8!!'$分"!'!!'!分"已知数列$6%的首项6,)#其前(项和为8#且对任意的(""-#点!8#6"在平面直角坐标系#9$中#已知点/!.'#$"#0!'#$"#设+/0.的内切圆与/.('(((2'均在直线$,+#2)上!相切于点*#且-.*-,'#记动点.的轨迹为曲线>!!'"求$6(%的通项公式,!'"求>的方程,!!"设;(,/016)#求数列$;;%的前(项和>!!!"设过点=!'#'"的直线-与>交于"#%两点#已知动点@满足)@(",%)"(=#(((2'(')!)()(且@%,%!%=#若%'2%!,$#且动点A在>上#求-@A-的最小值!'+!!'!分";90:.2槡)?:6<0设+/0.的内角/#0#.的对边分别为6#;#?#且,'!!!!!'!分"62?6#!'"求角0的大小,已知函数)!#",/<!#2'".#2'!6"!"!/2槡'>!'"若)!#"在区间!$#2C"上单调递增#求6的取值范围,!!"设*#2分别为边/0#0.的中点#已知+0.*的周长为)2槡)#且,#.*!-''''!!"证明+.(""#!'."!'.".!'."=!(若?=%6#求6!!槡(!!(!!#(!B槡2'槡.'数学试题第)页!共#页"数学试题第"#页!共#页"\n名校联盟山东省优质校2022届高三毕业班5月模拟考数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题:题号12345678答案DADBCCAB二、多项选择题:题号9101112答案ABBDACACD12.著名的伯努利(Bernoulli)不等式为:(1x1)(1x2)(1xn)1x1x2xn,x,x,...,x同号,且均大于1.特别地,当*其中实数12nnN,且x1时,有n(1x)1nx.已知伯努利不等式还可以推广为:设x,rR,若r1,且x1,r则(1x)1rx.设a,b为实数,则下列结论正确的为b1bA.任意a(0,),且任意b[1,),都有(1a)(1)2(b1)abB.任意b(1,),存在a(0,),使得abab1aC.任意a(0,1],且任意b(1,),都有(1b)ab1*bb1D.任意b[1,),存在aN,且ab,使得()aab1b1bb解析:(1)考查选项A:若b1,则(1a)1ab,且(1)1,aab1b11∴(1a)(1)2(a)b,又a0,由基本不等式可知a2,aaab1b∴(1a)(1)2(b1),故选项A正确;abb(2)考查选项B:∵a0,∴a11,又b1,∴a(1a1)1b(a1),b∴abab1恒成立,故选项B错误;1(3)考查选项C:∵0a1,且b1,∴1,且ab1,a111a∴(1ab)a1ab1b,即01b(1ab)a,∴(1b)ab1,故选项C正确;a*bb1(4)考查选项D:①若bN,则当ab时,不等式()显然成立,aab1参考答案与评分细则第1页(共10页)\n*ababb②若bN,∵b1,∴()[1()]1ab,bbabbb1∴当a(b1,b)时,()1ab0,∴(),baab1bb1记[b]为不超过b的最大整数,易知[b](b1,b),∴当a[b]时,()成立,aab1*bb1∴任意b[1,),存在aN,且ab,使得(),故选项D正确;aab1综上所述,应选ACD.三、填空题:2413.2x或(2x,2|x|等);14.2;15.0或1;16.22;23.16.已知等边△ABC的边长为2,将其绕着BC边旋转角度,使点A旋转到A位置.记四面体AABC的内切球半径和外接球半径依次为r,R,当四面体AABC的表面积最大r时,AA,.(注:本题第一空2分,第二空3分.)Rπ解析:显然当ABA时,四面体AABC的表面积最大,此时AA22,故应填22;2当四面体AABC的表面积最大时(易知四面体AABC的表面积最大值为423),1设AA的中点为O,易知OBOCAA,∴OBOCOAOA2,2即O为四面体AABC的外接球球心,∴四面体AABC的外接球半径R2,222π∵OBOC2,且BC2,∴BCOBOC,∴BOC,2122易知OC平面AAB,∴不难求得四面体AABC的体积为VSAABOC,331423222又V(423)r,∴r,解得r,33323r1∴23,故应填23.R23三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)a的首项a3,其前n项和为S,且对任意的*(S,a)已知数列n1nnN,点nn1均在直线y8x3上.(1)求an的通项公式;(2)设bnlogan3,求数列{bnbn1}的前n项和Tn.参考答案与评分细则第2页(共10页)\n*解:(1)(法一)∵对任意的nN,点(Sn,an1)均在直线y8x3上,∴an18Sn3,………………………………………………………………………………1分∴当n2时,an8Sn13,………………………………………………………………2分∴an1an8(SnSn1)8an,即an19an(n2),……………………………………3分又∵S1a13,∴a28S1327,∴a29a1,………………………………………4分*∴an19an(nN),∴数列an是以3为首项,9为公比的等比数列,……………5分n12n1∴a393.