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第六章 导数及其应用
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12导数及其几何意义课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)
12导数及其几何意义课后练习(附解析新人教B版选择性必修第三册)
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导数及其几何意义(建议用时:40分钟)一、选择题1.下面说法正确的是( )A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0,y0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D错误.]2.已知f′(x0)=3,的值是( )A.3 B.2 C. D.B [==f′(x0)=2.故选B.]3.已知曲线f(x)=x3在点P处的切线的斜率k=3,则点P的坐标是( )A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,1)或(-1,-1)D.(2,8)或(-2,-8)C [设P(x0,y0),则f′(x0)==[3x+3x0·Δx+(Δx)2]=3x.由题意,知切线斜率k=3,令3x=3,得x0=1或x0=-1.当x0=1时,y0=1;当x0=-1时,y0=-1.故点P的坐标是(1,1)或(-1,-1),故选C.]4.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( )A.f′(x)=aB.f′(x)=bC.f′(x0)=aD.f′(x0)=bC [∵f′(x0)===(a+bΔx)=a,6 ∴f′(x0)=a.]5.若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )A.4x-y-4=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0A [设切点为(x0,y0),∵f′(x0)==(2x0+Δx)=2x0.由题意可知,切线斜率k=4,即f′(x0)=2x0=4,∴x0=2,∴切点坐标为(2,4),∴切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0,故选A.]二、填空题6.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数y=f′(x)的图像可能是__________.(填序号)① ② ③ ④② [由y=f(x)的图像及导数的几何意义可知,当x<0时,f′(x)>0;当x=0时,f′(x)=0;当x>0时,f′(x)<0.故②符合.]7.一质点M按运动方程s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s).若质点M在t=2s时的瞬时速度为8m/s,则常数a=________.2 [因为Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2,所以=4a+aΔt,故当t=2时,瞬时速度为=4a,所以4a=8,所以a=2.]8.若f′(x0)=1,则=__________.- [6 =-=-f′(x0)=-.]三、解答题9.试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.[解] 设所求切线的切点为A(x0,y0),则f′(x0)===2x0.∵点A在曲线y=x2上,∴y0=x,又∵A是切点,∴过点A的切线的斜率k=2x0,∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,∴其斜率为=.∴2x0=,解得x0=1或x0=5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.∴所求的切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),即y=2x-1和y=10x-25.10.“菊花”烟花是壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,求烟花在t=2s时的瞬时速度,并解释烟花升空后的运动状况.[解] 烟花在t=2s时的瞬时速度就是h′(2).而==-4.9-4.9Δt,所以h′(2)==(-4.9-4.9Δt)=-4.9,即在t=2s时,烟花正以4.9m/s的瞬时速度下降.如图,结合导数的几何意义,我们可以看出:在t=1.5s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂;在0~1.56 s之间,曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空;在1.5s后,曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地.1.(多选题)下列命题正确的是( )A.若f′(x0)=0,则函数f(x)在x0处无切线B.函数y=f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,则当Δx→0时,=1D.若函数f(x)的导数f′(x)=x2-2,且f(1)=2,则f(x)的图像在x=1处的切线方程为x+y-3=0BD [若f′(x0)=0,则函数f(x)在x0处的切线斜率为0,故选项A错误;函数y=f(x)的切线与函数的图像可以有两个公共点,例如函数f(x)=x3-3x,在x=1处的切线为y=-2,与函数的图像还有一个公共点(-2,-2),故选项B正确;因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y=0,所以f′(1)=2,又=-=-f′(1)=-1≠1,故选项C错误;因为函数f(x)的导数f′(x)=x2-2,所以f′(1)=12-2=-1,又f(1)=2,所以切点坐标为(1,2),斜率为-1,所以切线方程为y-2=-(x-1),化简得x+y-3=0,故选项D正确.故选BD.]2.设f(x)在x=1附近有定义,且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )A.2B.-1C.1D.-2D [∵==-1,∴=-2,即f′(1)=-2.由导数的几何意义知,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k=f′(1)=-2,故选D.]3.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t2,则物体的初速度是__________.2 [因为s′(0)=6 ===(2-3Δt)=2.所以物体的初速度是v0=2.]4.已知f′(x0)>0,若a=,b=,c=,d=,e=,则a,b,c,d,e的大小关系为__________.c>a=d=e>b [a==f′(x0),b==-=-f′(x0),c==2=2f′(x0),d==f′(x0),e==f′(x0).即c>a=d=e>b.]已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.[解] 因为f′(1)===2a,所以f′(1)=2a,即切线斜率k1=2a.6 因为g′(1)===3+b,所以g′(1)=3+b,即切线的斜率k2=3+b.因为在交点(1,c)处有公切线,所以2a=3+b.又因为c=a+1,c=1+b,所以a+1=1+b,即a=b,由得6
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新人教B版选择性必修第三册高中数学章末综合测评2导数及其应用(附解析)
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高中 - 数学
发布时间:2022-01-18 20:00:03
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文章作者:随遇而安
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