四川省宜宾市第三中学2022高一教学论文 圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法

圆锥曲线在高考中的常见题型及其解法从近几年全国各地的高考题来看，圆锥曲线问题一直是以拉开差距的题目的身份出现，题目的综合性较强，计算能力要求较高，难度较大。因此，对于那些想考上较好大学的学生而言，圆锥曲线问题就成了必争之地，而要突破它也并非难事，让我们来看看高考中这类问题是怎样出现的吧！一、新趋势——与圆结合随着课程改革的不断推广，新课标教材中降低了对圆锥曲线的要求，这让我们看到高考中圆锥曲线与圆相结合的问题逐渐增多（尤其是新课标考区），而且难度较小。如：例1：（07年广东理）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．（I）求圆的方程；（II）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解析：（I）圆C：；（II）由条件可知a=5，椭圆方程为，∴F（4，0）.若存在这样的点Q，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；直线CF的方程为y-1=,即.设Q（x,y），则，解得所以存在满足条件的点Q，其坐标为.点评：圆与圆锥曲线相结合的问题主要是强调对圆锥曲线基本概念的理解，要充分利用圆的几何性质对题目条件进行合理的转化，以简化计算，解决问题。二、向量参与圆锥曲线问题的两种方式我们经常在圆锥曲线问题中看到向量，比较简单的是用向量语言表述几何关系。如用表示OA和OB互相垂直，用表示M是线段AB的中点等等。另一种情况是用向量语言表述坐标关系，下面我们还是通过一些题目来说明这些是如何办到的。例2：（08全国II）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．-9-（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．解析：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．如图，设，其中，DFByxAOE且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（Ⅱ）根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．点评：就像本题一样，最常见的向量语言表述坐标关系莫过于定比分点坐标公式。在某些题目中可能还会以线段的比值关系来给出这样的条件，此时还要注意对的正负进行讨论，然后利用向量找到坐标之间的关系以解决问题。三、圆锥曲线中的面积问题圆锥曲线中的面积问题和弦长问题联系是非常紧密的，高考中也经常出现，但以面积问题居多，这类问题往往又与函数的最值、方程等结合得比较紧密，有一定的综合性但难道不算太大，容易突破。-9-例3：（05全国卷II）、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．解析：①当PQ斜率存在且不为0时，设为k..则PQ：.由得，.设.则.∴.同理可得，.∴.令，则.∴.∵，∴②当PQ斜率不存在或为0时，综上所述，四边形的面积的最小值为，最大值为2.点评：此题以向量的形式告诉我们过上焦点的两条相互垂直的直线与椭圆交于四点，并要我们求这四点所构成的四边形的面积的最值。解决此题时要注意一下两点：①要能够通过对四边形面积的分割，将四边形的面积转化为两条弦长的乘积。②再顺利表示出四边形的面积以后，要能够通过合理的换元求出那个分式函数的最值。对于这些类似的分式函数常见的求最值的方法有，换元后用均值不等式、或转化为二次函数、或用判别式法求最值。另外，对所求面积进行合理的分割，能起到简化计算的作用，如下面这个题目。四、求值、求方程问题相对于面积问题，求值、求方程类问题的条件更加变化多端，可能需要对条件作出更多的转化，才能够利用条件列出方程以求出所需的值。注意，求方程就是求方程中待定的系数，也就是求值。例4：（05福建卷）已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.-9-（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.解析：（I）椭圆C的方程为：.（II）由已知，直线m不垂直于y轴，所以可设其方程为：.由得，.设则，.∴∴.又由cot∠MON，知.∴.解得，或.所以，存在这样的直线m，其方程为：或.点评：对于此题，要将条件cot∠MON≠0转化为才能够突破问题的关键。此外，大胆的设方程、设参数也是需要不断向学生渗透的重要思想。五、求范围问题如果说求值要想尽一切办法列方程的话，那么求范围就要想尽一切办法列不等式，列所求字母的不等式以求出其范围。其中，能用于列不等式的主要有：①判别式；②曲线上点坐标的范围；③特殊的已知条件。另外要注意的是，我们所求的字母有可能是某个变量的函数，我们可利用函数求值域的方法求其范围。例5：（07四川理20）设、分别是椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.-9-解析：（Ⅰ）易知，所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值（Ⅱ）显然直线的斜率存在，可设直线，联立，消去，整理得：∴由得：或…①又∴又∵，即∴…②故由①、②得或点评：这个题中体现了用判别式及已知条件列不等式求范围的方法，容易找到切入点，值得提醒学生注意的是∠为锐角是怎样应用的。例6：（05石家庄一模）已知圆C：，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）若过点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.-9-点拨：这个题目还是可以构造韦达定理来求解，但计算量较大。下面的解法就是通过向量找到了椭圆上一点的纵坐标和的关系，从而利用椭圆上点的纵坐标的范围得到了的取值范围。参考答案：（I）曲线E的方程为：.（II）设.由有，，代入E的方程，得∴.由，得又因为点G在点F、H之间，所以.综上，.例7：（06年福建）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。点拨：此题就是一个利用函数求范围的典型例子，AB的斜率k虽然不受任何限定，但用它表示的函数却由函数的解析式得到了一个范围。参考答案：（I）所求圆的方程为（II）点G横坐标的取值范围为六、定点、定值问题高考中常出现证明某直线过定点这样的问题，要解决这样的问题通常是表示出该直线方程，求出其要过的定点，从而证明问题。对于定值问题也是如此，都是以求代证，用求出某变量的值为定值来证明问题。例8：（07山东理）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆-9-的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解析：（Ⅰ）椭圆的标准方程为．（Ⅱ）设，，联立得，因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，.即…①，且，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，，，，．解得：，，且均满足①式，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点．所以，直线过定点，定点坐标为．点评：证明直线过定点的问题，即求出直线所过的定点，那么该怎样求直线所过的定点呢？其实就是利用已知条件找到直线方程中两个待定系数之间的关系，消掉其中一个即可，因为我们能够求出只含有一个待定系数的直线过怎样的定点。例9：（07湖北理）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于-9-两点．（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．解析：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，直线的方程为，与联立得消去得．由韦达定理得，．于是，当时，．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，NOACByxl则，点的坐标为．，，，．令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为.点评：解决定值问题只需求出定值即可，此题中不过用到了圆的几何性质，把弦长表示为了变量的函数，去确定的值以使得弦长为定值。-9-圆锥曲线问题要求较高、形式多样，这里仅是我们肤浅的看法，总结并不全面（如轨迹问题就没有总结在列）。我们只是希望通过这样的形式回顾、总结教学中的得失，交流心得、感受而已。-9-