2020-2021学年长春市双阳区八年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年长春市双阳区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.表面积为12dm2的正方体的棱长为(    )A.2dmB.22dmC.1dmD.2dm2.一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有( )A.3条B.5条C.7条D.9条3.下列运算正确的是(    )A.a2+a3=a5B.a2⋅a2=2a2C.6a5÷3a3=2a2D.(-a2)3=-a54.已知4x2-mxy+9y2是关于x，y的完全平方式，则m的值为(    )A.6B.±6C.12D.±125.估计无理数76的大小应在的范围是(    )A.6与7之间B.7与8之间C.8与9之间D.9与101之间6.下列运算正确的是(    )A.a+a=2a2B.a2⋅a=2a2C.(2a)2÷a=4aD.(-ab)2=ab27.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点且DE//BC，AE：EC=1:4，那么S△AED：S△DBE=(    )A.1：4B.1：20C.1：18D.1：168.实数a，b，c满足：a2+6b=-17，b2+8c=-23，c2+2a=14，则a+b+c的值是(    )A.-6B.-7C.-8D.-99.下列命题中，真命题的个数是(    )①如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等；②如果两个三角形有两条边和其中一边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等；③如果两个直角三角形有一条边和这条边所对的角对应相等，那么这两个三角形全等；④如果两个直角三角形有两条边对应相等，那么这两个三角形全等． A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=3，H是AF的中点，则GH的长是(    )A.1B.2C.22D.1.5二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.(-2)的平方根是______；81的算术平方根是______．12.分解因式：3x2+6xy+3y2=______．13.分解因式：3x-27=______．14.把命题“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…，那么……”的形式为：两条直线被第三条直线所截，如果______，那么______．15.已知(x2-3x-4)÷(x+1)=x-4，则多项式x2-3x-4可因式分解为______．16.王老师对本班60名学生的血型作了统计，列出统计表，则本班O型血的有______人．17.将含有30°角的直角三角板(∠A=30°)和直尺按如图方式摆放，已知∠1=35°，则∠2=______．18.如图，DB平分∠ABC，AD//BC，若∠1=(2x+20)°，∠2=(4x+60)°，则∠2=______°.三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 19.已知一个长方形的长增加6cm，宽减少1cm，面积保持不变，长减少3cm，宽增加2cm，面积仍然保持不变，求这个长方形的面积．四、解答题（本大题共9小题，共60.0分）20.(1)计算：|3-2|+(12020-x)+3tan30°+38．(2)解方程：(x-2)2=5×(2-x)．21.先化简，再求值：(3a+2b)(2a-3b)-(a-2b)(2a-b)，其中a=32，b=12．22.某部门为了解本市2018年推荐生测试运动与健康、审美与表现两科的等级情况，从推荐生中随机抽取了400名学生的这两科等级成绩，并将得到的数据绘制成了如图统计图．(1)在抽取的400名学生中，运动与健康成绩为A等级的人数是______；(2)在抽取的400名学生中，审美与表现成绩为B等级的人数是______；(3)若2018年该市共有推荐生10000名，估计运动与健康成绩为C、D等级的人数约为多少？23.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP(备注：当EF=FP，∠EFP=90°时，∠PEF=∠FPE=45°，反之当∠PEF=∠FPE=45°时，当EF=FP)．(1)在图1中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的结论还成立吗？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．24.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．(2)如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB为邻余线，E，F在格点上．25.钝角三角形ABC中，∠BAC>90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D.点E在直线l上，且BC=BE．(1)若AB=AC，点E在AD延长线上．①当α=30°，点D恰好为BC中点时，补全图1，直接写出∠BAE=______°，∠BEA=______°； ②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数(用含α的代数式表示)；(2)如图3，若AB<AC，∠BEA的度数与(1)中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．