安徽省蚌埠市2021届高三下学期第三次教学质量检查考试（三模）数学（理）试题 PDF版含答案

蚌埠市２０２１届高三年级第三次教学质量检查考试数学（理工类）本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。２０２１—１复数ｚ满足（１＋ｉ）·ｚ＝１－ｉ，则ｚ的虚部为Ａ１Ｂ－１ＣｉＤ－ｉ２２已知集合Ｐ＝｛ｘ｜ｘ－２ｘ－３≤０｝，Ｑ＝｛ｍ｝．若Ｐ∩Ｑ＝Ｑ，则实数ｍ的取值范围是Ａ（－１，３）Ｂ（－∞，３］Ｃ（－∞，－１］∪［３，＋∞）Ｄ［－１，３］Ｓ３３已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，Ｓ１＝１，Ｓ５＝２５，则＝３Ａ３Ｂ６Ｃ９Ｄ１２４国家统计局官方网站２０２１年２月２８日发布了《中华人民共和国２０２０年国民经济和社会发展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大成就如图是２０１６－２０２０年国内生产总值及其增长速度统计图和三次产业增加值占国内生产总值比重统计图给出下列说法：①从２０１６年至２０２０年国内生产总值逐年递增；②从２０１６年至２０２０年国内生产总值增长速度逐年递减；③从２０１６年至２０２０年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增；④从２０１６年至２０２０年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减其中正确的的是Ａ①④Ｂ②③Ｃ②④Ｄ①③第４题图５已知向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝２，（ａ＋ｂ）·ａ＝２，｜ａ－ｂ｜＝２槡３，向量ａ－ｂ与ｂ的夹角为ππ２π５πＡＢＣＤ６３３６蚌埠市高三年级数学（理）试卷第１页（共４页） ２１６．已知随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（２，σ），且Ｐ（Ｘ＜１）·Ｐ（Ｘ＞３）＝，则Ｐ（１＜Ｘ＜２）＝９１１１１ＡＢＣＤ６４３２２－ｘｅ，ｘ≤１，７．已知函数ｆ（ｘ）＝{则不等式ｆ（ｘ＋１）＜１的解集为ｌｇ（ｘ＋２），ｘ＞１，Ａ（１，７）Ｂ（０，７）Ｃ（１，８）Ｄ（－∞，７）８已知平面α，β，γ仅有一个公共点，直线ａ，ｂ，ｃ满足：ａα，ｂβ，ｃγ，则直线ａ，ｂ，ｃ的位置关系不可能是獉獉獉Ａ两两垂直Ｂ两两平行Ｃ两两相交Ｄ两两异面９．某社区计划在管辖的东海大道路段内，安排志愿者在６个路口劝导市民文明出行，不闯红灯，不乱穿马路，每个路口至多设置１个志愿者服务站点，任意相邻的两个路口至少有一个路口设置１个志愿者服务站点，则不同的设置方案种数是第９题图Ａ１９Ｂ２０Ｃ２１Ｄ２４２３１０．关于函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ，下列命题正确的是３Ａｆ（ｘ）不是周期函数Ｂｆ（ｘ）在区间［０，π］上单调递减Ｃｆ（ｘ）的值域为［－１，１］Ｄｘ＝π是曲线ｙ＝ｆ（ｘ）的一条对称轴２２ｘｙ１１．已知椭圆Ｃ：２＋２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左、右焦点分别为Ｆ１，Ｆ２，以Ｆ２为焦点的抛物线Ｅ：ａｂ２ｙ＝１２ｘ与椭圆Ｃ在第一象限的交点记为Ｐ，直线ＰＦ２与抛物线Ｅ的准线ｌ交于点Ｑ，若→→｜ＰＱ｜＝２｜Ｆ２Ｐ｜，则椭圆Ｃ的实轴长为Ａ４槡７＋８Ｂ２槡７＋４Ｃ槡７＋２Ｄ槡７＋１２２２１２．