湖南省长沙县第一中学2022届高三数学下学期新高考押题卷四（Word版附解析）

名师新高考押题卷41.若集合，则A.B.C.D.2.已知复数，则的虚部是A.B.C.D.3.展开式中的常数项为A.B.64C.D.2404.函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则A.B.C.D.5.古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，已知平面内两点，，直线，曲线C上动点P满足，则曲线C与直线l相交于两点，则的最短长度为A.B.C.D.6.已知中，，则A.B.14C.16D.187.“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学\n习，每人选择各项运动的概率均为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为A.B.C.D.1.已知三棱锥中，，三棱锥体积为，则三棱锥外接球的表面积为A.B.C.D.2.已知，则下列不等式正确的是A.B.C.D.3.高中提倡学生假期培养阅读习惯，提高阅读能力，某班级统计了假期阅读中英两本书籍的时长，其频率分布如下：则下列说法正确的是阅读时长/天7654中文书籍英文书籍A.从阅读的的平均时长来看，中文书籍比外文书籍更受欢迎B.中、英文书籍阅读时长的第40百分位数都是6天C.若将频率视为概率，小华阅读中文和英文两本书籍，则阅读总时长少于的概率为D.任选一本书籍，“阅读时长低于”与“阅读时长为”是对立事件4.已知函数，则下列说法正确的是A.直线为函数图像的一条对称轴\nB.函数图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移后得到C.函数在上单调递增D.函数的值域为1.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体.如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为，则下列说法正确的是A.曲线C包含的封闭图形内部不含边界有11个整数点横、纵坐标均为整数B.曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5C.若、，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则的最小值为D.画法几何的创始人加斯帕尔蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆后，椭圆的蒙日圆方程为：2.首届国家最高科学技术奖得主、杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高单位：\n服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有__________株.1.已知等比数列各项均为正数，，、为方程的两根，数列的前n项和为，且，求数列的前2022项和为__________.2.双曲线的右焦点F关于渐近线的对称点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为__________.3.已知是函数的导函数，且对任意的实数x的都有，且，则函数的解析式为__________，若有3个交点，则m的取值范围为__________.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，①，②，③求角C的大小；周长的最大值．5.已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足\n求和的通项公式；，数列的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．1.2021年9月，教育部印发《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》中指出：中小学生各项身体素质有所改善，大学生整体下降.某高校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼运，结合“微信运动”APP每日统计运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下：运动达人参与者合计男生70120女生合计80200完善列联表并说明：能否在犯错误概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？从全校运动“参与者”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取3人参加特训，将男生人数记为X，求X的分布列与期望参考公式：\n1.直三棱柱中，，，求证；、N分别为棱、的中点，点P在线段上，是否存在点P，使平面与平面ABC所成角的余弦值为，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，左顶点为A，上顶点为B，求椭圆C的标准方程；不过椭圆点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为，若，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标.\n1.