………………………………………………………………………6分n*(法二)∵对任意的nN,点(Sn,an1)均在直线y8x3上,∴an18Sn3,………………………………………………………………………………1分∴Sn1Sn8Sn3,即Sn19Sn3,…………………………………………………2分333327∴S9(S),又Sa,n1n1188888327∴数列{S}是以为首项,9为公比的等比数列,…………………………………3分n882n12n1327n1333∴S9,∴S,…………………………………………4分nn88882n12n133332n1∴当n2时,aSS3,………………………………5分nnn1882n1*又a13,亦满足上式,∴an3(nN).……………………………………………6分11(2)bnloga3,………………………………………………………7分nloga2n13n1111∴bnbn1(),…………………………………………9分(2n1)(2n1)22n12n1111111n∴Tbbbbbb[(1)()()],n1223nn123352n12n12n1n即T.………………………………………………………………………10分n2n118.(12分)bcosC3csinB设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且1.ac(1)求角B的大小;AE19(2)设D,E分别为边AB,BC的中点,已知△BCD的周长为33,且,CD2若c5a,求a.参考答案与评分细则第3页(共10页)\n解:(1)由正弦定理,得sinBcosC3sinCsinBsinAsinC,……………………1分∵A,B,C为△ABC的内角,∴ABCπ,∴sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC,∴3sinCsinBsinCcosBsinC,………………………………………………………3分∵B(0,π),C(0,π),∴sinC0,3sinBcosB1,…………………………4分π1∴sin(B),……………………………………………………………………………5分62ππ5ππππ易知B(,),∴B,即B=.…………………………………………6分666663(2)设BEm,BDn,则a2m,c2n,在△ABE中,由余弦定理,22222得AEBEBA2BEBAcosBm4n2mn,…………………………………7分22222在△BCD中,同理有CDBCBD2BCBDcosB4mn2mn,…………8分222AE19AE19m4n2mn19∵,∴,即=,…………………………………9分222CD2CD44mn2mn422整理得n10mn24m=0,解得n=4m,或n=6m,22∵c5a,即2n10m,∴n=4m,且CD4mn2mn23m,……………11分∵△BCD的周长为33,∴2mn23m(623)m33,1∴m,∴a2m1.…………………………………………………………………12分219.(12分)某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动,凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人PK赢取“购书劵”的游戏.游戏规则为:游戏共三局,每局游戏开始前,在不透明的箱中装有5个号码分别为1,2,3,4,5的小球(小球除号码不同之外,其余完全相同).每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球(摸球者无法摸出小球号码).若双方摸出的两球号码之差为奇数,则甲被扣除2个积分,乙增加2个积分;若号码之差为*偶数,则甲增加n(nN)个积分,乙被扣除n个积分.PK游戏开始时,甲、乙的初始积分均为零,PK游戏结束后,若双方的积分不等,则积分较大的一方视为获胜方,将获得“购书劵”奖励;若双方的积分相等,则均不能获得奖励.(1)设PK游戏结束后,甲的积分为随机变量,求的分布列;(2)以(1)中的随机变量的数学期望为决策依据,当游戏规则对甲获得“购书劵”奖参考答案与评分细则第4页(共10页)\n励更为有利时,记正整数n的最小值为n.0(i)求n的值,并说明理由;0(ii)当nn时,求在甲至少有一局被扣除积分的情况下,甲仍获得“购书劵”奖励的0概率.解:(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A,“一局游戏后乙被扣除n个积分”为32事件B,由题可知P(A),P(B),…………………………………………………2分55当三局均为甲被扣除2个积分时,6,当两局为甲被扣除2个积分,一局为乙被扣除n个积分时,n4,当一局为甲被扣除2个积分,两局为乙被扣除n个积分时,2n2,当三局均为乙被扣除n个积分时,3n,3327232254∴P(6)(),P(n4)C(),3512555125132236238P(2n2)C(),P(3n)(),3551255125∴的分布列为6n42n23n2754368P125125125125………………………6分27543686n18(2)(i)由(1)易知E()(6)+(n4)+(2n2)3n,1251251251255显然甲、乙双方的积分之和恒为零,6n18当游戏规则对甲获得“购书劵”奖励更为有利时,则需E()0,…………8分5∴n3,即正整数n的最小值n4.