若ｌｏｇ２ａ－ａ＋ａ＝ｌｏｇ２ｂ－ｂ＋４ｂ＋１，则Ａａ＞２ｂＢａ＜２ｂＣａ＞２ｂ＋１Ｄｂ＞２ａ＋１二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分２ｘ－ｙ－２≤０，１３已知实数ｘ，ｙ满足{ｘ＋ｙ－２≥０，则ｚ＝ｘ＋ｙ的最小值为ｘ－ｙ＋１≥０，１４“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测２０２１年２月１０日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）２月１５日１７时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约２６５公里若此时远火点距离约为１１９４５公里，火星半径约为３４００公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率约为（精确到０１）１５正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１棱长为２，Ｍ为ＣＤ１中点，则四面体ＡＢＤＭ外接球的体积为．蚌埠市高三年级数学（理）试卷第２页（共４页） １ｂ１ｂ２ｂｎｂｎ＋１１６已知数列｛ａｎ｝满足：ａ１＝１，ａ２＝，＋＋…＋＝＋６（ｎ≥２且ｎ∈Ｎ＋），等３ａ１ａ２ａｎａｎ－１１，ｎ为奇数，比数列｛ｂｎ｝公比ｑ＝２，令ｃｎ＝{ａｎ则数列｛ｃｎ｝的前ｎ项和Ｓ２ｎ＝ｂｎ，ｎ为偶数，三、解答题：共７０分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共６０分１７（１２分）２２４２２已知△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，ａ＋ｃ＝ａｓｉｎＢ＋２ａｃｃｏｓＢ３（１）求ｓｉｎＡ；（２）若角Ａ为锐角，且△ＡＢＣ的面积为槡３，求ａ的最小值１８（１２分）已知平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＡＣ，ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝ＣＤ，现将△ＡＢＣ沿ＡＣ折起，使得点Ｂ移至点Ｐ的位置（如图），且ＰＣ＝ＰＤ（１）求证：ＣＤ⊥ＰＡ；→→１（２）若Ｍ满足ＤＭ＝λＤＰ，λ∈［０，１］，且二面角Ｃ－ＡＭ－Ｄ的余弦值为，求λ．４第１８题图１９（１２分）数独是源自１８世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据９×９盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（３×３）内的数字均含１－９，不重复数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛（１）赛前小明在某数独ＡＰＰ上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度ｙ（秒）与训练天数ｘ（天）有关，经统计得到如下的数据：ｘ（天）１２３４５６７ｙ（秒）９９０９９０４５０３２０３００２４０２１０ｂ现用ｙ＝ａ＋作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经ｘ过１００天训练后，每天解题的平均速度ｙ约为多少秒？１参考数据（其中ｔｉ＝）：ｘｉ蚌埠市高三年级数学（理）试卷第３页（共４页） ７７—２—２∑ｔｉｙｉｔ∑ｔｉ－７×ｔｉ＝１ｉ＝１１８４５０３７０５５∧∧∧参考公式：对于一组数据（ｕ１，ｖ１），（ｕ２，ｖ２），…，（ｕｎ，ｖｎ），其回归直线ｖ＝α＋βｕ的斜ｎ——∑ｕｉｖｉ－ｎｕｖ∧ｉ＝１∧—∧—率和截距的最小二乘估计公式分别为：β＝，α＝ｖ－βｕｎ２—２∑ｕｉ－ｎｕｉ＝１（２）小明和小红在数独ＡＰＰ上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的２人获胜，两人约定先胜４局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为．