已知函数求函数的单调区间；当时，若方程在内存在唯一实根，求证：\n答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考察集合的交集、补集运算，属于基础题．先求出集合A的补集，再与集合B求交集即可．【解答】解：化简后集合，则，集合，所以  2.【答案】B【解析】【分析】本题考考查复数的除法运算、共轭复数、虚部的定义，属于基础题．首先分式同乘以，化成复数z的一般形式，再得到共轭复数的虚部．【解答】解：复数，则，虚部为  3.【答案】A【解析】【分析】本题考查二项式的展开式及通项公式，属于基础题．先得到二项式的通项公式，再令x的指数为0得到项数，从而得到常数项大小．\n【解答】解：的二项展开式的通项公式为，令，解得，此时展开式的常数项为  4.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的几何意义和同角三角函数的关系，属于基础题．先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到的值．【解答】解：导函数，当时，，此时，  5.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线与圆之间的最短弦长问题，属于中档题．首先通过设动点P坐标，结合边长间的关系得到曲线C的轨迹为圆，问题转化为直线与圆的最短弦长问题，直线l过定点，通过垂径定理求解即可．\n【解答】解：设动点P的坐标为，则，由得：化简后得：曲线，故P点轨迹为圆，又直线l过定点，则圆心到直线的距离的最大值为，的长度最短，此时：  6.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理的应用，及向量的数量积，属于中档题．首先明确以为基底分解，再与求数量积即可．【解答】解：，且，所以：  7.【答案】D【解析】【分析】\n本题考查条件概率，属于基础题．本题为条件概率，分别计算“至少有两人选择花样滑冰”和“甲同学选择花样滑冰的同时，乙、丙至少有一人选择花样滑冰”的概率，即可求出条件概率．【解答】解：记事件A为“至少有两人选择花样滑冰”，事件B为“甲同学选择花样滑冰”则：，  8.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的切接问题，属于较难题．观察均为直角三角形，得到点P为三棱锥外接球的球心，且，可以通过设高结合求得底面正的边长a，从而得到外接球半径，最后求得表面积．【解答】解：如图，取中点P，，则均为直角三角形，，即点P为三棱锥外接球球心，PA即为外接球半径，又为等边三角形；作，垂足为O，连接OA，则O为的外心，设正三角形ABC的边长为a，\n则，，即，外接球表面积为，故排除A；，，故排除D；若，则，代入方程不成立，故排除B； 若，则，代入方程成立，故选  9.【答案】CBD【解析】【分析】本题考查不等式比较大小，属于基础题．首先简化条件，由的大小，再逐个分析选项，A为易错点，当时错误，选项B需对绝对值化简，选项C需构造函数，通过单调性比较大小，选项D先比较即可．【解答】解：对于当时，，选项A错误；对于B：，即：，选项B正确；\n对于C：构造函数，显然函数在区间上单调递增，即，选项C正确；对于D：，选项D正确.  10.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查平均数、百分位数、简单概率求解、对立事件相关知识点的综合考查，属于基础题．选项A更受欢迎可以通过阅读时长的平均数大小进行比较，选项B需要先由小到大进行排序，可得第40百分位数，选项C需要对两本书籍共阅读时长少于进行分类讨论，各自求概率，再求和，选项D为对立与互斥事件概念辨析．【解答】解：对于A：中文书籍的阅读时长为天，英文书籍的阅读时长为天，所以中文书籍比英文书籍更受欢迎，选项A正确；对于B：中、英文书籍阅读时长按从小到大排列，则第40百分位数均为6天；选项B正确；对于C：阅读时长少于，则中、英文书籍的时间可以为，和三种情况，概率为，选项C正确；对于D：“阅读时长低于”指阅读时长为，“阅读时长为”指阅读时长为，所以“阅读时长少于”与“阅读时长为”是互斥而不对立事件，选项D错误.  11.【答案】AD\n【解析】【分析】本题考查三角函数对称轴、平移伸缩变换、单调性、值域，属于中档题．选项A考查函数的对称性，利用验证更为简洁，选项B为函数伸缩、平移变换，选项C需要将变为分段函数，求解其单调性，选项D需要将定义域R转化为一个周期后，探究值域．【解答】解：对于A：，选项A正确；对于B：函数图像x缩短为原来的一半，得到，再向左平移后得到，选项B错误；对于C：当时，，其中，不妨令为锐角，，当，即单调递增，当，即单调递减，选项C错误；对于D：，探究值域，而函数的对称轴为：，因此：探究值域，当时，，其中，\n，即：，选项D正确.  12.【答案】BCD【解析】【分析】本题为综合题型，考查学生联系已有圆锥曲线知识，对整体知识的理解掌握水平和分析能力，属于较难题．选项A需要对曲线分5类讨论，由x判断对应y的范围，从而得到整数点个数，选项B借助参数方程求解椭圆中两点间距离问题，选项C由椭圆定义可得到之和为定值，由基本不等式可以得到乘积的最大值，结合余弦定理即可求出的最小值，选项D中分析蒙日圆的关键信息，简化求解．【解答】解：对于A：曲线，当时，分5类讨论：可得：整数点为、，所以：整数点有9个，选项A错误；对于B：曲线C中，当此时与原点距离为2，当设半椭圆上动点P坐标为，，则，最大值与最小值之和为5，选项B正确；对于C：又、恰为椭圆的两个焦点，\n那么，当且仅当，即P在x轴上时，等号成立，在中，，由余弦定理知：，选项C正确；对于D：由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点，在椭圆中取两条切线：，它们交点为，该点在蒙日圆上，半径为，此时蒙日圆方程为：，选项D正确.  13.【答案】1359【解析】【分析】本题为正态分布的常规考法，计算简单，属于基础题．首先得到正态分布中，，观察所以【解答】解：由知；，，\n株水稻，株高在的约有1359株.  14.【答案】【解析】【分析】本题考查裂项相消法求和，逻辑严密，较为综合，属于中档题．分析题意，首先按条件求得等比数列前n项和为，代入中可看出可以通过裂项相消法求和，注意裂项后系数不为【解答】解：等比数列、为方程的两根，，，数列的前2022项和为：  15.【答案】【解析】【分析】本题考查求双曲线的离心率，数形结合，属于中档题．利用双曲线中焦点到同侧渐近线的距离为b，再结合双曲线定义可以得到\n的等式，最终得到双曲线的离心率．【解答】解：如图，为双曲线的左焦点，焦点F关于渐近线的对称点为点A，则，B为AF中点，故中，，则，且中，的中位线，所以，由双曲线定义知：，即综上：双曲线的离心率  16.【答案】【解析】【分析】本题考查通过构造函数求解析式及交点个数问题，属于中档题．本题关键之处在于对进行等式变换，构造新函数，从而得到的解析式，通过求导得到函数图像求得m的取值范围．【解答】解：；\n又，且，令， 则，， 则，函数在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，又，当时，且，函数：有3个交点时，所以：  17.【答案】解：选①，得， ；选② ；选③或者舍去；\n由余弦定理知：由基本不等式知：所以：综上：的周长的最大值为【解析】本题考查正余弦定理解三角形，及利用余弦定理求最值，属于中档题．为开放题，从三个条件中得到角C的大小，条件①将边转换为正弦，化简等式，条件②通过平方差公式及余弦定理得到角C，条件③二倍角公式转化为的二次函数得到的值，从而得到角C；通过余弦定理及基本不等式得到的最大值，得出周长的最大值．18.【答案】解：等差数列中，设公差为d，则数列中的前n项和为，且①，当时，，当时，②，②-①得：，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以；\n数列中，，则，所以，故，，所以对恒成立，当n为奇数时，，当n为偶数时，，综上：实数m的取值范围为【解析】本题为等差、等比数列通项及错位相减法与最值的考查，计算适中、过程清晰明了，属于中档题．为等差数列通项公式的求解，只需设参数即可，数列通过已知前n项和；需要先用错位相减法求得数列的前n项和为，代入不等式中对n分类讨论，转化为最值问题，求出m范围即可．19.【答案】解：由题意完善列联表：\n运动达人参与者合计男生7050120女生503080合计12080200此时：所以：在犯错误概率不超过的前提下不能认为获得“运动达人”称号与性别有关；由题意知：选取的8人运动参与者中男生5人，女生3人则X服从超几何分布，X的所有可能情况为：0、1、2、3且；     ；； ；X的分布列为：X0123P【解析】本题考查列联表判断两个变量间的相关性以及超几何分布的分布列及期望，属于中档题．先完善表格信息，通过卡方检验中计算与比较大小从而判断在犯错误概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别的相关性；判断X服从超几何分布概型，得到X的分布列与期望\n20.【答案】证明：连接，，，四边形为正方形，直三棱柱中，，，则，，平面，又底面，又，，，又，如图，以，，为，y，z轴建立空间直角坐标系，则，设，，，，，设平面的一个法向量为，则即，令，解得，又平面ABC的一个法向量为，，又，故方程无根\n所以线段上不存在点P，使平面与平面ABC所成角的余弦值为【解析】本题考查立体几何中的异面直线垂直，及利用空间向量表示两平面夹角的余弦值，属于中档题.21.【答案】解：由题意知：， ，，，此时椭圆C的标准方程为：；设直线l的方程为，，依题意知：，，即化简得①联立，整理得，，，将它们代入①得：化简得当时，直线l的方程为，此时直线l恒过点，不符合题意舍去；当时，直线l的方程为，此时直线l恒过点综上：直线l恒过定点\n【解析】本题考查求椭圆方程，以及定斜率条件证明直线l过定点，属于较难题．结合离心率及的等式求得的值，得到椭圆C的方程；假设直线l的方程，与椭圆C的方程得到x的二次函数，韦达定理得到用参数，，代入等式化简可以得到的等式，从而得到直线l的定点坐标．22.【答案】解：函数的定义域为，则：，当，，恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，令，，，；所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为由题意知：当时，方程内存在唯一根，令，则，当时，，则有两个不相等的实数根，又，，故，\n设，令，则或，则当时单调递增，当时单调递减，当时单调递增，又，且在内存在唯一零点，则，即，即由①得：，代入②得令，，则，当时，，在上单调递减，又，，在区间有且仅有一个零点，即【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性以及通过构造函数求解零点区间的证明问题，属于较难题.先判断定义域，再求导后对参数a进行分类讨论得到函数的单调区间；构造函数，求导后得到单调性，由在\n内有唯一零点且推断出当x等于零点时，，最后转化为零点在，利用单调性及零点的存在性定理可证明得到