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湖南省长沙市2022届高三数学新高考适应性考试(1月)(Word版附答案)

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长沙市2022学年新高考适应性考试数  学(满分:150分 考试时间:120分钟)2022.1一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={x|x>1},B={x|x2-2x-3≤0},则A∩B=(  )A.[-1,+∞)B.[1,3]C.[-1,1)D.(1,3]2.已知i为虚数单位,若复数z=,则|iz|=(  )A.1B.C.D.23.若数列{an}的前n项和为Sn=3n2+2n+a,则“a=0”是“数列{an}为等差数列”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数y=(1+cosx)(x-)在(-5,0)∪(0,5)上的图象大致为(  )5.已知sin(+2α)=,则cos(-2α)=(  )A.B.-C.D.±6.若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=x有交点,则其离心率的取值范围是(  )A.(2,+∞)B.(1,2]C.(1,2)D.[2,+∞)7.已知m,n,s,t∈R*,m+n=4,+=9,其中m,n是常数,且s+t的最小值是,点M(m,n)是曲线+=1的一条弦AB的中点,则弦AB所在直线方程为(  )A.x-4y+6=0B.4x-y-6=0C.4x+y-10=0D.x+4y-10=08.数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出:△ABC的外心O,重心G,垂心H,依次位于同一条直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,该直线被称为欧拉线.若AB=4,AC=2,则下列各式不正确的是(  )A.·-4=0B.2=- C.·+6=0D.=++二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若ab<0,则下列结论正确的是(  )A.a2+b2≥2abB.a+b<0C.a(a-b)>0D.>210.下列选项正确的是(  )A.若n∈N*,则C+C+…+C=2nB.若二项式(5x-)n的展开式中二项式系数之和为64,则展开式中常数项是第5项C.若p:∃n∈N,n2>2n,则p:∀n∈N,n2≤2nD.设随机变量ζ~N(2,σ2),若P(ζ<3a-2)=P(ζ>a+1),则a=111.在正方体ABCDA1B1C1D1中,N为底面ABCD的中点,P为棱A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是(  )A.CM与PN是异面直线B.||>||C.过P,A,C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形D.平面PAN⊥平面BDD1B112.若存在,则称为二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记为f′x(x0,y0);若存在,则称为二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数,记为f′y(x0,y0).若二元函数z=f(x,y)=x2-2xy+y3(x>0,y>0),则下列结论正确的是(  )A.f′y(1,2)=10B.f′x(1,2)=-2C.f(x,y)的最小值为-D.f′x(m,n)+f′y(m,n)的最小值为-1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数f(x)=ex-1的图象在点(0,f(0))处的切线方程为____________.14.某车间为了提高工作效率,需要测试加工零件所花费的时间,为此进行了5 次试验,这5次试验的数据列(个数x,加工时间y)为:(10,62),(20,a),(30,75),(40,81),(50,89).若用最小二乘法求得其回归直线方程为y=0.67x+54.9,则a的值为________.15.已知事件A,B,且P(A)=0.5,P(B)=0.2,如果A与B互斥,令m=P(AB);如果A与B相互独立,令n=P(A),则n-m=________.16.已知函数f(x)=x2,g(x)=2a|x-1|,a为常数.若对于任意x1,x2∈[0,2],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<g(x1)-g(x2),则实数a的取值范围是________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足c=2,2bcosB=ccosA+acosC,且△ABC的面积S=,求b.18.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).(1)求证:数列{an+1}是等比数列;(2)设bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1为矩形,若平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,平面BCC1B1⊥平面ABC1.(1)求证:AB⊥BB1;(2)记平面ABC1与平面A1B1C1所成角为α,直线AC1与平面BCC1B1所成角为β,异面直线AC1与BC所成角为φ,当α,β满足cosα·cosβ=m(0<m<1,m为常数)时,求sinφ的值. 20.(本小题满分12分)2022年电商即将开展“欢度春节”促销活动,某电商为了尽快占领市场,对某地区年龄在10到70岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示:(年龄单位:岁)年龄段[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频率0.10.320.280.220.050.03使用网上购物人数828241221(1)若以40岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关?年龄低于40岁年龄不低于40岁总计使用网上购物人数不使用网上购物人数总计(2)若从年龄在[50,60),[60,70]的样本中各随机选取2人进行座谈,记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式和数据:K2=,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.0250.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.82821.(本小题满分12分)已知离心率为的椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上的一点,△PF1F2的周长为6,且F1为抛物线C2:y2=-2px(p>0)的焦点.(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程;(2)过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A,B两点,点O为原点,射线OA,OB分别交椭圆于C,D两点,△OCD的面积为S1,△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得S2=S1?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. 22.(本小题满分12分)已知<b<1,函数f(x)=ex-x-2b,其中e=2.71828…为自然对数的底数.