全国通用2022版高考数学考前三个月复习冲刺专题3第11练研创新_以函数为背景的创新题型理
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第11练 研创新——以函数为背景的创新题型[题型分析·高考展望] 在近几年的高考命题中,以函数为背景的创新题型时有出现.主要以新定义、新运算或新规定等形式给出问题,通过判断、运算解决新问题.这种题难度一般为中档,多出现在选择题、填空题中,考查频率虽然不是很高,但失分率较高.通过研究命题特点及应对策略,可以做到有备无患.常考题型精析题型一 与新定义有关的创新题型例1 (1)(2022·山东)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是________.(2)(2022·湖北)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0.对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.①当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;②当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.点评 在(1)(2)两个题目中都出现了一个新定义,即“对称函数”和“平均数”,解答这类题目关键在于解读新定义,利用定义的规定去判断和求解是这类题目的主要解法.变式训练1 (2022·浙江)设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x-x2),f3(x)=|sin2πx|,ai=,i=0,1,2,…,99.记Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+…+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3.则( )A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1题型二 综合型函数创新题例2 (2022·四川)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:11\n①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)点评 此类题目包含了与函数有关的较多的概念、性质及对基本问题的处理方法.解答这类题目,一是要细心,读题看清要求;二是要熟练掌握函数的基本性质及其判断应用的方法,掌握基本函数的图象与性质等.变式训练2 设V是全体平面向量构成的集合.若映射f:V→R满足:对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b),则称映射f具有性质P,现给出如下映射:①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V;②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V;③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V.其中,具有性质P的映射的序号为________.(写出所有具有性质P的映射的序号)高考题型精练1.(2022·潍坊模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是( )A.[4,8]B.[6,10]C.[4%,8%]D.[6%,100%]2.若a>b,则下列不等式成立的是( )A.lna>lnbB.0.3a>0.3bC.>D.>3.(2022·山东)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanx11\nD.f(x)=cos(x+1)4.设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2).那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )A.A=N*,B=NB.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10}C.A={x|0<x<1},B=RD.A=Z,B=Q5.设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y有( )A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x]C.[x+y]≤[x]+[y]D.[x-y]≤[x]-[y]6.设函数D(x)=则下列结论错误的是( )A.D(x)的值域为{0,1}B.D(x)是偶函数C.D(x)不是周期函数D.D(x)不是单调函数7.函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f≤[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1,]上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].其中真命题的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.③④8.如图所示,|OA|=2(单位:m),|OB|=1(单位:m),OA与OB的夹角为,以A为圆心,11\nAB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发,甲先以速率1(单位:m/s)沿线段OB行至点B,再以速率3(单位:m/s)沿圆弧行至点C后停止;乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA行至点A后停止.设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图象大致是( )9.