辽宁省大连市第二十四中学等校2022届高三高考联合模拟考试数学试题（Word解析版）

2022年高考联合模拟考试数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的性质求出集合B，再根据交集的定义即可得出答案.【详解】解：因为，，所以.故选：C.2已知复数z满足，则（）A.1B.C.D.5【2题答案】【答案】B【解析】【分析】将等式两边同时取模可求解.【详解】将等式两边同时取模，有，即，所以.故选：B3.“”是“函数－kx－k的值恒为正值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【3题答案】\n【答案】B【解析】【分析】根据函数－kx－k的值恒为正值求出k的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】函数－kx－k的值恒为正值，则，∵à，∴“”是“函数－kx－k的值恒为正值”的必要不充分条件.故选：B.4.已知，则（）A.B..C.D.【4题答案】【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式以及余弦的二倍角公式即可求出结果.【详解】故选：D.5.已知单位向量和满足，则与的夹角为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】B【解析】\n【分析】利用向量数量积的运算律，将已知条件转化为，即可求与的夹角.【详解】由题设，，则，∴，又和为单位向量，∴，又，∴.故选：B6.已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于A，B两点，则的最小值为（）A.B.2C.4D.【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据将最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.【详解】将，变形为，故直线恒过点，圆心，半径，已知点P在圆内，过点作直线与圆相交于A，两点，记圆心到直线的距离为d，则，所以当d取得最大值时，有最小值，结合图形易知，当直线与线段垂直的时候，d取得最大值，即取得最小值，此时，所以.故选：A.\n7.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（）A.B.C.D.【7题答案】【答案】C【解析】【分析】\n从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．【详解】由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水，2，7属性为火，5，10属性为土，从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：，∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．故选：C．【点睛】此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.8.已知函数，若且，则有（）A.可能是奇函数，也可能是偶函数B.C.时，D.【8题答案】【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义结合即可判断A；令，利用导数结合已知判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断BCD即可得解.【详解】解：若是奇函数，则，又因为，与矛盾，所有函数不可能时奇函数，故A错误；\n令，则，因为，，所以，所以函数为增函数，所以，即，所以，故B错误；因为，所以，，所以，故，即，所以，故C错误；有，即，故D正确.故选：D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法中正确的是（）A.已知随机变量X服从二项分布，则B.已知随机变量X服从正态分布且，则C.已知随机变量X的方差为，则D.以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则【9题答案】【答案】AD【解析】【分析】根据二项分布得方差公式即可判断A；\n根据正态分布得对称性求出，从而可判断B；根据方差得性质即可判断C；根据题意求出，即可判断D．【详解】解：对于A，由随机变量X服从二项分布，得，故A正确；对于B，因为随机变量X服从正态分布，则对称轴为，又，所以，所以，故B错误；对于C，因为随机变量X的方差为，则，故C错误；对于D，模型，则，又因，，所以，所以，故D正确．故选：AD．10.已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称.当时，.则下列结论正确的是（）A.函数的图象关于点中心对称B.函数的最小正周期为2C.当时，D.函数在上单调递减【10题答案】【答案】BC【解析】【分析】先求出周期和解析式，画出图像，对四个选项一一验证：\n对于A：由图像可判断函数的中心对称；对于B：利用图像变换作出函数的图象，即可判断；对于C：直接求出解析式即可判断；对于D：利用图像变换作出的图像，即可判断；【详解】因为函数对任意都有，所以，即，所以所以，即恒成立，所以的周期为4.因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以关于对称.任取，则，因为函数对任意都有，即，所以.所以，作出的图象如图所示：对于A：由图象可知：函数的图象关于点中心对称，故A错误；对于B：函数的图象可以看成的图象x轴上方的图象保留，把x轴上方的图象轴下方的图象翻折到x轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B正确；\n对于C：由前面的推导可得：当，.故C正确；对于D：作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误.故选：BC11.已知抛物线，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于A、B两点，连接AK、BK，设的中点为P，过P作的垂线交x轴于Q，下列结论正确的是()A.B.C.