26.已知M=(x+2)(x-2)，N=4(x-52)．(1)先化简，再求值：M-N，其中x=-1．(2)试比较M，N的大小．27.如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接AF、BF，求∠ABF的度数；(3)如果CD=15，BE=10，sinA=513，求⊙O的半径．28.如图，△ABC和△ACD都是边长为2厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以0.5厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以1厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒(1)当t=2时，PQ=______；(2)求点P、Q从出发到相遇所用的时间；(3)当t取何值时，△APQ是等边三角形；请说明理由；(4)当P在线段AC上运动时，是否存在t使△APQ是直角三角形？若存在请直接写出t的值或t的取值范围，若不存在，请说明理由． 参考答案及解析1.答案：A解析：解：根据正方体的表面积公式：s=6a2，可得：6a2=12，解得：a=2．所以正方体的棱长为2dm．故选：A．根据正方体的表面积公式：s=6a2，解答即可．此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，解题的关键是根据公式进行计算．2.答案：C解析：因为等腰三角形“三线合一”，所以其顶角角平分线，底边高线，底边中线“三线合一”，其余两腰不一定合一，所以最多有1+3+3=7(条)3.答案：C解析：解：A、a2和a3不能合并，故原题计算错误；B、a2⋅a2=a4，故原题计算错误；C、6a5÷3a3=2a2，故原题计算正确；D、(-a2)3=-a6，故原题计算错误；故选：C．根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．此题主要考查了整式的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，关键是掌握各计算法则．4.答案：D解析：解：∵(2x±3y)2=4x2±12xy+9y2，∴在4x2-mxy+9y2中，m=±12．故选D．这里首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍，故m=±12． 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．5.答案：C解析：解：由82=64，92=81；可得8<76<9；故选：C．由于82=64，92=81，由此可得76的近似范围，然后析选项可得答案．此题主要考查了无理数的估算能力．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．6.答案：C解析：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，单项式的除法法则，同底数幂的除法，积的乘方的性质，需要熟练掌握，利用合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；单项式的除法，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、应为a+a=2a，故本选项错误；B、应为a2⋅a=a3，故本选项错误；C、(2a)2÷a=4a2÷a=4a，正确；D、应为(-ab)2=a2b2，故本选项错误．故选C．  7.答案：A解析：解：∵AEEC=14，∵DE//BC，∴ADDB=AEEC=14，∴SΔADESΔABC=125，∴SΔADESΔEBC=120，又∵SΔBDE=SΔABC-SΔADE-SΔBEC，∴SΔAEDSΔDBE=14， 故选A．本题主要考查平行线分线段成比例的性质及三角形的面积，能求得△ADE与△EBC的面积比是解题的关键．8.答案：C解析：解：∵a2+6b=-17，b2+8c=-23，c2+2a=14，∴a2+6b+b2+8c+c2+2a=-26，∴(a2+2a+1)+(b2+6b+9)+(c2+8c+16)=0，即(a+1)2+(b+3)2+(c+4)2=0，∴a+1=0，b+3=0，c+4=0，∴a=-1，b=-3，c=-4，∴a+b+c=-8．故选：C．将已知三个等式的左右分别相加，然后根据配方法将a2+6b+b2+8c+c2+2a转化为偶次方的和的形式(a+1)2+(b+3)2+(c+4)2=0；最后根据非负数的性质解答即可．本题考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题的关键是根据完全平方公式将代数式转化为偶次方的和的形式，求出a，b，c的值．9.答案：B解析：解：①根据两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，可证明这两个三角形全等，故是真命题；②∵判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．∴如果两个三角形有两条边和其中一边所对的角对应相等，不是真命题；③如果两个直角三角形有一条斜边和这条边所对的角对应相等，不能证明这两个直角三角形全等，故不是真命题；④如果两个直角三角形的两条边对应相等，可利用HL或SAS证明这两个三角形全等，故是真命题．