八省八校（T8联考）2022届高三上学期第一次联考试题 数学试卷

东北育才学校福州一中广东实验中学湖南师大附中华师一附中南京师大附中石家庄二中西南大学附中T8联考八校2022届高三第一次联考数学试题试卷满分150分考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设a，b为非零向量，λ，，则下列命题为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，为奇函数，且当时，，则（）A．B．C．5D．65．如图，抛物线C：的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，l与y轴相交于E点．已知，，记△AEF的面积为S1，△BEF的面积为S2，则（）第8页共8页 A．S1=2S2B．2S1=3S2C．S1=3S2D．3S1=4S26．已知，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1，的底面为平行四边形，E，F，G分别为棱AA1，CC1，C1D1的中点，则（）A．直线BC1与平面EFG平行，直线BD1与平面EFG相交B．直线BC1与平面EFG相交，直线BD1与平面EFG平行C．直线BC1、BD1都与平面EFG平行D．直线BC1、BD1都与平面EFG相交8．设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A．的最小正周期为B．为偶函数C．在区间内的最小值为1D．的图象关于直线对称10．某中学在学校艺术节举行“三独”第8页共8页 比赛（独唱、独奏、独舞），由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制．某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表．对学生网络评分按[7，8），[8，9），[9，10]分成三组，其频率分布直方图如图所示．教师评委АBCDEFG有效评分9.69.19.48.99.29.39.5则下列说法正确的是（）A．现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同B．估计全校有1200名学生的网络评分在区间[8，9）内C．在去掉最高分和最低分之前，9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7D．从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则11．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（）A．若，，则C的两条渐近线的方程是B．若点P的坐标为（2，），则C的离心率大于3C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于D．若C为等轴双曲线，且，则12．在矩形ABCD中，AB=2，AD=，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角B−AC−D，若，则（）A．四面体ABCD外接球的表面积为B．点B与点D之间的距离为C．四面体ABCD的体积为D．异面直线AC与BD所成的角为45°三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则直线l在y第8页共8页 轴上的截距为．14．已知的展开式中第3项为常数项，则这个展开式中各项系数的绝对值之和为．（用数字作答）15．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列（Fibonaccisequence），该数列是由十三世纪意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列可表述为，（，）．设该数列的前n项和为Sn，记，则．（用m表示）16．在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点A（1，0），B（2，0），C（4，0），D（8，0），则这个正方形的面积可能为或．（每条横线上只填写一个可能结果）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知函数．（1）设，求函数的单调递减区间；（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边的中点，若，，求线段AD的长的取值范围．18．（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为Sn，已知，．第8页共8页 （1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，定义[x]为不超过x的最大整数，例如[0.3]=0，[1.5]=1．当时，求n的值．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=AB，E为BC的中点．（1）若∠PBA=60°，证明：AE⊥PD；（2）求直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围．20．（本小题满分12分）设椭圆E：（），圆C：（），点F1，第8页共8页 F2分别为E的左、右焦点，点C为圆心，O为原点，线段OC的垂直平分线为l．已知E的离心率为，点F1，F2关于直线l的对称点都在圆C上．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线l与椭圆E相交于A，B两点，问：是否存在实数m，使直线AC与BC的斜率之和为？若存在，求实数m的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛．初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛：个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会。比赛规则为：电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级。团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30人，且参赛人数为偶数．为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功．参赛方式有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛．方式一：将班级团队选派的2n个人平均分成n组，每组2人．电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功．若这n个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功．方式二：将班级团队选派的2n个人平均分成2组，每组n人．电脑随机分配给同一组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组闯关成功．若这2个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功．（1）甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率；（2）在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数p（），为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由．22．（本小题满分12分）已知函数，其中a为非零常数．第8页共8页 （1）若函数在（0，）上单调递增，求a的取值范围；（2）设，且，证明：当时，函数在（0，）上恰有两个极值点．第8页共8页 第8页共8页