【世纪金榜】2022届高考数学总复习 课时提升作业(五十九) 1坐标系 文 新人教A版选修4-4

课时提升作业(五十九)坐　标　系一、选择题(每小题6分,共18分)1.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是(　　)A.　　　　　　　B.C.(1,0)D.(1,π)【解析】选B.由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化为普通方程为x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为.2.极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线2ρcos=-1的位置关系为(　　)A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】选B.圆ρ=2cosθ与直线2ρcos=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d==1=r,所以直线与圆相切.3.(2022·北京模拟)在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的圆心到极轴的距离为(　　)A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.2【解析】选A.由圆的极坐标方程ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,标准方程为x2+(y-1)2=1,所以圆心C(0,1)到极轴的距离为1.二、填空题(每小题6分,共18分)4.(2022·陕西高考)在极坐标系中,点到直线ρsin=1的距离是　　　　.【解题提示】把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,把点的极坐标化为直角坐标,从而求得此点到直线的距离.【解析】由于直线的极坐标方程是ρsin=1,化为直角坐标方程为x-y+2=0,点-5-\n的直角坐标为(,1),所以点到直线的距离答案:15.(2022·天津高考)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为　　　　　　.【解析】圆的普通方程为x2+(y-2)2=4,直线为y=a.因为△AOB是等边三角形,所以其中一个交点坐标为,代入圆的方程可得a=3.答案:36.在以O为极点的极坐标系中,直线l的极坐标方程是ρcosθ-2=0,直线l与极轴相交于点M,以OM为直径的圆的极坐标方程是　　　　　　　　.【解析】直线l:ρcosθ-2=0的普通方程是x=2,直线l与x轴相交于点M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0,化为极坐标方程是ρ2-2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.答案:ρ=2cosθ三、解答题(每小题16分,共64分)7.在极坐标系中,从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12.(1)求点P的轨迹方程.(2)设R为l上任意一点,试求RP的最小值.【解题提示】由O,M,P三点共线及OM·OP=12.设出动点P,M的极坐标,然后代入条件等式求解即可.也可以转化为普通方程解决.【解析】方法一:(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ),则点M为(ρ0,θ).-5-\n因为OM·OP=12,所以ρ0ρ=12,得ρ0=.因为M在直线ρcosθ=4上,所以ρ0cosθ=4,即cosθ=4.于是ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点P的轨迹方程.(2)由于点P的轨迹方程为ρ=3cosθ=2·cosθ,所以点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉原点).又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知RP的最小值为1.方法二:(1)直线l:ρcosθ=4的直角坐标方程为x=4,设点P(x,y)为轨迹上任意一点,点M(4,y0),由∥,得y0=(x>0).又OM·OP=12,则OM2·OP2=144.所以(x2+y2)=144,整理得x2+y2=3x(x>0),这就是点P的轨迹的普通方程.(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉原点).又点R在直线l:x=4上,故RP的最小值为1.8.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标.(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解析】(1)由ρcos=1得=1.从而C的直角坐标方程为=1.即x+y=2.-5-\n当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0);(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为.所以P点的直角坐标为,则P点的极坐标为.所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈(-∞,+∞).9.在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程.(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹方程.【解析】(1)设M(ρ,θ)是圆C上任意一点,在△OCM中,∠COM=,由余弦定理,得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM.所以32=ρ2+32-2×3×ρcos.即ρ=6cos为所求.(2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ,θ),由=2,得=2(-).所以=,所以ρ1=ρ,θ1=θ,代入圆ρ=6cos,得ρ=6cos,即ρ=9cos为所求.10.在极坐标系中,曲线E:ρsin2θ=2cosθ,过点A(5,α)(α为锐角且tanα=)作平行于θ=(ρ∈R)的直线l,且l与曲线E分别交于B,C两点.(1)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线E与直线l的普通方程.(2)求BC的长.-5-\n【解析】(1)曲线E:ρsin2θ=2cosθ,即ρ2sin2θ=2ρcosθ,曲线的直角坐标方程为y2=2x.由公式点A(5,α)(α为锐角且tanα=)的直角坐标为A(4,3),直线θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,所以过点A(4,3)平行于y=x的直线l的方程为y=x-1.(2)将y=x-1代入y2=2x,整理,得x2-4x+1=0,设B(x1,y1),C(x2,y2),则由方程的根与系数的关系,得x1+x2=4,x1x2=1,-5-