……………………………………………………9分0(ii)当n4时,记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C,23117则P(C)1(),………………………………………………………………10分5125由题设可知,若甲获得“购书劵”奖励,则甲被扣除积分的局数至多为1,记“甲获得“购书劵”奖励”为事件D,易知事件CD为“甲恰好有一局被扣除积分”,132236∴P(CD)C(),……………………………………………………………11分355125参考答案与评分细则第5页(共10页)\n36P(CD)1254∴P(DC),即在甲至少有一局被扣除积分的情况下,甲仍获得“购书P(C)117131254劵”奖励的概率为.……………………………………………………………………12分1320.(12分)如图,平面ABCD平面ABE,点E为半圆弧AB上异于A,B的点,在矩形ABCD中,AB2BC,设平面ABE与平面CDE的交线为l.(1)证明:l∥平面ABCD;(2)当l与半圆弧AB相切时,求二面角ADEC的余弦值.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,………1分∵AB平面ABE,CD平面ABE,∴CD∥平面ABE,………………………………………………2分(第20题图)又CD平面CDE,平面ABE平面CDEl,………………3分∴l∥CD,………………………………………………………………………………………4分∵CD平面ABCD,l平面ABCD,∴l∥平面ABCD.………………………………5分(2)(法一)取AB,CD的中点分别为O,F,连接OE,OF,则OFAB,∵平面ABCD平面ABE,且交线为AB,∴OF平面ABE,又OE平面ABE,OFOE,当l与半圆弧AB相切时,OEl,即OEAB,…………………………………………7分以OE,OB,OF所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设BC2,易得A(0,1,0),C(0,1,2),D(0,1,2),E(1,0,0),则DE(1,1,2),AD(0,0,2),DC(0,2,0),……………………………………8分设m(x,y,z)为平面DAE的一个法向量,111ADm0,2z0,1则即DEm0,xy2z0,111z0,1∴令x1=1,则m(1,1,0),…………………9分xy,11DCn0,设n(x2,y2,z2)为平面DCE的一个法向量,则DEn0,参考答案与评分细则第6页(共10页)\n2y0,y0,22即∴令z2=1,则n(2,0,1),…………………10分xy2z0,x2z,22222mn23∴cosm,n,………………………………………………11分|m||n|233易知二面角ADEC的平面角大小即为m,n,3∴二面角ADEC的余弦值为.……………………………………………………12分3(法二)当l与半圆弧AB相切时,AEEB,AEEB,∴AB2AE,…………6分∵平面ABCD平面ABE,平面ABCD平面ABEAB,且DAAB,DA平面ABCD,∴DA平面ABE,又AE平面ABE,∴DAAE,同理,CBBE,……………………………………………7分不妨设BC2,则BEAEAD2,ABDC2,∴由勾股定理得DECE2,……………………………8分取DE的中点F,连接AF,FC,AC,则DEAF,DECF,∴AFC是二面角ADEC的平面角,…………………………………………………9分1322易知AFDE1,CFDE3,且ACABBC6,……………10分222221(3)(6)3∴在△AFC中,有cosAFC,…………………………11分21333∴二面角ADEC的余弦值为.……………………………………………………12分321.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(1,0),设△ABC的内切圆与AC相切于点D,且|CD|1,记动点C的轨迹为曲线T.(1)求T的方程;11(2)设过点R(,)的直线l与T交于M,N两点,已知动点P满足PMMR,且132PN2NR,若120,且动点Q在T上,求|PQ|的最小值.