广东省四校2022届高三数学上学期开学联考试题（Word版附答案）

广东省2022届高三开学四校联考数学本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.已知，则（）A.B.C.D.3.函数具有性质（）A.最大值为2，图象关于对称B.最大值为，图象关于对称C.最大值为2，图象关于直线对称D.最大值为，图象关于直线对称4.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则这个圆柱的体积为（）A.B.C.D.5.已知，则（）,A.B.C.D.6.已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（）A.12B.10C.9D.87.2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是（）A.B.C.D.8.已知点在圆：上，椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，过点作圆的切线，则切线斜率为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图是2021年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中、均为数字0~9中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，则有（）A.甲选手得分的平均数一定大于乙选手得分的平均数B.甲选手得分的中位数一定大于乙选手得分的中位数C.甲选手得分的众数与的值无关D.甲选手得分的方差与的值无关10.已知向量，，则下列命题正确的是（）A.存在，使得B.当时，与垂直C.对任意，都有D.当时，在方向上的投影为11.如图，点是正方体中的侧面内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是（）A.满足的点的轨迹是一条线段B.在线段上存在点，使异面直线与所成的角是,C.若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为D.点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等12.已知函数，则（）A.对任意的，函数都有零点.B.当时，对，都有成立.C.当时，方程有4个不同的实数根.D.当时，方程有2个不同的实数根.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线：的一条渐近线为，则双曲线的实轴长为__________.14.已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为___________.15.函数的图象在点处的切线与直线垂直，则非零实数的值为__________.16.设正整数，其中，，记.若且，则这样的正整数有__________个，所有的这样的正整数的和为_____________.（用数字作答）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列是递增数列，满足，.（1）求的通项公式；（2）设，若为数列的前项积，证明.18.党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有6例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；,（2）若，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围.19.如图所示，在四边形中，，且，，.（1）若，求的长；（2）求四边形面积的最大值.20.在四棱锥中，平面，，，，，点，在线段上，满足，.（1）求证：；（2）若为线段上的一点，且平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.已知抛物线：的焦点为，为抛物线上的一点，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于，两点，点在抛物线上，记直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，请说明理由.,22.已知函数.（1）若函数为增函数，求实数的取值范围；（2）设有两个不同零点，.（i）证明：；（ii）若，证明：.,数学参考答案一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分.其中第1题~第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）题号123456789101112答案BDCDACABABDBDACDAC二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．14．15．16．，三、解答题（本大题6小题，共70分）17（1）可设等比数列的公比为，……2分解得：或（舍去）.……4分所以.……5分(2)……6分当时，①，②，……7分①/②得，……8分当时，也成立.……9分……10分18(1)用表示例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量……1分由题意可知：.……3分答：例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为.……4分(2)方案二：混合一起检验，记检验次数为，则.……5分……7分,方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数为，则.……8分……10分……12分的取值范围.19（）∵，，∴，……2分∵在中，，，，∴由余弦定理可得，∴，……4分在中，，，，∴由余弦定理可得，即，……5分化简得，解得．故的长为．……6分（2）设四边形面积为，则，……7分所以，……8分,在中，，，∴由余弦定理可得：，……9分即，……10分,当且仅当时，，……11分所以，……12分20（1）证明：，……1分,四边形为矩形……2分……3分……4分（第一问直接用向量法，也相应给分）(2)连接交于点，连接.……6分如图建立空间指角坐标系，则,……8分由（1）知，则为平面的一个法向量.……9分设平面的一个法向量为，则，取……11分设平面与平面所成锐二面角为……12分平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21（1）根据题意抛物线C的方程为，则，……2分，解得，……3分，所以抛物线C的标准方程为．……4分（2）由题意知，，直线的斜率不为，可设直线的方程为，……5分联立方程得，消去并化简得，……6分设，则.……7分因为两点在抛物线C上，所以，所以，同理可得，……8分，则,，……9分所以，即……10分因为，所以方程有两个不同的解，……11分故满足的点的个数为.……12分22（1）的定义域为，.……1分函数是上的增函数，……3分实数的取值范围是（2）（i）的两个根为.……4分不妨设……5分要证：，只需证.……6分令在恒成立，在为增函数，,.……8分（ii），……9分令，……10分令在为增函数，，在为增函数，……11分.……12分