综上所述，真命题有2个．故选B．根据全等三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10.答案：C解析：解：连接DH并延长交GF于M，如图所示：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD=BC=CD=2，GF=CG=CE=3，∠ADC=∠ADG=∠DGD=90°，∴DG=1，AD//GF，∴∠DAH=∠MFH，∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△ADH和△FMH中，∠DAH=∠MFH AH=FH ∠AHD=∠FHM ，∴△ADH≌△FMH(ASA)，∴DH=MH，AD=FM=2，∴GM=GF-FM=1，∴DG=GM，∴△DGM是等腰直角三角形，∴DM=2DG=2，∵∠DGM=90°，DH=MH，∴GH=12DM=22；故选：C． 连接DH并延长交GF于M，由ASA证明△ADH≌△FMH，得出对应边DH=MH，AD=FM=2，证出△DGM是等腰直角三角形，由三角函数求出DM，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．  11.答案：无 3解析：解：(-2)<0，(-2)的平方根是无；81=9，9的算术平方根是3．故答案为：无；3．求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根；先计算81，再根据一个正数的算术平方根即是正的平方根求解．本题考查平方根及算术平方根的知识，难度不大，关键是掌握平方根及算术平方根的定义．12.答案：3(x+y)2解析：解：3x2+6xy+3y2，=3(x2+2xy+y2)，=3(x+y)2先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13.答案：3(x-9)解析：解：原式=3(x-9)，故答案为：3(x-9)原式提取公因式即可．此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．14.答案：两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 这两条直线平行解析：解：“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式为如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行．故答案为：两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等；这两条直线平行．先分清命题“内错角相等，两直线平行”的题设与结论，然后把题设写在如果的后面，结论部分写在那么的后面．本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；命题由题设和结论两部分组成． 15.答案：(x+1)(x-4)解析：解：根据题意得：x2-3x-4=(x+1)(x-4)，故答案为：(x+1)(x-4)．根据被除数=商×除数，即可得出答案．本题考查了因式分解，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．16.答案：9解析：根据频数和频率的定义求解即可．17.答案：25°解析：解：过点B作BC//MN，如图所示：∵MN//KH，∴BC//KL，∴∠1=∠LBC，又∵∠1=35°，∴∠LBC=35°，又∵BC//MN，∴∠2=∠ABC，又∵∠A=30°，∴∠ABL=60°又∵∠ABL=∠LBC+∠ABC，∴∠ABC=60°-35°=25°，∴∠2=65°．故答案为65°由两直线同时平行第三直线，得两直线也平行即BC//KL，再由平行线的性质得∠1=∠LBC，∠2=∠ABC，最后由在直角三角形中两锐角互余和角的和差求得∠2=65°． 本题综合考查了平行线的判定与性质，直角三角形中两锐角互余，角的和差等综合知识，重点掌握平行线的性质，难点是作已知直线的平行线．18.答案：100解析：解：∵DB平分∠ABC，∴∠1=∠DBC，∴∠ABC=2∠1，∵AD//BC，∴∠A+∠ABC=180°，即：∠2+2∠1=180°，∴(4x+60)+2(2x+20)=180，解得：x=10，∴∠2=(4x+60)°=(40+60)°=100°，故答案为：100．根据DB平分∠ABC，得到∠ABC=2∠1，然后根据AD//BC得到∠A+∠ABC=180°，从而列出方程求得答案．考查了平行线的性质，解题的关键是了解由平行线得到角之间的关系，难度不大．19.答案：解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意，得(x+6)(y-1)=(x+6)(y-1)=xy(x-3)(y+2)=xy，解得 x=6y=2，∴xy=12(cm2)，答：这个长方形的面积是12cm2．解析：可利用面积相等列方程组，求出x，y的值，进而求出长方形的面积．本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系．20.答案：解：(1)原式=2-3+1+3×33+2=2-3+1+3+2=5；(2)∵(x-2)2+5(x-2)=0，∴(x-2)(x-2+5)=0，则x-2=0或x-2+5=0， 解得x=2或x=2-5．解析：(1)根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；(2)利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.