(1)求函数y=f(x)的单调区间;(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+∞)上的零点,求证:<x0<. 数学参考答案及评分标准1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.A 8.A 9.AC 10.BC 11.BD 12.ABC13.x-ey+1=0 14.68 15.0.4 16.[0,1]17.解:由2bcosB=ccosA+acosC,根据正弦定理,有2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC,(2分)即2sinBcosB=sin(A+C)=sinB.(4分)由B∈(0,π),sinB≠0,所以cosB=,故B=.(6分)由△ABC的面积S=acsinB=×a×2sin=,解得a=+1.(8分)根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=4+2+4-2(+1)×2×=6,故b=.(10分)18.(1)证明:依题意,由an+1=2an+1,可得an+1+1=2(an+1),(4分)∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列.(5分)(2)解:由(1)得an+1=(a1+1)·2n-1,又a1=1,∴an=2n-1,∴bn=(2n-1)an=(2n-1)·(2n-1)=(2n-1)·2n-(2n-1).(6分)构造数列{dn}:令dn=(2n-1)·2n,则bn=dn-(2n-1).设数列{dn}的前n项和为Sn,则Sn=d1+d2+…+dn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,2Sn=1·22+3·23+…+(2n-1)·2n+1,两式相减,可得-Sn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)·2n+1=2+-(2n-1)·2n+1=(3-2n)·2n+1-6,∴Sn=(2n-3)·2n+1+6,(10分)∴Tn=b1+b2+…+bn=(d1-1)+(d2-3)+…+[dn-(2n-1)]=(d1+d2+…+dn)-[1+3+…+(2n-1)]=Sn-=(2n-3)·2n+1+6-n2.(11分)∴Tn=(2n-3)·2n+1+6-n2.(12分)19.(1)证明:∵BCC1B1是矩形,∴BC⊥BB1.又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴AB⊥BC.(3分)过点C作CO⊥BC1,∵平面BCC1B1⊥平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,CO⊂平面BCC1B1,∴CO⊥平面ABC1.又AB⊂平面ABC1,∴AB⊥CO.∵AB⊥BC,CO∩BC=C,∴AB⊥平面BCC1B1. 由BB1⊂平面BCC1B1,∴AB⊥BB1.(6分)(2)解:由棱柱知AB∥A1B1,又AB⊥平面BCC1B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.以B1为原点,B1A1,B1B,B1C1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B1xyz,不妨设B1A1=a,B1B=b,B1C1=c,则=B1A1=(a,0,0),BC1=(0,-b,c),设n1=(x1,y1,z1)为平面ABC1的法向量,则∴x1=0.令y1=c,则z1=b,∴n1=(0,c,b).取平面A1B1C1的一个法向量n=(0,1,0),∴cosα=|cos〈n1,n〉|=,(8分)取平面BCC1B1的一个法向量n2=(1,0,0),由C1A=(a,b,-c),∴sinβ=|cos〈C1A,n2〉|=,∴cosβ=,则cosαcosβ=,(9分)|cos〈C1A,〉|=cosφ==,(10分)∴cosφ=cosαcosβ.(11分)∵cosαcosβ=m且m∈(0,1),φ∈(0,),∴sinφ==,故sinφ=为所求.(12分)(其他解法根据相应步骤酌情给分)20.解:(1)由统计表可得,年龄低于40岁的人数为70,不低于40岁的人数为30,可得列联表如下.年龄低于40岁年龄不低于40岁总计使用网上购物人数601575不使用网上购物人数101525总计7030100(2分)于是有K2的观测值 K2==≈14.286>10.828,(4分)故可以在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关.(5分)(2)由题意可知,X的所有可能的取值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,(9分)于是X的分布列为X0123P(10分)所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.(12分)21.解:(1)由题意得解得∴椭圆的方程为+=1,抛物线的方程为y2=-4x.(4分)(2)由题意得直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).由得y2+4my-8=0,y1+y2=-4m,y1y2=-8.(6分)∵S2=S1,∴===·==.∵y=-4x1,∴直线OA的斜率为=-,即直线OA的方程为y=-x.由得y=,(8分)同理可得y=,y·y=×=,(10分)∴()2===,得m=±1,(11分)∴存在直线l,方程为x-y+2=0或x+y+2=0.(12分)22.解:(1)由题意,知f(x)的定义域为R,f′(x)=ex-1.(1分) 令f′(x)>0,得ex>1,∴x>0;(2分)令f′(x)<0,得ex<1,∴x<0,(3分)故f(x)的单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-∞,0).(4分)(2)由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,且当1<2b<2时,f(0)=1-2b<0,f(2)=e2-2-2b>e2-4>0,∴由零点存在性定理得f(x)在(0,+∞)上有唯一零点x0,且x0∈(0,2),(5分)∴ex0-x0-2b=0,即2b=ex0-x0,要证明的不等式等价于ex0-x0-1<x<2(ex0-x0-1).设h(x)=ex-x-1-(0<x<2),(7分)则h′(x)=ex-1-x=h1(x),h′1(x)=ex-1>0,∴h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)在(0,2)上单调递增,∴h(x)>h(0)=0,∴ex-x-1->0,∴当x∈(0,2)时,2(ex-x-1)>x2成立;(8分)∵1<2b<2,∴2b-1<1,∴当x0≥1时,<x0成立,(9分)因此只需证明:当0<x<1时,ex-x-1-x2<0.设g(x)=ex-x-1-x2,因为g′(x)=ex-1-2x=g1(x),g′1(x)=ex-2,令g′1(x)=0⇒x=ln2.当x∈(0,ln2)时,g′1(x)<0,当x∈(ln2,1)时,g′1(x)>0,∴g′(x)<max{g′(0),g′(1)}.∵g′(0)=0,g′(1)=e-3<0,∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,1)上单调递减,∴g(x)<g(0)=0,∴ex-x-1<x2,∴当x∈(0,2)时,ex-x-1<x2成立.(11分)综上可得ex0-x0-1<x<2(ex0-x0-1),即<x0<.(12分)

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-02-18 17:00:05 页数:10
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文章作者:随遇而安

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