浙江省磐安县高考数学试题分类专题汇编 圆锥曲线 新人教A版

高考数学试题分类汇编圆锥曲线一．选择题：1.（福建卷11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.C.(3,+)D.2.（海南卷11）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（A）A.（，－1）B.（，1）C.（1，2）D.（1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①;②;③;④＜.其中正确式子的序号是BA.①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④4.（湖南卷8）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是(B)A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)28\n5.（江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是CA．B．C．D．6.（辽宁卷10）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）A．B．C．D．7.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（B）A．B．C．D．8.（山东卷(10)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A（A）(B)(C)(D)9.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（B）A．B．C．D．10.（四川卷12）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在28\n上且，则的面积为(B)（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）11.（天津卷（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为B（A）（B）　（C）（D）12.（浙江卷7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A）3（B）5（C）（D）13.（浙江卷10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是B（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为C（A）－=1(B)(C)(D)一．填空题：1.（海南卷14）过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______2.（湖南卷12）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=28\n过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于.3.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆1(0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=．4.（江西卷15）过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．5.（全国一14）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．26.（全国一15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．7.（全国二15）已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于．8.（浙江卷12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。8一．解答题：1.（安徽卷22）．（本小题满分13分）设椭圆过点，且着焦点为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上解(1)由题意：28\n，解得，所求椭圆方程为(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且又A，P，B，Q四点共线，从而于是，，从而，（1），（2）又点A、B在椭圆C上，即（1）+（2）×2并结合（3），（4）得即点总在定直线上方法二设点，由题设，均不为零。且又四点共线，可设,于是（1）（2）由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得（3）28\n(4)(4)－(3)　　　得即点总在定直线上2.（北京卷19）．（本小题共14分）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．因为四边形为菱形，所以．于是可设直线的方程为．由得．因为在椭圆上，所以，解得．设两点坐标分别为，则，，，．所以．所以的中点坐标为．由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得．所以直线的方程为，即．28\n（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，所以．所以菱形的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当时，菱形的面积取得最大值．3.（福建卷21）（本小题满分12分）　　　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.　　　　　　　　　　　　　　（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以,即1＝因此，椭圆方程为(Ⅱ)设(ⅰ)当直线AB与x轴重合时，28\n(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：整理得所以因为恒有，所以AOB恒为钝角.即恒成立.又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立.当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.a2<a2b2-b2,a2<(a2-1)b2=b4,因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,解得a>或a<(舍去)，即a>,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4yA2,yA2>1，即>1,28\n解得a>或a<(舍去)，即a>.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以x21+y21+x22+y22<(x2-x1)2+(y2-y1)2,得x1x2+y1y2<0恒成立.x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=(1+k2).由题意得（a2-a2b2+b2）k2-a2b2<0对kR恒成立.①当a2-a2b2+b2>0时，不合题意；②当a2-a2b2+b2=0时，a=;③当a2-a2b2+b2<0时，a2-a2(a2-1)+(a2-1)<0，a4-3a2+1>0,解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.4.（广东卷18）．（本小题满分14分）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．AyxOBGFF1图4【解析】（1）由得，28\n当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。5.(湖北卷19).（本小题满分13分）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.28\n∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为＞0，b＞0）.则由　解得a2=b2=2,∴曲线C的方程为(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴　　∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是28\n｜EF｜＝＝而原点O到直线l的距离d＝，∴S△DEF=若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有③综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪(1-,1)∪(1,).解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴　　.∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得｜x1-x2｜=③当E、F在同一去上时（如图1所示），S△OEF＝当E、F在不同支上时（如图2所示）.S△ODE=综上得S△OEF＝于是由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=28\n若△OEF面积不小于2　④综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）.6.（湖南卷20）.（本小题满分13分）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解:（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1,y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm,ym）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为又点P（x0,0）在直线上，所以而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理得（·）则是方程（·）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则28\n因为0<<4xm=4(xm-2)=4x0-8,于是设t=,则t(0,4x0-8).记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2.若x0>3,则2(x0-3)(0,4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2<x0<3,则2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4x0-8）上是减函数，所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值.综上所述，当x0>3时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2<x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.7.（江西卷21）．（本小题满分12分）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点.（1）求证：三点共线。（2）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在曲线方程.证明：（1）设，由已知得到，且，，设切线的方程为：由得从而,解得因此的方程为：同理的方程为：又在上，所以，即点都在直线上28\n又也在直线上,所以三点共线（2）垂线的方程为：，由得垂足，设重心所以解得由可得即为重心所在曲线方程8.（辽宁卷20）．（本小题满分12分）在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．20．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．3分（Ⅱ）设，其坐标满足28\n消去y并整理得，故．5分若，即．而，于是，化简得，所以．8分（Ⅲ）．因为A在第一象限，故．由知，从而．又，故，即在题设条件下，恒有．12分9.（全国一21）．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设，，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得,则离心率．28\n（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立将，代入，化简有将数值代入，有,解得故所求的双曲线方程为。10.（全国二21）．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．2分如图，设，其中，DFByxAOE且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，28\n解得或．6分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．9分又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．12分解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为9分，当时，上式取等号．所以的最大值为．12分28\n11.（山东卷22)(本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：由题意设由得，则所以因此直线MA的方程为　　　　　　　　直线MB的方程为所以①②由①、②得　　因此　，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：　28\n　　　　　　所以　x1、x2是方程的两根，因此又所以由弦长公式得　　　　又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+x2,y1+y2),则CD的中点坐标为　设直线AB的方程为　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，　代入得　若D（x3,y3）在抛物线上，则　因此　x3=0或x3=2x0.即D(0，0)或（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.（2）当，对于D(0，0)，此时28\n　　又AB⊥CD，所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.12.（陕西卷20）．（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．xAy112MNBO20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，由韦达定理得，，，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，．28\n即．（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．由（Ⅰ）知．轴，．又．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得．由韦达定理得．，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．（Ⅱ）假设存在实数，使．由（Ⅰ）知，则28\n，，，解得．即存在，使．13.（四川卷21）．（本小题满分12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线。【解】：由与，得，的方程为设则由得①28\n（Ⅰ）由，得②③由①、②、③三式，消去，并求得故（Ⅱ）当且仅当或时，取最小值此时，故与共线。【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。14.（天津卷22）（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得28\n，解得，所以双曲线方程为．（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得．此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，．从而线段的垂直平分线方程为．此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．将上式代入③式得，整理得，．解得或．所以的取值范围是．15.（浙江卷20）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。（Ⅰ）求曲线C的方程；28\n（Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数。本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．（Ⅰ）解：设为上的点，则，到直线的距离为．由题设得．化简，得曲线的方程为．（Ⅱ）解法一：ABOQyxlM设，直线，则，从而．在中，因为，．所以.，．28\n当时，，从而所求直线方程为．解法二：设，直线，则，从而．过垂直于的直线．ABOQyxlMHl1因为，所以，．当时，，从而所求直线方程为．16.（重庆卷21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）　　　如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）若,求点P的坐标.解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=，所以椭圆的方程为(Ⅱ)由得①因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN28\n中，②将①代入②，得故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以由方程组解得即P点坐标为28