对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是______.10.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为________.11.已知二次函数f(x)的两个零点分别为,(0<b<a+1),f(0)=b2.定义card(A):集合A中的元素个数,若“”是“f(x)>0”的充要条件,则实数a的取值范围是____________.12.(2022·四川)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中的真命题有________(写出所有真命题的序号).11\n答案精析第11练 研创新——以函数为背景的创新题型常考题型精析例1 (1)(2,+∞) (2)①;②x(或填①k1;②k2x,其中k1,k2为正常数均可)解析 (1)由已知得=3x+b,所以h(x)=6x+2b-.h(x)>g(x)恒成立,即6x+2b->,3x+b>恒成立.在同一坐标系内,画出直线y=3x+b及半圆y=(如图所示),可得>2,即b>2,故答案为(2,+∞).(2)设A(a,f(a)),B(b,-f(b)),C(c,0),且三点共线.①依题意,c=,则=,即=.因为a>0,b>0,所以化简得=,故可以选择f(x)=(x>0).②依题意,c=,则=,因为a>0,b>0,所以化简得=,故可以选择f(x)=x(x>0).变式训练1 B[因为ai=(i=0,1,2,…,99),所以a0=0,a99=1.当k=1时,f1(a0)=0,f1(a99)=1.因为f1(x)=x2在(0,+∞)上是增函数,所以I1=|f1(a1)-f1(a0)|+|f1(a2)-f1(a1)|+…+|f1(a99)-f1(a98)|=f1(a1)-f1(a0)+f1(a2)-f1(a1)+…+f1(a99)-f1(a98)=-f1(a0)+f1(a99)=1.当k=2时,f2(a0)=f2(a99)=0.11\n因为f2(x)=2(x-x2)在上是增函数,在上是减函数,所以I2=|f2(a1)-f2(a0)|+|f2(a2)-f2(a1)|+…+|f2(a99)-f2(a98)|=f2(a1)-f2(a0)+f2(a2)-f2(a1)+…+f2(a50)-f2(a49)+f2(a50)-f2(a51)+…+f2(a98)-f2(a99)=2f2(a50)=<1.当k=3时,f3(a0)=f3(a99)=0.因为f3(x)的周期是T=,且f3(x)在上是增函数,在上是减函数,所以I3=|f3(a1)-f3(a0)|+|f3(a2)-f3(a1)|+…+|f3(a99)-f3(a98)|=[f3(a1)-f3(a0)+f3(a2)-f3(a1)+…+f3(a24)-f3(a23)+f3(a24)-f3(a25)+…+f3(a48)-f3(a49)]×2=[f3(a24)+f3(a24)-f3(a49)]×2=>1.]例2 ①③④解析 ①因为f(x)∈A,所以函数f(x)的值域是R,所以满足∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b,同时若∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b,则说明函数f(x)的值域是R,则f(x)∈A,所以正确;②因为令f(x)=,x∈(1,2],取M=1,则f(x)⊆[-1,1],但是f(x)没有最大值,所以错误;③因为f(x)∈A,g(x)∈B且它们的定义域相同(设为[m,n]),所以存在区间[a,b]⊆[m,n],使得f(x)在区间[a,b]上的值域与g(x)的值域相同,所以存在x0∉[a,b],使得f(x0)的值接近无穷,所以f(x)+g(x)∉B,所以正确;④因为当x>-2时,函数y=ln(x+2)的值域是R,所以函数f(x)若有最大值,则a=0,此时f(x)=.11\n因为对∀x∈R,x2+1≥2|x|,所以-≤≤.即-≤f(x)≤,故f(x)∈B,所以正确.变式训练2 ①③解析 a=(x1,y1),b=(x2,y2),λa+(1-λ)b=(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2).对于①,∵f1(m)=x-y,∴f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]-[λy1+(1-λ)·y2]=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2),而λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2),∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b),∴①具有性质P.对于②,f2(m)=x2+y,设a=(0,0),b=(1,2),λa+(1-λ)b=(1-λ,2(1-λ)),f(λa+(1-λ)b)=(1-λ)2+2(1-λ)=λ2-4λ+3,而λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(02+0)+(1-λ)(12+2)=3(1-λ),又λ是任意实数,∴f(λa+(1-λ)b)≠λf(a)+(1-λ)f(b),故②不具有性质P.对于③,f3(m)=x+y+1,f(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]+[λy1+(1-λ)y2]+1=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1,又λf(a)+(1-λ)f(b)=λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+λ+(1-λ)=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1,∴f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b).