2022年全国各地高考数学试题分类汇编7 立体几何 文

2022年全国各地高考文科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题．（2022年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（　　）A．B．C．D．【答案】D．（2022年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为（　　）A．B．C．D．【答案】A．（2022年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（　　）A．B．C．D．24\n【答案】A．（2022年高考大纲卷（文））已知正四棱锥的正弦值等于（　　）A．B．C．D．【答案】A．（2022年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（　　）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】D．（2022年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（　　）A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3【答案】B．（2022年高考北京卷（文））如图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有24\n（　　）A．3个B．4个C．5个D．6个第二部分(非选择题共110分)【答案】B．（2022年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是（　　）A．B．C．D．【答案】B．（2022年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______（　　）A．B．1C．D．【答案】D．（2022年高考浙江卷（文））设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（　　）A．若m∥α,n∥α,则m∥nB．若m∥α,m∥β,则α∥βC．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β【答案】C．（2022年高考辽宁卷（文））已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为（　　）A．B．C．D．24\n【答案】C．（2022年高考广东卷（文））设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）A．若,,则B．若,,则C．若,,则D．若,,则【答案】B．（2022年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（　　）A．B．C．D．8,8【答案】B．（2022年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（　　）A．200+9πB．200+18πC．140+9πD．140+18π【答案】A二、填空题．（2022年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD的体积为322,底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.【答案】．（2022年高考湖北卷（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.24\n(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)【答案】3．（2022年高考课标Ⅰ卷（文））已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.【答案】;．（2022年高考北京卷（文））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.1俯视图侧（左）视图正（主）视图2112【答案】3．（2022年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________.【答案】．（2022年高考大纲卷（文））已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,则球的表面积等于______.【答案】．（2022年上海高考数学试题（文科））已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆周上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则________.【答案】．（2022年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为______.【答案】．（2022年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.24\n【答案】．（2022年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.【答案】4．（2022年高考安徽（文））如图,正方体的棱长为1,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).①当时,为四边形;②当时,为等腰梯形;③当时,与的交点满足;④当时,为六边形;⑤当时,的面积为.【答案】①②③⑤三、解答题．（2022年高考辽宁卷（文））如图,(I)求证:24\n(II)设【答案】．（2022年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC;(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值;(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.24\n【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,且,所以;、,又因为;(Ⅱ)设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知:,,所以与面所成的角的正切值是;(Ⅲ)由已知得到:,因为,在中,,设．（2022年高考陕西卷（文））如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面24\nABCD,.(Ⅰ)证明:A1BD//平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【答案】解:(Ⅰ)设...(证毕)(Ⅱ).在正方形ABCD中,AO=1..所以,.．（2022年高考福建卷（文））如图,在四棱锥中,,,,,,,.(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若为的中点,求证:;(3)求三棱锥的体积.24\n【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形中,过点作,垂足为,由已知得,四边形为矩形,在中,由,,依勾股定理得:,从而又由平面得,从而在中,由,,得正视图如右图所示:(Ⅱ)取中点,连结,在中,是中点,∴,,又,∴,∴四边形为平行四边形,∴又平面,平面∴平面(Ⅲ)又,,所以解法二:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)取的中点,连结,在梯形中,,且∴四边形为平行四边形∴,又平面,平面∴平面,又在中,平面,平面∴平面.又,∴平面平面,又平面∴平面(Ⅲ)同解法一．（2022年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1)证明://平面;(2)证明:平面;(3)当时,求三棱锥的体积.24\n【答案】(1)在等边三角形中,,在折叠后的三棱锥中也成立,,平面,平面,平面;(2)在等边三角形中,是的中点,所以①,.在三棱锥中,,②;(3)由(1)可知,结合(2)可得.．（2022年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.(I)证明:AD⊥C1E;(II)当异面直线AC,C1E所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.24\n【答案】解:(Ⅰ)..(证毕)(Ⅱ)..．（2022年高考北京卷（文））如图,在四棱锥中,,,,平面底面,,和分别是和的中点,求证:(1)底面;(2)平面;(3)平面平面【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD所以PA垂直底面ABCD.(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点所以AB∥DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形,所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD所以BE∥平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.24\n．（2022年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱中,,,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)若,,求三棱柱的体积.【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接、、,因为CA=CB,所以,由于AB=AA1,∠BAA1=600,故为等边三角形,所以OA⊥AB.因为OC⨅OA=O,所以AB平面OAC.又ACC平面OAC,故ABAC.(II)由题设知．（2022年高考山东卷（文））如图,四棱锥中,,,分别为的中点(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:24\n【答案】24\n．（2022年高考四川卷（文））如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,分别是线段的中点,是线段上异于端点的点.(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,求三棱锥的体积.(锥体体积公式:,其中为底面面积,为高)24\n【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点作直线,因为在平面外,BC在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,平面.由已知,,是BC中点,所以BC⊥AD,则直线,又因为底面,所以,又因为AD,在平面内,且AD与相交,所以直线平面(Ⅱ)过D作于E,因为平面,所以,又因为AC,在平面内,且AC与相交,所以平面,由,∠BAC,有,∠DAC,所以在△ACD中,,又,所以因此三棱锥的体积为．（2022年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为,,且.过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.(Ⅰ)证明:中截面是梯形;(Ⅱ)在△ABC中,记,BC边上的高为,面积为.在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算.已知,试判断与V的大小关系,并加以证明.24\n第20题图【答案】(Ⅰ)依题意平面,平面,平面,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又,,,且.因此四边形、均是梯形.由∥平面,平面,且平面平面,可得AA2∥ME,即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.又、分别为、的中点,则、、、分别为、、、的中点,即、分别为梯形、的中位线.因此,,而,故,所以中截面是梯形.(Ⅱ).证明如下:由平面,平面,可得.而EM∥A1A2,所以,同理可得.由是△的中位线,可得即为梯形的高,因此,即.又,所以.于是.由,得,,故.．（2022年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.24\n(1)证明:BC1//平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C一A1DE的体积.【答案】．（2022年高考大纲卷（文））如图,四棱锥都是边长为的等边三角形.(I)证明:(II)求点【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.24\n过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由和都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故,从而.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE//CD.因此,.(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB.由(Ⅰ)知,,故.又,,故为等腰三角形,因此,.又,所以平面PCD.因为AE//CD,平面PCD,平面PCD,所以AE//平面PCD.因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而,所以A至平面PCD的距离为1.．（2022年高考安徽（文））如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,.已知.(Ⅰ)证明:(Ⅱ)若为的中点,求三菱锥的体积.【答案】解:24\n(1)证明:连接交于点又是菱形而⊥面⊥(2)由(1)⊥面=．（2022年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥底面边长为,高为,求该三棱锥的体积及表面积.【答案】24\n．（2022年高考天津卷（文））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【答案】24\n．（2022年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)如题(19)图,四棱锥中,⊥底面,,,.zhangwlx(Ⅰ)求证:⊥平面;(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.24\n【答案】．（2022年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=2,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3(1)证明:BE⊥平面BB1C1C;(2)求点B1到平面EA1C1的距离【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则在在,故由(2)24\n,同理,因此.设点B1到平面的距离为d,则,从而24