答案：解：(3a+2b)(2a-3b)-(a-2b)(2a-b)，=6a2-9ab+4ab-6b2-(2a2-ab-4ab+2b2)=6a2-9ab+4ab-6b2-2a2+5ab-2b2=4a2-8b2，当a=32，b=12时，原式=4×(32)2-8×(12)2=4×94-8×14=9-2=7．解析：直接利用多项式乘以多项式进而计算，再合并同类项，把已知数据代入求出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．22.答案：解：(1)180；(2)25；(3)10000×400-180-200400=500，答：估计运动与健康成绩为C、D等级的人数约为500人．解析：本题考查了条形统计图的运用，扇形统计图的运用及运用样本数据估计爱总体数据的运用，解答此类题的关键是求出样本数据的比率是关键．(1)用调查总人数×A等级所占的百分数45%，就可以求出运动与健康成绩为A等级的人数；(2)用总人数400-370-5的结果就是审美与表现成绩为B等级的人数；(3)用总人数乘以样本中运动与健康成绩为C、D等级人数所占比例即可得．解：(1)在抽取的400名学生中，运动与健康成绩为A等级的人数是400×45%=180(人)，故答案为：180； (2)在抽取的400名学生中，审美与表现成绩为B等级的人数是400-(370+5)=25(人)，故答案为：25；(3)见答案．  23.答案：解：(1)AB=AP；AB⊥AP；证明：∵AC⊥BC且AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=13(180°-∠ACB)=45°，又∵△ABC与△EFP全等，同理可证∠PEF=45°，∴∠BAP=45°+45°=90°，∴AB=AP且AB⊥AP；(2)BQ=AP；BQ⊥AP．证明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，∴∠EPF=45°．又∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ=45°．∴CQ=CP．∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，∴△BCQ≌△ACP(SAS)，∴BQ=AP．②如图，延长BQ交AP于点M．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠1=∠2．∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．∴∠QMA=90°．∴BQ⊥AP；(3)成立． 证明：①如图，∵∠EPF=45°，∴∠CPQ=45°．又∵AC⊥BC，∴∠CQP=∠CPQ=45°．∴CQ=CP．∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，BC=AC，CQ=CP，∠BCQ=∠ACP=90°，∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．∴BQ=AP．②如图③，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ．∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，∴∠BQC=∠APC．∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，又∵∠CBQ=∠PBN，∴∠APC+∠PBN=90°．∴∠PNB=90°．∴QB⊥AP．解析：本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定以及平移的性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查了学生的推理能力和猜想能力，题目比较好．(1)先根据图形就可以猜想出结论，然后证明．(2)要证BQ=AP，可以转化为证明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要证明BQ⊥AP，可以证明∠QMA=90°，只要证出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可证出．(3)类比(2)的证明就可以得到，结论仍成立．24.答案：(1)证明：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠FAB+∠B=90°，∴四边形ABEF是邻余四边形；(2)解：如图2所示，即为所求．(答案不唯一，正确即可)．解析：(1)直接利用邻余四边形的定义结合等腰三角形的性质得出答案； (2)直接利用邻余四边形的定义结合网格得出答案．此题主要考查了应用设计与作图，正确把握定义是解题关键．25.答案：(1)①补全图1看解析．60°；30° ②∠BEA=α. (2)∠BAE=α+β或∠BAE+α+β=180°．解析：解：(1)①补全图1，如图所示．∵AB=AC，BD=DC，∴AE⊥BC，∴EB=EC，∠ADB=90°，∵∠ABC=30°，∴∠BAE=60°∵BC=BE，∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，∴∠BEC=60°，∠BEA=30°故答案为60，30．