山东省泰安肥城市2021-2022学年高二数学上学期期中考试试题（附答案）

试卷类型：A肥城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共22题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、座号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡“条形码贴码处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的一个方向向量是A.B.C.D.2.过两点的直线的倾斜角为A.B.C.D.3.已知向量，且，则A.B.C.D.4.已知三点不共线，为平面外一点，若由 确定的点与共面，则的值为A.B.C.D.5.已知异面直线的方向向量分别是，则夹角的大小是A.B.C.D.6.过点作圆的切线，则切线的长为A.B．C．D．7.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，则欧拉线的方程为A.B.C.D.8.设点是曲线上的任意一点，则的取值范围是A.　　B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是A.B.C.D.10.已知直线和直线，下列说法正确的是A.当时，B.当时，C.当时，D.直线过定点，直线过定点11.若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是A.B.C.D. 第12题图CABD12.已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是A.点到直线的距离为B.与平面所成角为C.D.三棱柱的外接球半径为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.圆与圆的位置关系是▲.14.经过点，并且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是▲.15.已知四面体分别是的中点，且，，，则用表示向量▲．16.已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程是▲，面积的最大值是▲.（其中第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知空间三点，设，.（1）若向量与互相垂直，求的值；（2）求向量在向量上的投影向量.18.(12分)如图，在三棱柱中，平面，分别为，， ，的中点，，.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.ECBADFGA1B1C1·第18题图19.（12分）已知的顶点.（1）求直线的方程；（2）若边上的中线所在直线方程为，且的面积为5，求顶点的坐标．20.（12分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，与轴相切，并且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求直线的方程.21.（12分）在四棱锥中，底面为长方形，平面，其中，，且线段上存在点，使得.（1）求的取值范围；E1第21题（2）题图CABSDE2CABSDE第21题（1）题图（2）当时，线段上满足的点有两个，分别记为， 求平面与平面夹角的大小.22.（12分）已知在中，点，，点在直线下方，且.（1）求的外接圆的方程；（2）过点的直线与圆交于、两点（在轴上方），在轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.肥城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学参考答案及评分意见一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678 答案DCABCCDB二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACACDBCDBC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.相交14.15.16.（或写为）四、解答题：本题共6小题，共70分.17.（10分）解：（1）由已知得，.………………………………2分所以，.………………………………4分因为与互相垂直，所以，………………………5分即，解得或.……………………………6分（2）因为，，，………………………………………7分所以，，…8分所以向量在向量上的投影向量.………10分说明：将向量写成，其中是与向量方向相同的单位向量，也给满分.18.（12分） 证明：（1）在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形．………………………………………1分又因为分别为，的中点，所以.………………………………………2分又因为，所以.………………………………………3分由于，所以平面.………………………………………4分（2）由（1）知，，．xyECBADFGA1B1C1·z又平面，所以平面．因为平面，所以．…………………5分如图建立空间直角坐称系．由题意得，，，，所以，，.……………………7分设平面的法向量为，所以，从而，…………………………………8分令，则，，所以平面的法向量.…………………………………10分所以点到平面的距离．…12分19.（12分）解：（1）直线的方程为，…………………………………………2分即.………………………………………………………3分（2）边上的中点的坐标为，且点在直线上，则，解得.……………………4分即中线所在直线的方程为. 设顶点，所以.……………………………5分因为，…………………………………6分点到直线的距离，………………………………7分因为，所以，整理得，所以或，即或.………………………………………9分由得，此时顶点；……………………………10分由得，此时顶点.……………………………11分所以顶点的坐标为或.………………………………………………12分20.（12分）解：（1）设圆的方程为，因为到直线距离为，所以，解得，……………………………………………3分所以圆的方程为.………………………………………………4分（2）因为是圆的切线，所以，所以在以为直径的圆上.………………………………………………6分所以以与为直径端点圆的方程为.………………………………………………8分联立方程组，两式相减得.………………………………………………10分 所以直线的方程为.……………………………………………12分21.（12分）解：（1）以为原点,以，，所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.……………………1分设，则，所以.……………………………………………4分因为，所以.因为，……………………………………………5分所以，即.………………………………………………6分（2）当时，，解得或.……………………………………………………8分不妨取，所以，………………………9分设平面的法向量为,则，不妨令，则，所以.…………………………10分同理可得,平面的一个法向量为.………………………11分所以，得.所以平面与平面的夹角为.………………………………………12分 22.（12分）解：（1）的外接圆中，弦所对圆周角为，则其所对圆心角为，…1分所以该圆的半径.………………………………………2分圆心在的中垂线即轴上，点在直线下方，可得圆心坐标为.………………………………………3分所以外接圆的方程为.………………………………………4分（2）设过点的直线方程为.………………………………………5分①当时，直线方程为，直线与轴垂直，此时可为轴上的任意一点.………………………………………6分②当时,由得，…………………………7分设，，，则，.………………………………………8分由，得，则，即，整理得.………………………………………10分所以对恒成立，即恒成立，故，即.……………………………………11分综上所述：存在点符合题意.………………………………………12分