新课标2022届高考数学二轮复习第三部分题型指导考前提分题型练7大题专项五解析几何综合问题理

题型练7　大题专项(五)解析几何综合问题1.如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=35,左焦点为F,A,B,C为其三个顶点,直线CF与AB交于点D,若△ADC的面积为15.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在分别以AD,AC为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若不存在,请说明理由.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点1,32,离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C交于A,B两点,以AB为直径的圆过原点,且线段AB的垂直平分线交y轴于点P0,-32,求直线l的方程.-8-\n3.设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.4.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为27.(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设PF=λ1FD,PG=λ2GD,试问λ1+λ2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.-8-\n5.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.6.(2022江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.-8-\n参考答案题型练7　大题专项(五)解析几何综合问题1.解(1)设左焦点F的坐标为(-c,0),其中c=a2-b2,∵e=ca=35,∴a=53c,b=43c.∴A0,43c,B-53c,0,C0,-43c,∴直线AB的方程为-3x5c+3y4c=1,直线CF的方程为-xc-3y4c=1,-8-\n联立解得点D的坐标为-54c,13c.∵△ADC的面积为15,∴12|xD|·|AC|=15,即12·54c·2·43c=15,解得c=3,∴a=5,b=4,∴椭圆C的方程为x225+y216=1.(2)由(1)知,点A的坐标为(0,4),点D的坐标为-154,1.假设存在这样的两个圆M与圆N,其中AD是圆M的弦,AC是圆N的弦,则点M在线段AD的垂直平分线上,点N在线段AC的垂直平分线y=0上.当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有A,M,N在一条直线上,且|AM|=|AN|.∴M,N关于点A对称.设M(x1,y1),则N(-x1,8-y1),根据点N在直线y=0上,∴y1=8.∴M(x1,8),N(-x1,0),而点M在线段AD的垂直平分线y-52=-54x+158上,可求得x1=-25140.故存在这样的两个等圆,且这两个圆的圆心坐标分别为M-25140,8,N25140,0.2.解(1)由题意得ca=32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.故椭圆C的方程是x24+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+t,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有x1+x2=-8kt1+4k2,x1x2=4t2-41+4k2.Δ>0⇒4k2+1>t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=2t1+4k2,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k24t2-41+4k2+kt-8kt1+4k2+t2=t2-4k21+4k2.因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以OA⊥OB,x1x2+y1y2=0.因为x1x2+y1y2=4t2-41+4k2+t2-4k21+4k2=0,所以5t2=4+4k2.因为Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-32或t>32.又设A,B的中点为D(m,n),则m=x1+x22=-4kt1+4k2,n=y1+y22=t1+4k2.-8-\n因为直线PD与直线l垂直,所以kPD=-1k=-32-n-m,得t1+4k2=12.由t1+4k2=12,5t2=4+4k2,解得t1=1,t2=-35.当t=-35时,Δ>0不成立.当t=1时,k=±12,所以直线l的方程为y=12x+1或y=-12x+1.3.解(1)设F(c,0),由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为x24+y23=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3.由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BF⊥HF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k.设M(xM,yM),由方程组y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|,即(xM-2)2+yM2≤xM2+yM2,化简得xM≥1,即20k2+912(k2+1)≥1,解得k≤-64,或k≥64.所以,直线l的斜率的取值范围为-∞,-64∪64,+∞.4.解(1)由已知:直线m的方程为y=x-p2,代入y2=2px,得x2-3px+p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p,且线段AB的中点为32p,p,-8-\n由已知(7)2+32p2=(2p)2,解得p=2或p=-2(舍去),所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)设直线l:y=kx+2(k≠0),则D-2k,0,联立y=kx+2,y2=4x,得k2x2+4(k-1)x+4=0.由Δ>0得k<12.设F(x3,y3),G(x4,y4),则x3+x4=4-4kk2,x3x4=4k2.PF=λ1FD⇒(x3,y3-2)=λ1-2k-x3,-y3,PG=λ2GD⇒(x4,y4-2)=λ2-2k-x4,-y4,所以λ1=x3-2k-x3=-kx3kx3+2,λ2=-kx4kx4+2.则λ1+λ2=-kx3kx3+2-kx4kx4+2=-2k2x3x4+2k(x3+x4)k2x3x4+2k(x3+x4)+4.将x3+x4=4-4kk2,x3x4=4k2代入上式得λ1+λ2=-1.即λ1+λ2为定值-1.5.解由题知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|x1-12,S△PQF=|a-b|2.由题设可得2×12|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).-8-\n当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x≠1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.6.解(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为12,两准线之间的距离为8,所以ca=12,2a2c=8,解得a=2,c=1,于是b=a2-c2=3,因此椭圆E的标准方程是x24+y23=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为y0x0+1,直线PF2的斜率为y0x0-1.因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-x0+1y0,直线l2的斜率为-x0-1y0,从而直线l1的方程:y=-x0+1y0(x+1),①直线l2的方程:y=-x0-1y0(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=x02-1y0,所以Q-x0,x02-1y0.因为点Q在椭圆上,由对称性,得x02-1y0=±y0,即x02-y02=1或x02+y02=1.又P在椭圆E上,故x024+y023=1.由x02-y02=1,x024+y023=1,解得x0=477,y0=377;x02+y02=1,x024+y023=1,无解.因此点P的坐标为477,377.-8-