的面积最小值为D.【11题答案】【答案】ABD【解析】【分析】设直线AB的倾斜角为α，即∠AFx＝α，设，，.可根据角平分线的性质判断A；过A作AD⊥x轴，垂足为D，表示出，即可判断B；，数形结合即可判断C；求出PQ方程，令y＝0求出Q的横坐标，求出即可判断它们的关系，由此判断D.【详解】设直线AB的倾斜角为α，即∠AFx＝α，设，，，①若，则，则根据角平分线的性质可知，x轴为∠AKB\n的角平分线，设直线，代入抛物线方程得，所以，所以，所以x轴一定是∠AKB的平分线，故A正确；②过A作AD⊥x轴，垂足为D，则tan，，，故B正确；③，当，即AB⊥x轴时，取等号，故的面积最小值为，故C错误；对于D：，则，∴PQ方程为：，令y＝0得，，∴，∴，∴，故D正确.故选：ABD.\n12.已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（）A.正四棱台的体积为B.正四棱台的外接球的表面积为104πC.AE∥平面D.到平面的距离为【12题答案】【答案】BCD【解析】【分析】利用正四棱台的体积计算可判断A；连接相交于，连接相交于，分外接球的球心在正四棱台的内部、内部，根据、，求出可判断B；取的中点，利用面面平行的判断定理可判断平面平面，从而可判断C；以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可判断D.【详解】正四棱台的体积为，，故A错误；\n连接相交于，连接相交于，如果外接球的球心在正四棱台的内部，则在上，，因为上下底面边长分别为4，6，所以，，设外接球的半径为，所以，即，无解，所以外接球的球心在正四棱台的外部，如下图，则在延长线上，，因为上下底面边长分别为4，6，所以，，设外接球的半径为，所以，即，解得，所以正四棱台的外接球的表面积为，故B正确；\n取的中点，连接，，连接，所以，所以是的中点，因为，所以，又，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，因为，所以，平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面，故C正确；以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，\n所以，即，令可得，到平面的距离为，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线C的一条渐近线方程为，且其实轴长小于4，则C的一个标准方程可以为___________.【13题答案】【答案】【解析】【分析】可设双曲线的方程为，假设，则双曲线的实轴为，再根据实轴长小于4，求得此时的范围，即可写出符合题意的双曲线方程.【详解】解：可设双曲线的方程为，即，当时，双曲线的实轴为，则，所以，可取，则C的一个标准方程可以为.故答案为：.（答案不唯一）14.在的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为___________.\n【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据二项式的第3项和第6项的二项式系数相等，求得，再求出展开式的通项，令的指数等于，从而可得出答案.【详解】解：因为二项式的第3项和第6项的二项式系数相等，所以，所以，则二项式展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为.故答案为：.15.在棱长为的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为_______.【15题答案】【答案】【解析】【分析】作出图形，设，利用基本不等式可求得的最大值，可求得的最小值，利用正弦定理求得外接圆直径的最小值，可求得该三棱锥外接球直径的最小值，由此可求得结果.【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于，则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得.\n本题中，平面，设的外接圆为圆，可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示：设的外接圆直径为，，该三棱锥的外接球直径为，则.如下图所示：设，则，，，\n，当且仅当时，取得最大值，由，可得，，所以，的最大值为，由正弦定理得，即的最小值为，因此，，所以，三棱锥外接球的表面积为.故三棱锥外接球的表面积的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.16.已知三棱锥，P是面内任意一点，数列共9项，且满足，满足上述条件的数列共有___________个.【16题答案】【答案】70\n【解析】【分析】根据共面得出与关系后分类讨论求解【详解】解：因为P是面内任意一点，所以四点共面，因为，所以，即，解得或，可转化为组合计数问题①若，则，只有1个②若，则，有个③若，则，有个④若，则，有个⑤若，则，只有1个共70个故答案为：70四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的公差为正实数，满足，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，若，且___________，求数列的前项和为，以下有三个条件：①；②；③从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列为等比数列，并根据题意解决问题.【17题答案】【答案】（1）\n（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求得公差，从而可得出答案；（2）根据数列通项与数列前项和的关系求出数列的通项公式，然后利用错位相减法即可得出答案.小问1详解】解：设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得（负值舍去），所以，所以；【小问2详解】解：选①，由，当时，，当时等式也成立，所以，则，所以，则，两式相减得，所以.