湖南省 2022届高三数学下学期开学考试试卷(Word版带答案)
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衡阳市八中2019级高三第六次月考试题数学请注意:时量120分钟满分150分一.单选题:共8题,每题5分,共40分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合,集合,则等于()A.B.C.D.2.若为纯虚数,则实数的值为()A.B.C.D.3.下列有关命题的说法正确的是()A.若,则B.“”的一个必要不充分条件是“”C.若命题:,,则命题:,D.,是两个平面,,是两条直线,如果,,,那么4.定义:在数列中,若满足(,d为常数),称为“等差比数列”,已知在“等差比数列”中,,,则等于()A.B.C.D.()A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b6.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是()A.B.C.D.
7.已知、是双曲线(,)的左、右焦点,关于双曲线的一条渐近线的对称点为,且点在抛物线上,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.8.已知定义在上的函数满足,当时,.若关于的方程有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、多选题:共4题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某学校为研究高三学生的考试成绩,根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示,已知思想政治成绩在的学生人数为15,把频率看作概率,根据频率分布直方图,下列结论正确的是()A.B.C.本次思想政治考试平均分为80D.从高三学生中随机抽取4人,其中3人成绩在内的概率为10.已知函数,则下列说法正确的是()A.函数的周期为B.函数图象的一条对称轴为直线C.函数在上单调递增D.函数的最小值为11.已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于两点,以线段为直径的圆交轴于两点,设线段的中点为,则下列说法正确的是()A.若抛物线上的点到点的距离为,则抛物线的方程为B.以AB为直径的圆与准线相切C.线段AB长度的最小值是D.的取值范围为12.如图,已知菱形中,,,E为边的中点,将△沿翻折成△(点位于平面上方),连接和,F为
的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的是()A.平面平面B.与的夹角为定值C.三棱锥体积最大值为D.点F的轨迹的长度为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.14.过抛物线C:上的一点M(非顶点)作C的切线与x轴、y轴分别交于A、B两点,则______.15.某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体的顶点出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是,黄“电子狗”爬行的路线是,它们都遵循如下规则:所爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线(其中是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()(I)求的最小正周期;(II)求在区间上的最大值和最小值,并分别写出相应的的值.18.已知数列为等比数列,数列满足,且.设为数列的前项和.(1)求数列、的通项公式及;
(2)若数列满足,求的前项和.19.如图1,在直角梯形中,,,,,,点在上,且,将沿折起,使得平面平面(如图2),为中点.(1)求证:平面;(2)求四棱锥的体积;(3)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.20.平面直角坐标系中,椭圆:()的离心率是,抛物线E:的焦点是的一个顶点.(I)求椭圆C的方程;(II)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线与y轴交于点G,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.21.2021年6月17日9时22分,我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭,成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道,顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空,发射取得圆满成功,这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件,该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用,拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟,得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下:序号123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665
当时,建立了y与x的两个回归模型:模型①:,模型②:;当时,确定y与x满足的线性回归方程为.(1)根据下列表格中的数据,比较当时,模型①,②的相关指数的大小,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益;回归模型模型①模型②回归方程79.1320.2(2)为鼓励科技创新,当应用改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴5亿元,以回归方程为预测依据,根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型,比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小.附:刻画回归效果的相关指数,且当越大时,回归方程的拟合效果越好..用最小二乘法求线性回归方程的截距:.22.设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.(I)讨论f(x)的单调性;(II)确定a的所有可能取值,使得在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。衡阳市八中2019级高三第六次月考试题数学请注意:时量120分钟满分150分