已知在前３局中３小明胜２局，小红胜１局若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．２０（１２分）２２ｘｙ已知双曲线Ｃ∶－＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的虚轴长为４，直线２ｘ－ｙ＝０为双曲线Ｃ的２２ａｂ一条渐近线（１）求双曲线Ｃ的标准方程；（２）记双曲线Ｃ的左、右顶点分别为Ａ，Ｂ，斜率为正的直线ｌ过点Ｔ（２，０），交双曲线Ｃ于点Ｍ，Ｎ（点Ｍ在第一象限），直线ＭＡ交ｙ轴于点Ｐ，直线ＮＢ交ｙ轴于点Ｑ，记△ＰＡＴ面Ｓ１积为Ｓ１，△ＱＢＴ面积为Ｓ２，求证：为定值．Ｓ２２１（１２分）ａ－ｘ已知函数ｆ（ｘ）＝ｘｅ－ｌｎｘ＋ｘ－２ａ，其中ａ∈Ｒ（１）若ａ＝１，求函数ｆ（ｘ）在ｘ＝１处的切线方程；（２）若ｆ（ｘ）≥０恒成立，求ａ的范围．（二）选考题：共１０分请考生在第２２、２３题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分２２．［选修４—４：坐标系与参数方程］（１０分）２πｘ＝ｔｃｏｓ３在平面直角坐标系ｘＯｙ中，直线ｌ的参数方程为，（ｔ为参数），以坐标原点{２πｙ＝３＋ｔｓｉｎ３Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ａｓｉｎθ（ａ＞０），曲线Ｃ与ｌ有且只有一个公共点（１）求实数ａ的值；π（２）若Ａ，Ｂ为曲线Ｃ上的两点，且∠ＡＯＢ＝，求｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜的最大值．３２３［选修４—５：不等式选讲］（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｍ－｜ｘ｜－｜ｘ－１｜，ｍ∈Ｒ，且ｆ（ｘ）的最大值为１，（１）求实数ｍ的值；１１２（２）若ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝ｍ，求证：＋＋≥４ａｂａｂ蚌埠市高三年级数学（理）试卷第４页（共４页） 蚌埠市２０２１届高三年级第三次教学质量检查考试数学（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＡＤＡＤＤＡＢＢＣＣＢＡ二、填空题：ｎ＋１１３２１４０６１５８槡２π１６２ｎ２－ｎ＋４－４３３三、解答题：１７（１２分）２２４２２４２２解：（１）由ａ＋ｃ＝ｓｉｎＢ＋２ａｃｃｏｓＢ得，ｂ＝ａｓｉｎＢ，…………………………２分３３２４２２即ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ…………………………………………………………４分３∵Ａ，Ｂ为△ＡＢＣ的内角∴ｓｉｎＢ≠０则ｓｉｎＡ＝槡３……………………………………………………………………６分２１（２）若△ＡＢＣ的面积为槡３，则ｂｃｓｉｎＡ＝槡３，解得ｂｃ＝４，………………………８分２槡３１∵角Ａ为锐角，ｓｉｎＡ＝，∴ｃｏｓＡ＝……………………………………１０分２２２２２２２由余弦定理得ａ＝ｂ＋ｃ－２ｂｃｃｏｓＡ＝ｂ＋ｃ－ｂｃ≥２ｂｃ－ｂｃ＝４当且仅当ｂ＝ｃ＝２时，ａ取最小值２………………………………………１２分１８（１２分）解：（１）由题意ＰＡ⊥ＡＣ，即∠ＰＡＣ＝９０°∵ＡＣ＝ＡＤ，ＰＣ＝ＰＤ，ＰＡ＝ＰＡ，∴△ＰＡＣ≌△ＰＡＤ，∠ＰＡＤ＝∠ＰＡＣ＝９０°，从而ＰＡ⊥ＡＤ，………………３分又ＰＡ⊥ＡＣ，ＡＣ∩ＡＤ＝Ａ，∴ＰＡ⊥平面ＡＣＤ，∵ＣＤ平面ＡＣＤ，∴ＰＡ⊥ＣＤ………………………………………………６分→→→（２）过点Ａ作ＡＦ⊥ＡＤ交ＢＣ于Ｆ，以Ａ为原点，ＡＦ，ＡＤ，ＡＰ的方向为ｘ，ｙ，ｚ轴的正方向，建立空间直角坐标系（图形略），不妨设ＡＣ＝２，则Ａ（０，０，０），Ｃ（槡３，１，０），Ｄ（０，２，０），Ｐ（０，０，