选②，由，\n当时，，所以，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，所以，则，以下步骤同①.选③，由，得，两式相减得：，又，所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，所以，则，以下步骤同①.19.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若点D在边BC上，且，，求△的面积.【19题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理的边角关系、三角形内角的性质可得\n，再应用二倍角正弦公式化简可得，即可求A的大小.（2）由题设可得，法一：由正弦定理及可得，再由余弦定理得到，最后根据三角形面积公式求△面积；法二：根据三角形面积公式有，由△的边BD与△的边DC上的高相等及已知条件可得，再由余弦定理得到，最后根据三角形面积公式求△面积；【小问1详解】由已知及正弦定理得：，又，∴，又，∴，则，而，∴，则，故，得.【小问2详解】由，，则.法一：在△中，，①在△中，，②∵，∴，③由①②③得：，又，得，∴，不妨设，，在△中，由余弦定理可得，，得，\n所以.法二：.∵△的边BD与△的边DC上的高相等，∴，由此得：，即，不妨设，，在△中，由余弦定理可得，，得，所以21.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【21题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）.\n【解析】【分析】（1）先证明DE⊥平面，进而根据面面垂直的判定定理证明问题；（2）建立空间直角坐标系，进而根据空间向量的夹角运算求得答案.【小问1详解】如图，连接BD.在菱形ABCD中，连接BD，∠BAD=60°，所以为正三角形，因为E为AB的中点，所以DE⊥AB.因为AB//CD，所以DE⊥CD.因为平面ABCD，平面ABCD，所以，而，所以DE⊥平面.又因为平面DEF，所以平面DEF⊥平面.【小问2详解】设，以D为原点，以直线DE，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，.\n设为平面DEF法向量，由得取，得.由（1），则平面，即为平面的一个法向量，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.23.某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户．注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．（Ⅰ）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为，，根据图中数据，试比较，的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．【23题答案】\n【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（III）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）；（Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A组的客户”为事件M，利用古典概型及排列组合能求出从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率；（III）依题意ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）．（Ⅱ）设“从抽取的位客户中任意抽取位，至少有一位是A组的客户”为事件M，则．所以从抽取的位客户中任意抽取位至少有一位是A组的客户的概率是．（III）依题意的可能取值为，，．则；；．所以随机变量的分布列为：所以随机变量的数学期望．即．【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”\n，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值24.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为为坐标原点，线段的中点为，且.（1）求方程；（2）已知点均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线分别交椭圆于另一点，证明直线与直线垂直.【24题答案】【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设易知且，根据有即可求，进而写出椭圆方程.（2）令，，则，而，即可写出直线、的方程，联立椭圆方程并设、，应用韦达定理求、的坐标，进而可求，结合及，即可证直线与直线垂直.【详解】（1）由题意知：，，则，而，∴，即，又，∴，解得，故，∴的方程.\n（2）令，，则，而，∴，，联立椭圆方程，，整理得，若，则，得，则.同理，，若，可得，则.∴，又，则，故，而，∴，则直线与直线垂直，得证.\n【点睛】关键点点睛：第二问，设、坐标，写出坐标、直线、的方程，联立椭圆方程结合韦达定理求、的坐标，利用、斜率两点式判断是否成立即可.25.已知函数.（1）当时，试判断函数在上的单调性；（2）存在，，，求证：.【25题答案】【答案】（1）函数在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出，当时，的最小值大于零，则在上单调递增；（2）令，，将转化为，再构造函数利用导数证明最小值小于0.【详解】（1）(方法一)当时，，，当时，，所以，当时，函数在上单调递增.(方法二)当时，，，\n由，结合函数与图象可知：当时，，，所以两函数图象没有交点，且.所以当时，.所以，当时，函数在上单调递增.（2）证明：不妨设，由得，，.设，则，故在上为增函数，，从而，，，要证只要证，\n下面证明：，即证，令，则，即证明，只要证明：，设，，则在单调递减，当时，，从而得证，即，，即.【点睛】关键点睛：双变量问题可通过换元将两个变量转化为一个变量，构造函数，利用导数来证明不等式．