上海市2022届高考数学压轴试题 理

上海市2022届高三下学期高考压轴卷数学理试题考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.复数满足（其中为虚单位），则.2.设集合，则.3.直线的倾斜角.4.的展开式中，系数最大的项为第项.5.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为_____________.6.已知，且，则.7.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是.8.已知定义域为上的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集为_____________.9.已知随机变量服从正态分布，且，则等于.10.直线的参数方程是（其中为参数），圆的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是.11.在直角三角形中，，点是斜边上的一个三等分点，则.12.设满足约束条件，向量，且,则的最小值为.13.将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是.14.已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且，记点的轨迹的长度为，则______________;关于的方程的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.11\n二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若复数为纯虚数，则的虚部为（）A.B.C.D.16.指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.在上递增，在上递减D.在上递减，在上递增17.已知锐角A，B满足,则的最大值为（）A.B.C.D.18.对于定义域为[0,1]的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有②③若，，都有成立；则称函数为理想函数.下面有三个命题：（1）若函数为理想函数，则；（2）函数是理想函数；（3）若函数是理想函数，假定存在，使得，且，则；其中正确的命题个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.设的三内角的对边长分别为，已知成等比数列，且．（Ⅰ）求角的大小；20220316（Ⅱ）设向量，，当取最小值时，判断的形状.11\n20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（Ⅰ）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21.(本题满分14分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题2分.某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时)的关系为，其中是与气象有关的参数，且．（Ⅰ）令，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；（Ⅱ）若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作，求；（Ⅲ）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题6分.已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线、的斜率之和为定值．23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为11\n，公差为，并且成等差数列．（Ⅰ）证明（，是的多项式），并求的值；（Ⅱ）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)．设前组中所有数之和为，求数列的前项和．（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式成立的所有的值．2022上海市高考压轴卷理科数学试题答案及解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.【答案】【解析】2.【答案】【解析】,3.【答案】【解析】4.【答案】3或5【解析】的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大.5.【答案】【解析】因为是等差数列，所以是等比数列11\n，所以，因为，所以，所以.6.【答案】【解析】.7.【答案】【解析】圆的圆心到直线的距离为，则8.【答案】【解析】因为函数为偶函数,所以,且函数在上递增.所以由得,即,所以不等式的解集为.9.【答案】0.3【解析】，则，又分布图像关于直线对称，，则，10.【答案】【解析】，，圆的直角坐标方程为，即，圆心直角坐标为．直线的普通方程为，圆心到直线距离是，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.11.【答案】【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以,所以，所以，所以11\n.12.【答案】【解析】不等式对应的可行域是顶点为的三角形及其内部，由，得，可知在处有最小值13.【答案】【解析】将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有种，因为，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；；；；；；；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是14.【答案】【解析】由定义可知当，点P的轨迹是半径为的圆周长，此时点P分别在三个侧面上运动，所以。由正方体可知，当，点在三个面上运动，此时递增，当时，递减，当时，递增，当时，递减，如草图，所以方程的解的个数可能为0,2,3,4个.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.【答案】C；【解析】∵复数为纯虚数，∴，即，∴．16.【答案】B【解析】由已知有，显然函数在上单调递减.17.【答案】D【解析】，又，则11\n则.【注】直接按和角公式展开也可.18.【答案】D【解析】(1)取，可得所以又有条件①故（2）显然在上满足条件①也满足条件②若，则即满足条件③故是联想函数.(3)由条件③知，任給当时，由知所以若则前后矛盾；若则前后矛盾.所以三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.解:（Ⅰ）因为成等比数列，则．由正弦定理得．又，所以．因为，则．因为，所以或．又，则或，即不是的最大边，故．（Ⅱ）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.解:（Ⅰ）线段的中点就是满足条件的点．11\n证明如下：取的中点连结，则取的中点，连结，∵且，∴是正三角形，∴．∴四边形为矩形，∴又∵，∴且，四边形是平行四边形．∴，而平面，平面，∴平面．（Ⅱ）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱．∵平面平面，，∴平面，又∵平面，,∴平面，∴，∴是所求二面角的平面角．设，则，∴，∴（法2）∵，平面平面，∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得．∴，设平面的法向量为，则且，11\n解之得取，得平面的一个法向量为.又∵平面的一个法向量为．.21.(本题满分14分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题2分.解：（1）单调递增区间为；单调递减区间为.证明：任取，，所以.所以函数在上为增函数。(同理可证在区间上减函数)（2）由函数的单调性知，∴，即的取值范围是．当时，记则∵在上单调递减，在上单调递增，且．故.（3）因为当且仅当时，.故当时不超标，当时超标．XYODBA22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题6分.解：（Ⅰ），，，，11\n（Ⅱ）设直线的方程为----①-----②，设为点到直线：的距离，，当且仅当时取等号.因为，所以当时，的面积最大，最大值为.（Ⅲ）设，，直线、的斜率分别为：、，则=------*将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，即023.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.解：（Ⅰ）由题意知．，同理，，，…，．又因为成等差数列，所以.故，即是公差为的等差数列．所以，．令，则，此时．（Ⅱ）当时，．11\n数列分组如下：．按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数．注意到前个奇数的和为，所以前个奇数的和为.即前组中所有数之和为，所以．因为，所以，从而．所以..故.所以．（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.故不等式就是．考虑函数．当时，都有，即．而，注意到当时，单调递增，故有.因此当时，成立，即成立．所以,满足条件的所有正整数．11