∴③具有性质P.综上,具有性质P的映射的序号为①③.高考题型精练1.A[根据题意得,要使附加税不少于128万元,需×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,即R∈[4,8].2.D[因为a>b,而对数的真数为正数,所以lna>lnb不一定成立;因为y=0.3x是减函数,又a>b,则0.3a<0.3b,故B错;11\n因为y=在(0,+∞)是增函数,又a>b,则>不一定成立,故C错;y=在(-∞,+∞)是增函数,又a>b,则>,即>成立,选D.]3.D[由f(x)=f(2a-x)知f(x)的图象关于x=a对称,且a≠0,A,C中两函数图象无对称轴,B中函数图象对称轴只有x=0,而D中当a=kπ-1(k∈Z)时,x=a都是y=cos(x+1)的图象的对称轴.故选D.]4.D[对于A,取f(x)=x+1,满足题意.对于B,取f(x)=对于C,取f(x)=tan[π(x-)],满足题意.排除法,选D.]5.D[特殊值法.令x=1.5,∵[-1.5]=-2,-[1.5]=-1,故A错;[2×1.5]=3,2[1.5]=2,故B错;令x=1.5,y=0.5,[x+y]=2,[x]+[y]=1+0=1,故C错.]6.C[A中函数值只有两个:0和1,正确;B中,若x是无理数,则-x也是无理数,则D(-x)=D(x);若x是有理数,则-x也是有理数,则D(-x)=D(x),所以D(x)是偶函数,正确;C中,对于任意有理数T,f(x+T)=f(x)(若x是无理数,则x+T也是无理数;若x是有理数,则x+T也是有理数),不正确;D中,取任意两个数值x1,x2,D(x1)与D(x2)的大小不确定,故不存在单调性,正确.]7.D[通过构造某些特殊函数,排除不合适的选项,利用反证法证明③正确,再两次应用定义式证明④正确.令f(x)=可知对∀x1,x2∈[1,3],都有f≤[f(x1)+f(x2)],但f(x)在[1,3]上的图象不连续,故①不正确;令f(x)=-x,则f(x)在[1,3]上具有性质P,但f(x2)=-x2在[1,]上不具有性质P,因为-2=-≥-=(-x-x)=[f(x)+f(x)],故②不正确;对于③,假设存在x0∈[1,3],使得f(x0)≠1,因为f(x)max=f(2)=1,x∈[1,3],所以f(x0)<1.又当1≤x0≤3时,有1≤4-x0≤3,11\n由f(x)在[1,3]上具有性质P,得f(2)=f≤[f(x0)+f(4-x0)],由于f(x0)<1,f(4-x0)≤1,故上式矛盾.即对∀x∈[1,3],有f(x)=1,故③正确.对∀x1,x2,x3,x4∈[1,3],f=f≤≤=[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],即④正确.]8.A[对t进行分段,确定函数y=S(t)的解析式.由题意知,当0<t≤1时,甲从O向B移动,乙从O向A移动,则t时刻,|OB|=t,|OA|=2t,此时S(t)=·|OB|·|OA|sin=t2,此段图象为抛物线;当t>1时,设圆弧半径为r,甲从B沿圆弧移动到C后停止,乙在A点不动,则此时S(t)=×1×2·sin+·r·3(t-1)=t+,此段图象为直线,当甲移动至C点后,甲、乙均不再移动,面积不再增加,选项B中开始一段函数图象不对,选项C中后两段图象不对,选项D中前两段函数图象不对,故选A.]9.解析 由新定义可知,f(x)=作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知,当0<m<时,f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3.11\n不妨设x1<x2<x3,易知x2>0,且x2+x3=2×=1,∴x2x3<.令解得x=.∴<x1<0,∴<x1x2x3<0.10.-10解析 因为f(x)的周期为2,所以f=f=f,即f=f.又因为f=-a+1,f==,所以-a+1=.整理,得a=-(b+1).①又因为f(-1)=f(1),所以-a+1=,即b=-2a.②将②代入①,得a=2,b=-4.所以a+3b=2+3×(-4)=-10.11.(1,2)解析 由条件可得f(x)=(1-a2)(x-)(x-),结合知a>1,所以f(x)开口向下,所以f(x)>0的解集为,且0<<1.结合数轴分析知-4≤<-3,即3a-3<b≤4a-4,又0<b<a+1,所以3a-3<b<a+1,得1<a<2.12.①④解析 设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)),对于①:从y=2x的图象可看出,m=kAB>0恒成立,故正确;11\n对于②:直线CD的斜率可为负,即n<0,故不正确;对于③:由m=n得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2),即f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax,则h′(x)=2x·ln2-2x-a,由h′(x)=0,得2x·ln2=2x+a,(*)结合图象知,当a很小时,方程(*)无解,∴函数h(x)不一定有极值点,就不一定存在x1,x2使f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),不一定存在x1,x2使得m=n;对于④:由m=-n,得f(x1)-f(x2)=g(x2)-g(x1),即f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),令F(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax,则F′(x)=2xln2+2x+a,由F′(x)=0,得2xln2=-2x-a,结合如图所示图象可知,该方程有解,即F(x)必有极值点,∴存在x1,x2使F(x1)=F(x2),得m=-n.故①④正确.11
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