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河北省石家庄市2022届高三数学10月联考试卷(附答案)
河北省石家庄市2022届高三数学10月联考试卷(附答案)
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石家庄2021-2022学年度高三年级第一学期10月联考数学试卷(时间:120分钟分数:150分)一.单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分)1.已知集合,集合,则集合的真子集的个数为()A.B.C.D.2.设为虚数单位,复数满足,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数,则“函数在上单调递减”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知是直线与单位圆在第一象限内的交点,设,则()A.B.C.D.5.若直线与圆相交于两点,且(为原点),则的值为()A.B.C.D.6.已知函数,且,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.7.已知抛物线的焦点为F,经过点的直线l与该曲线交于A、B两点,且点P恰好为AB的中点,则()A.B.C.D.8.已知数列满足,对任意的有,设数列满足,,则当的前项和取到最大值时的值为() A.B.C.D. 二.多项选择题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)9.设正实数满足,则()A.的最大值是B.的最小值是C.的最小值为D.的最大值为10.已知圆,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于两点,则()A.圆的方程为B.直线的方程为C.均与圆相切D.四边形的面积为11.已知椭圆,为的右焦点,为的左顶点,为直线与的两个交点,则下列叙述正确的是()A.△周长的最小值为B.△面积的最大值为C.若△的面积为,则△为直角三角形D.若直线与的斜率之积为,则△为等腰三角形12.已知函数,其中,若不等式有解,则下列叙述正确的是()A.B.C.方程有唯一解D.方程有唯一解三.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.已知向量满足,,且,则与的夹角为_________.14.在平面直角坐标系中,已知点,点分别为直线和上动点,则△周长的最小值为_________.15.已知数列的前项和为,满足,(),则数列的通项公式为_________.16.已知双曲线()的左右焦点分别为,过点且垂直于 轴的直线与双曲线的左支交于两点,分别交轴于两点,若△的周长为,则当取得最大值时,该双曲线的离心率为_________. 四.解答题(本大题共6小题,共70分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知等差数列的前项和为,,,数列的前项和为.(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)若数列满足,求数列的前2021项和.18.(12分)△中,角的对边分别为,且.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若,△的面积为,求△的周长.19.(12分)已知正项数列的前n项和为,满足(,),且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和. 20.(12分)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且.(Ⅰ)求抛物线的方程及的值;(Ⅱ)设为坐标原点,过点的直线与相交于两点,为的中点,且,求直线的方程.21.(12分)已知函数(),.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.22.(12分)设为坐标原点,椭圆()的右焦点为,过的直线与C交于两点,且当与轴垂直时,线段长度为1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若对任意的直线,点总满足,求实数的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求面积的最大值. 数学试卷(参考答案)一.单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分)1-4.CDAB5-8.AABB二.多项选择题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)9.BC10.AC11.ABC12.BD三.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.14.15.16.四.解答题(本大题共6小题,共70分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.【解析】(Ⅰ)设的公差为,由,得.解得,,所以(3分)当时,,,也符合上式所以.(6分)(Ⅱ)注意取偶数时,,所以(8分)(10分)18.【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得,所以,∴,又∵,∴.(4分)又∵,∴.(6分)(Ⅱ)由,,根据余弦定理得,由的面积为,得.(9分)所以,得,所以△周长.(12分) 19.【解析】(Ⅰ)当时,由,故整理得由于数列为正项数列,所以(常数)所以是以为首项,1为公差的等差数列(3分)所以所以(5分)易见也适合该式,故(6分)(Ⅱ)由于(7分)所以(12分)20.【解析】(Ⅰ)由,从而故抛物线的方程为(3分)将代入得(4分)(Ⅱ)易知,设显然直线的斜率存在,设直线联立,消去得由,解得且(5分)从而(6分)由,知 从而,即(8分)由是的中点,故,整理得(9分)代入得,解得,均满足所以直线的方程为或(12分)21.【解析】(Ⅰ)当时,,故在上单调递增(2分)当时,令,得,从而时,,递增;时,,递减综上,当时,在上单调递增;当时,在上递增,在上递减(5分)(Ⅱ)不等式,即因为,所以(6分)令(7分)令,则,故在上递增,在上递减所以,即(9分)令,则设,则由,故在上单调递减,在上单调递增所以,即的最小值为所以实数的取值范围为(12分) 22.【解析】(Ⅰ)由题意当与轴垂直时,线段长度为1,故点代入椭圆方程可得联立方程组得所以椭圆C的方程为(4分)(Ⅱ)当与轴垂直时,由,此时当与轴不垂直时,因为,所以设点,直线的方程为所以又,所以(6分)联立直线和椭圆方程,消去得所以,代入上式得(8分)(Ⅲ)=设直线为,联立方程组消去得所以,,.所以=(10分)由,当且仅当即时取等从而所以△面积的最大值为(12分)
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