参考答案题号123456789101112答案BCCCDCDAABDABDBCDABD4.由题意可得:,,,根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1,公差为2的等差数列,则,所以,,所以.7.由题意关于双曲线的一条渐近线的对称点为,且到渐近线的距离为b,∴中,,,又,所以,∴,∴,又点在抛物线上,∴的长度为抛物线中抛物线的焦点到抛物线的准线的距离,∴由抛物线的定义得到:,∴,∴,∴.故选:D.8.当时,函数在上单调递减,在上单调递增,且,函数关于对称,过定点
如图所示,画出函数图像:当与相切时,设切点为则根据对称性考虑左边图像,根据图像验证知是方程唯一解,此时故答案为故选:9.ABD由题知,,选项A正确;,选项B正确;本次思想政治考试平均分估计值为,选项C错误;可知在内的概率为0.16,从高三学生中随机抽取4人,其中3人成绩在内的概率为,选项D正确,故选:ABD.10.ABD解:函数.所以函数的周期为,故A选项正确;当时,,所以直线是函数
图象的一条对称轴,故B选项正确;当,则,由正弦函数性质可知,此时单调递减,故C选项错误;由可知,当时,取得最小值为,故D选项正确.故选:ABD.11.BCD由题意,抛物线的焦点为,准线方程为,对于A中,由抛物线上的点到点的距离为,抛物线的定义,可得,解得,所以抛物线的方程为,所以A不正确;对于B中,分别过点,作准线的垂线,垂足分别为,如图所示,则线段的中点为到准线的距离为根据抛物线的定义,可得,所以,所以,即圆心到准线的距离等于圆的半径,即以AB为直径的圆与准线相切,所以B正确;设,由抛物线的定义,可得,当直线的斜率不存在时,可设直线的方程为,联立方程组,解得,此时当直线的斜率存在时,设直线的方程为,联立方程组,整理得,可得,所以,综上可得,线段AB长度的最小值是,所以C正确;设直线的方程为,联立方程组,整理得,
可得,则,则则点到的距离为,所以,所以,所以D正确.故选:BCD.12.ABDA:由,,E为边的中点知:且,易知,,而,故面,又面,所以面面,正确;B:若是的中点,又F为的中点,则且,而且,所以且,即为平行四边形,故,所以与的夹角为或其补角,若为中点,即,由A分析易知:,故与的夹角为,正确;
C:由上分析知:翻折过程中当面时,最大,此时,错误;D:由B分析知:且,故F的轨迹与到的轨迹相同,由A知:到的轨迹为以为圆心,为半径的半圆,而为中点,故到的轨迹为以中点为圆心,为半径的半圆,所以F的轨迹长度为,正确.故选:ABD.13.2414.15.116.(-∞,ln)14.由,则.设点,则曲线C在M处的切线的斜率为.所以曲线C在M处的切线方程为:.即.所以由三点的坐标可得,点为的中点.所以.故答案为:15.1由题意,黑"电子狗"爬行路线为,即过6段后又回到起点,可以看作以6为周期,所以黑"电子狗"爬完2008段后实质是到达点;同理,黄"电子狗"也是过6段后又回到起点.黄“电子狗"爬完2009段后到达点;此时的距离为.
故答案为:1.17.【详解】(1),,,所以的最小正周期为.(2)∵,∴,当,即,,当,时,.18.(1),,,;(2)(1)对,则,因为为等比数列,则为定值.则为定值,则数列为等差数列.,则,,,;(2),设,为数列的前项和,则有:(*)式(**)式,得:,.
当时,;当时,,即19.(1)因为为中点,,所以,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面;(2)在直角三角形中,,,,所以四棱锥的体积为;(3)如图,过点作交于点,过点作交于点,连接,因为,平面,平面,所以平面,同理平面,又因为,所以平面平面,因为平面,所以平面,所以上存在点,使得平面,,四边形是平行四边形,
,,又,.20.(1)模型②拟合精度更高、更可靠,亿;(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小.(1)对于模型①,对应的,故对应的,故对应的相关指数,对于模型②,同理对应的相关指数,故模型②拟合精度更高、更可靠.故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.(2)当时,后五组的,,由最小二乘法可得,故当投入20亿元时公司收益(直接收益+国家补贴)的大小为:,故投入17亿元比投入20亿元时收益小.21.(I)由题意可得e==,抛物线E:x2=2y的焦点F为(0,),即有b=,a2﹣c2=,解得a=1,c=,可得椭圆的方程为x2+4y2=1;(Ⅱ)(i)证明:设P(x0,y0),可得x02=2y0,由y=x2的导数为y′=x,即有切线的斜率为x0,则切线的方程为y﹣y0=x0(x﹣x0),可化为y=x0x﹣y0,代入椭圆方程,可得(1+4x02)x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0,△=64x02y02﹣4(1+4x02)(4y02﹣1)>0,可得1+4x02>4y02.设A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x1+x2=,即有中点D(,﹣),直线OD的方程为y=﹣x,可令x=x0,可得y=﹣.即有点M在定直线y=﹣上;(ii)直线l的方程为y=x0x﹣y0,令x=0,可得G(0,﹣y0),则S1=|FG|•|x0|=x0•(+y0)=x0(1+x02);S2=|PM|•|x0﹣|=(y0+)•=x0•,则=,令1+2x02=t(t≥1),则====2+﹣=﹣(﹣)2+,则当t=2,即x0=时,取得最大值,此时点P的坐标为(,).22.(I)<0,在内单调递减.由=0,有.此时,当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增.(II)令=,=.
则=.而当时,>0,所以在区间内单调递增.又由=0,有>0,从而当时,>0.当,时,=.故当>在区间内恒成立时,必有.当时,>1.由(I)有,从而,所以此时>在区间内不恒成立.当时,令,当时,,因此,在区间单调递增.又因为,所以当时,,即恒成立.综上,
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