２），→→→→→→→∵ＤＭ＝λＤＰ∴ＡＭ＝ＡＤ＋ＤＭ＝ＡＤ＋λＤＰ＝（０，２－２λ，２λ）………８分→ＡＭ·ｎ＝０设平面ＡＣＭ的法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则由{→ＡＣ·ｎ＝０蚌埠市高三年级数学（理工类）参考答案第１页（共４页） （２－２λ）ｙ＋２λｚ＝０得{，取ｘ＝１，得ｎ＝（１，－槡３，槡３（１－λ）），………１０分０λ槡３ｘ＋ｙ＝易知平面ＰＡＤ的一个法向量为ｍ＝（１，０，０）ｍ·ｎ１１ｃｏｓ＜ｍ，ｎ＞＝＝＝，｜ｍ｜·｜ｎ｜３（１－λ）２４１＋３＋·１２槡λ１因为λ＞０，解得λ＝．……………………………………………………１２分３１９（１２分）—１解：（１）由题意ｙ＝（９９０＋９９０＋４５０＋３２０＋３００＋２４０＋２１０）＝５００，７１令ｔ＝，设ｙ关于ｔ的线性回归方程为ｙ＝ｂｔ＋ａ，则ｘ７——∑ｔｉ·ｙｉ－７ｔ·ｙｉ＝１１８４５－７×０．３７×５００ｂ＝＝＝１０００，…………………２分７２—２０．５５∑ｔｉ－７×ｔｉ＝１则ａ＝５００－１０００×０．３７＝１３０，……………………………………………４分∴ｙ＝１０００ｔ＋１３０，１１０００又ｔ＝，所以ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ＝＋１３０，ｘｘ故ｘ＝１００时，ｙ＝１４０，所以经过１００天训练后，小明每天解题的平均速度约为１４０秒………………６分（２）设比赛再继续进行Ｘ局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行４局，就有胜负．２２４当Ｘ＝２时，小明４∶１胜，∴Ｐ（Ｘ＝２）＝·＝；……………………７分３３９１２２２８当Ｘ＝３时，小明４∶２胜，∴Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ２×（１－）×＝；３３３２７………………………………………………………………………………９分１２２２２４当Ｘ＝４时，小明４∶３胜，∴Ｐ（Ｘ＝４）＝Ｃ３×（１－）×＝；３３３２７………………………………………………………………………………１１分４８４８所以，小明最终赢得比赛的概率为＋＋＝．………………………１２分９２７２７９２０（１２分）解：（１）由题意知，ｂ＝２，…………………………………………………………………１分ｂ因为一条渐近线为ｙ＝２ｘ，所以＝２，解得ａ＝１，…………………………３分ａ２２ｙ则双曲线Ｃ的标准方程为ｘ－＝１………………………………………５分４（２）易知Ａ（－１，０），Ｂ（１，０），设直线ｌ∶ｘ＝ｎｙ＋２，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），蚌埠市高三年级数学（理工类）参考答案第２页（共４页） ２２ｙｘ－＝１２２联立{４，整理得（４ｎ－１）ｙ＋１６ｎｙ＋１２＝０，……………………７分ｘ＝ｎｙ＋２－１６ｎ１２得ｙ１＋ｙ２＝２，ｙ１ｙ２＝２４ｎ－１４ｎ－１３即ｎｙ１ｙ２＝－（ｙ１＋ｙ２），………………………………………………………８分４ｙ１ｙ１设直线ＭＡ：ｙ＝（ｘ＋１），解得Ｐ（０，），ｘ１＋１ｘ１＋１ｙ２ｙ２设直线ＮＢ：ｙ＝（ｘ－１），解得Ｑ（０，），…………………………１０分ｘ２－１１－ｘ２易知｜ＡＴ｜＝３，｜ＢＴ｜＝１，所以３ｙ１３Ｓｘ＋１ｎｙｙ＋ｙ－（ｙ１＋ｙ２）＋ｙ１１＝１＝３１２１＝３４＝１………１２分Ｓ２ｙ２ｎｙ１ｙ２＋３ｙ２－３（ｙ＋ｙ）＋３ｙ１２２１－ｘ４２２１（１２分）１－ｘ１解：（１）ｆ（ｘ）定义域为（０，＋∞），由ａ＝１，得ｆ′（ｘ）＝（１－ｘ）ｅ－＋１，……２分ｘｆ′（１）＝０，ｆ（１）＝０，则函数ｆ（ｘ）在ｘ＝１处的切线方程为ｙ＝０………４分ｘ－ａａ－ｘ１（ｘ－１）（ｅ－ｘ）（２）ｆ′（ｘ）＝（１－ｘ）ｅ－＋１＝，ｘ－ａｘｘｅｘ－ａｘ－ａ令ｇ（ｘ）＝ｅ－ｘ（ｘ＞０），则ｇ′（ｘ）＝ｅ－１，１°若ａ≤０，则ｇ′（ｘ）＞０在（０，＋∞）恒成立，ｇ（ｘ）在（０，＋∞）单调递增，１因为ｇ（０）＝＞０，所以ｇ（ｘ）＞０；…………………………………………６分ａｅ２°若ａ＞０，令ｇ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝ａ，当０＜ｘ＜ａ时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减；当ｘ＞ａ时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增，若０＜ａ≤１，ｇ（ａ）＝１－ａ≥０，所以ｇ（ｘ）≥０；…………………………８分１－ａ若ａ＞１，ｇ（１）＝ｅ－ａ＜１－ａ＜０，－ａａ又因为ｇ（０）＝ｅ＞０，ｇ（２ａ）＝ｅ－２ａ＞０（证明略），所以存在０＜ｘ１＜１＜ｘ２，使ｇ（ｘ１）＝ｇ（ｘ２）＝０，ｘ１－ａｘ２－ａ即ｅ＝ｘ１，ｅ＝ｘ２，从而ｘ１＝ｌｎｘ１＋ａ，ｘ２＝ｌｎｘ２＋ａ，ｘ－ａ且ｅ－ｘ＞０的解为０＜ｘ＜ｘ１或ｘ＞ｘ２，ｘ－ａｅ－ｘ＜０的解为ｘ１＜ｘ＜ｘ２，………………………………………………９分从而当ａ≤１时，ｆ′（ｘ）＞０的解为ｘ＞１，ｆ（ｘ）单调递增，ｆ′（ｘ）＜０的解为０＜ｘ＜１，ｆ（ｘ）单调递减，ａ－１所以ｆｍｉｎ＝ｆ（１）＝ｅ＋１－２ａ≥０（证明略），ｆ（ｘ）≥０恒成立．………１０分当ａ＞１时，ｆ′（ｘ）＞０的解为ｘ＞ｘ２或ｘ１＜ｘ＜１，ｆ（ｘ）单调递增，ｆ′（ｘ）＜０的解为１＜ｘ＜ｘ２或０＜ｘ＜ｘ１，ｆ（ｘ）单调递减，蚌埠市高三年级数学（理工类）参考答案第３页（共４页） ａ－ｘ１ｆ（ｘ１）＝ｘ１ｅ－ｌｎｘ１＋ｘ１－２ａ＝１－ａ＜０，不合题意．（也可证ｆ（ｘ２）＜０）综上，当ａ≤１时，ｆ（ｘ）≥０在（０，＋∞）恒成立．…………………………１２分２２（１０分）２πｘ＝ｔｃｏｓ３解：（１）由（ｔ为参数），消去参数ｔ，{２πｙ＝３＋ｔｓｉｎ３得直线ｌ的方程为槡３ｘ＋ｙ－３＝０，……………………………………………１分２由ρ＝２ａｓｉｎθ（ａ＞０），得ρ＝２ａρｓｉｎθ２２２２２将ρ＝ｘ＋ｙ，ρｓｉｎθ＝ｙ代入得ｘ＋ｙ＝２ａｙ，……………………………３分２２２即曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ＋（ｙ－ａ）＝ａ，∵曲线Ｃ与ｌ有且只有一个公共点｜０＋ａ－３｜∴＝ａ，又ａ＞０，解得ａ＝１…………………………………５分槡３＋１π（２）由已知，不妨设Ａ（ρ１，θ），Ｂ（ρ２，θ＋），θ∈［０，２π）则３π｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜＝｜ρ１｜｜ρ２｜＝｜２ｓｉｎθ·２ｓｉｎ（θ＋）｜………………………７分３π＝｜１＋２ｓｉｎ（２θ－）｜≤３６π∴当θ＝时，｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜取最大值３………………………………１０分３２３（１０分）解：（１）∵｜ｘ｜＋｜ｘ－１｜≥｜ｘ－（ｘ－１）｜＝１（当ｘ（ｘ－１）≤０时取到等号），…３分∴ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｍ－１＝１，∴ｍ＝２……………………………………………５分（２）由ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝２≥２槡ａｂ，∴ａｂ≤１……………………………７分１１２ａ＋ｂ２４＋＋＝＋＝≥４ａｂａｂａｂａｂａｂ当且仅当ａ＝ｂ＝１时取等号………………………………………………１０分（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）蚌埠市高三年级数学（理工类）参考答案第４页（共４页）