②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=α，∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α， ∴∠BAM=∠BAN，∴BM=BN，在Rt△BMF和Rt△BNE中，BF=BEBM=BN，∴Rt△BMF≌Rt△BNE．∴∠BEA=∠F，∵BF=BC，∴∠F=∠C=α，∴∠BEA=α．(2)结论：∠BAE=α+β.理由如下，如图3中，连接EC，∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴ADBD=DCDE，∴ADDC=BDDE，∵∠ADB=∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，∵BC=BE，∴∠BCE=∠BEC，∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．(1)①只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题．②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N． 只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．(2)如图3中，连接EC，由△ADC∽△BDE，推出ADBD=DCDE，推出ADDC=BDDE，由∠ADB=∠CDE，推出△ADB∽△CDE，推出∠BAD=∠DCE，∠ABD=∠DEC=β，由BC=BE，推出∠BCE=∠BEC，推出∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．本题考查全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．26.答案：解：(1)M-N=(x+2)(x-2)-4(x-52)=x2-4x+6，当x=-1时，M-N=1+4+6=11；(2)∵M-N=(x+2)(x-2)-4(x-52)=x2-4x+6=(x-2)2+2>0，∴M>N解析：(1)由多项式的乘法法则进行计算可求解；(2)利用配方法可得M-N=x2-4x+6=(x-2)2+2>0，即可求解．本题考查了配方法的应用，多项式的乘法法则，熟练运用配方法解决问题是本题的关键．27.答案：(1)证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°，∴∠OBA+∠ABC=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；(2)解：如图1，连接OF，AF，BF， ∵DA=DO，CD⊥OA，∴AF=OF，∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°，∴∠ABF=12∠AOF=30°；(3)解：连接OF，如图2所示：∵DA=DO，CD⊥OA，∴AF=OF=OA，过点O作OG⊥AB于点G，则AG=BG，在Rt△AOG中，sin∠BAO=DEEA=OGOA=513，设DE=5x，则AE=13x，AD=12x，AO=24x，∵BE=10，∴AB=10+13x，则AG=12AB=5+132x，又∵Rt△AOG中，sin∠BAO=513，则AGOA=1213，则5+132x24x=1213，解得x=130407，∴AO=24x=3120407．解析：(1)连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；(2)连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；(3)作CH⊥BE于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH=5，再证明∠A=∠ECH，则sin∠ECH=sinA，于是可计算出CE=13，从而得到DE=2，在Rt△ADE中利用正弦的定义计算出AE，接着利用勾股定理计算出AD，然后根据D为半径OA的中点即可得到OA的长．此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解本题的关键． 28.答案：(1)3(2)(3)(4)见解析解析：解：(1)当t=2时，AP=2×0.5=1厘米，AQ=2×1=2厘米，如图1，∵△ABC是边长为2厘米的等边三角形，∴PQ⊥AC，∴PQ=AB2-AP2=22-12=3．故答案为：3．(2)由0.5t+t=6，解得t=4．(3)当0≤t≤4时，都不存在；当4<t≤6时，如图2，若△APQ是等边三角形，此时点P在BC上，点Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，则CP=DQ，即6-t=0.5t-2，解得：t=163．(4)P在线段AC上运动时，存在t使△APQ是直角三角形，t的取值范围：0<t<4．(1)先求出AP，AQ的长度，再根据等边三角形的性质得到△APQ为直角三角形，利用勾股定理即可解答；(2)△ABC是等边三角形，边长是2厘米．点P、Q从出发到相遇，即两人所走的路程的和是6cm.设从出发到相遇所用的时间是t秒．列方程就可以求出时间． (3)当P在AC上，Q在AB上时，AP≠AQ，则一定不是等边三角形，当△APQ是等边三角形时，Q一定在边CD上，P一定在边CB上，若△APQ是等边三角形，则CP=DQ，根据这个相等关系，就可以得到一个关于t的方程，就可以得到t的值．(4)P在线段AC上运动时，存在t使△APQ是直角三角形，t的取值范围：0<t<4．此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知图形得出对应线段关系是解题关键．