江苏版2022年高考数学一轮复习第03章导数测试题

第03章导数班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．1.(2022·扬州中学质检)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．【答案】x－y－1＝02.(2022·苏、锡、常、镇四市调研)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．【答案】(1,1)【解析】由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，又y＝(x>0)的导数y′＝－，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－.依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.则点P的坐标为(1,1)．3.(2022·南通调研)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为________．【答案】9【解析】f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，又a>0，b>0，则t＝ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．4.若函数f(x)＝exsin-9-\nx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为________角．【答案】钝角【解析】f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)＝exsin，f′(4)＝e4sin<0，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角．5.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.【答案】144【解析】设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm3).6.已知f(x)＝2x3－6x2＋a(a是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上f(x)的最小值是________．【答案】－377.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.【答案】(－∞，－1)∪(0，1)【解析】因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x-9-\n)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔＜0⇔f(x)＞0.综上，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).8.如图所示的曲线是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于____________．【答案】.9.已知f′(x)是f(x)的导函数，在区间[0，＋∞)上f′(x)>0，且偶函数f(x)满足f(2x－1)<f，则x的取值范围是________．【答案】<x<.【解析】∵x∈[0，＋∞)，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，-9-\n又因f(x)是偶函数，∴f(2x－1)<f⇔f(|2x－1|)<f⇒|2x－1|<，∴－<2x－1<.即<x<.10.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是________.【答案】二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．11.(2022·南京模拟)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．【解析】　(1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x>0.∴h′(x)＝－ax－2.若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x>0时，－ax－2<0有解，即a>－有解．-9-\n设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min.(*)又G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．(2)由h(x)在[1,4]上单调递减，∴当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，(**)则a≥－恒成立，所以a≥G(x)max.又G(x)＝2－1，x∈[1,4]因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.当a＝－时，h′(x)＝＋x－2＝＝，∵x∈[1,4]，∴h′(x)＝≤0，当且仅当x＝4时等号成立．(***)∴h(x)在[1,4]上为减函数．故实数a的取值范围是.12．(2022·徐州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．-9-\n综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1<k<2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.13.(2022·苏北四市联考)函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)当a>0时，解不等式f(x)≤0；(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解．-9-\n14.(2022·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)＝ex，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，求a的值；(2)关于x的不等式f(x)<－ex在(－∞，2)上恒成立，求a的取值范围；(3)讨论函数f(x)极值点的个数．【解析】(1)由题意得f′(x)＝ex，因为f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，所以f′(0)＝1，解得a＝－1.(2)法一　由f(x)<－ex，得ex<－ex，即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8<0对任意x∈(－∞，2)恒成立，即(6－3x)a>x3－6x2＋12x－8对任意x∈(－∞，2)恒成立，因为x<2，所以a>＝－(x－2)2，-9-\n记g(x)＝－(x－2)2，因为g(x)在(－∞，2)上单调递增，且g(2)＝0，综合①②可知，a的取值范围是[0，＋∞)．(3)由题意得f′(x)＝ex，所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点．令g(x)＝x3－x2＋ax－a，①若f(x)有且只有一个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g(x)为增函数或者g(x)的极值同号．当g(x)为增函数时g′(x)＝x2－2x＋a≥0在R上恒成立，得a≥1.当g(x)极值同号时，设x1，x2为极值点，则g(x1)·g(x2)≥0，由g′(x)＝x2－2x＋a＝0有解，得a<1，且x－2x1＋a＝0，x－2x2＋a＝0，则x1，x2为x2－2x＋a＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝a，所以g(x1)＝x－x＋ax1－a＝x1(2x1－a)－x＋ax1－a＝－(2x1－a)－ax1＋ax1－a-9-\n-9-