解:(1)不妨设△ABC的内切圆与BC,BA分别相切于点E,F,由切线长相等可知,|CD||CE|1,|AD||AF|,|BE||BF|,……………………1分∴|AD||BE||AF||BF|2,参考答案与评分细则第7页(共10页)\n∴|CA||CB||CD||AD||CE||BE|4|AB|,…………………………………2分∴动点C的轨迹为以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(且C不在直线AB上),22xy设动点C的轨迹方程为:1(y0),22ab222易知a2,且ab1,解得b3,22xy∴T的方程为:1(y0).………………………………………………………4分43(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),11∵PM1MR,∴(x1x0,y1y0)1(x1,y1),32若11,则21,PMMR,即P与R重合,与PNNR矛盾,∴11,11111x01y01x01y0∴x3,y12,∴M(3,2),…………………………6分11111111122xy222代入1,化简得321(6x012y072)19x012y0360,…………7分43222同理可得,32(6x12y72)9x12y360,…………………………8分200200222∴1,2为方程32x(6x012y072)x9x012y0360的两根,∵120,∴6x012y0720,即x02y0120,即动点P在定直线l1:x2y120上,…………………………………………………9分显然直线l1与T没有交点,令直线l2:x2ym0(m0),当l2与T相切时,记l1,l2的距离为d,则|PQ|d,x2ym0,联立22可得22xy4x2mxm120,1,4322由(2m)16(m12)0,解得m4,又m0,∴m4,………………10分33此时,解得x1,y,即切点为(1,),22|124|8585且直线l1,l2的距离为d,∴|PQ|,145531347当Q点坐标为(1,),且PQl1时,经计算,得P(,),251085此时,|PQ|=,且不难知道直线PR即直线l不过点(2,0)和(2,0),符合题设条件,5参考答案与评分细则第8页(共10页)\n85∴|PQ|的最小值为.…………………………………………………………………12分5(注:本题未说明点P,Q的存在性及未论证直线l不过点(2,0)和(2,0)总共扣1分.)22.(12分)ax已知函数f(x)ln(x1)(aR).x1(1)若f(x)在区间(0,)上单调递增,求a的取值范围;1111(2)证明:nN*,(1)(1)(1)<.222212421ennnn1ax(a1)解:(1)f(x),………………………………………………1分22x1(x1)(x1)当a1时,x(0,),x(a1)0,∴当x0时,f(x)0,f(x)在区间(0,)上单调递增,……………………………2分当a1时,x(0,a1),x(a1)0,∴当0xa1时,f(x)0,……………………………………………………………3分∴f(x)在区间(0,a1)上单调递减,不合题意,∴若f(x)在区间(0,)上单调递增,则实数a的取值范围为(,1].…………………4分1111(2)欲证(1)(1)(1)<,222212421ennnn222n2n2n124n1只需证e,………………………………5分2222n12n1124n11n111即证e(1)(1)(1),…………………………6分2222n12n1124n11111只需证n<ln(1)ln(1)ln(1),……………7分2222n12n1124n11由(1)可知当a1时,f(x)在区间(0,)上单调递增,∴f(x)f(0)0,xx∴当x0时,不等式ln(x1)0恒成立,即ln(x1)恒成立,…………8分x1x111221111n∴ln(1+),即ln(1+),…………………9分212222n112n2n12n22n1参考答案与评分细则第9页(共10页)\n1111同理ln(1+),…,ln(1+),22222n112n124n1124n1将上述不等式累加得:111111ln(1)ln(1)ln(1),2222222n12n1124n112n2n124n1………………………………………………………………………10分111111又2222222222n2n124n1nn1n1n24n14n22222222(n1n)(n2n1)(4n4n1)4nnn,111∴不等式n<ln(1)ln(1)ln(1)得证,2222n12n1124n111111∴不等式(1)(1)(1)<n得证.………………………12分2n22n2124n21e参考答案与评分细则第10页(共10页)
版权提示
- 温馨提示:
- 1.
部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
- 2.
本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
- 3.
下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
- 4.
下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)