福建专版2022高考数学一轮复习课时规范练44椭圆文

课时规范练44　椭圆基础巩固组1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=12.(2022河南洛阳三模)已知集合M=xx29+y24=1,N=yx3+y2=1,M∩N=(　　)A.⌀B.{(3,0),(0,2)}C.[-2,2]D.[-3,3]3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为(　　)A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=14.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)A.36B.13C.12D.335.(2022广东、江西、福建十校联考,文11)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)A.55,1B.22,110\nC.0,55D.0,226.与圆C1:(x+3)2+y2=1外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=81内切的动圆圆心P的轨迹方程为　. 7.(2022湖北八校联考)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2||PF1|的值为　　　　　. 8.(2022广东佛山一模,文20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)若过原点的直线l1与椭圆C交于P,Q两点,且在直线l2:x-y+26=0上存在点M,使得△MPQ为等边三角形,求直线l1的方程.〚导学号24190941〛综合提升组9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(　　)10\nA.3B.6C.9D.1210.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)A.13B.12C.23D.3411.已知椭圆x2a2+y2b2=1的左顶点为A,左焦点为F,点P为该椭圆上任意一点;若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=12,则AP·FP的取值范围是　　　　　. 12.(2022湖北武汉二月调考,文20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为22,F2与椭圆上点的连线中最短线段的长为2-1.(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知E上存在一点P,使得直线PF1,PF2分别交椭圆E于点A,B,若PF1=2F1A,PF2=λF2B(λ>0),求直线PB的斜率.10\n〚导学号24190942〛创新应用组13.(2022安徽马鞍山一模,文16)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存在满足PF1·PF2=b22的点P,则椭圆的离心率的范围是　　　　　. 14.(2022山西太原二模,文20)如图,曲线C由左半椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0,x≤0)和圆N:(x-2)2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成,A,B是M与N的公共点,点P,Q(均异于点A,B)分别是M,N上的动点.(1)若|PQ|的最大值为4+5,求半椭圆M的方程;10\n(2)若直线PQ过点A,且AQ+AP=0,BP⊥BQ,求半椭圆M的离心率.答案：1.A　由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆方程为x2169+y2144=1.2.D　集合M=xx29+y24=1=[-3,3],N=yx3+y2=1=R,则M∩N=[-3,3],故选D.3.A　由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a,所以4a=43,即a=3,又由e=ca=33,得c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为x23+y22=1,故选A.4.D　如图所示,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由tan30°=|PF2||F1F2|=x2c=33,得x=233c.由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=3x,∴a=32x=3c,∴e=ca=c3c=33.5.B　∵F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点,∴离心率0<e<1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点P(x,y),由PF1⊥PF2,得(x-c,y)·(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1,整理,得x2=(2c2-a2)·a2c2≥0,解得e≥22,又0<e<1,∴22≤e<1.故选B.10\n6.x225+y216=1　设动圆的半径为r,圆心为P(x,y),则有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆上,得点P的轨迹方程为x225+y216=1.7.513　由题意知a=3,b=5.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6.在△PF1F2中,因为PF1的中点在y轴上,O为F1F2的中点,由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴,所以|PF2|=b2a=53,所以|PF1|=6-|PF2|=133,所以|PF2||PF1|=513.8.解(1)由题意可知,椭圆的离心率为e=ca=1-b2a2=32,即a2=4b2.由椭圆过点M(2,1),代入可知44b2+1b2=1,解得b2=2,则a2=8.∴椭圆C的方程为x28+y22=1.(2)当直线l1的斜率k不存在时,P,Q两点为短轴的端点,直线l2与x轴的交点(-26,0)即点M,但△MPQ不是等边三角形.当直线l1的斜率k存在时,设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),当k=0时,直线PQ的垂直平分线为y轴,y轴与直线l2的交点为M(0,26),由|PO|=22,|MO|=26,∴∠MPO=60°.则△MPQ为等边三角形,此时直线l1的方程为y=0.当k≠0时,设直线l1的方程为y=kx,由y=kx,x28+y22=1,整理得(1+4k2)x2=8,解得|x0|=81+4k2,则|PO|=1+k2·81+4k2,10\n则PQ的垂直平分线为y=-1kx,由x-y+26=0,y=-1kx,解得x=-26kk+1,y=26k+1,则M-26kk+1,26k+1,∴|MO|=24(k2+1)(k+1)2.∵△MPQ为等边三角形,则|MO|=3|PO|,∴24(k2+1)(k+1)2=3·1+k2·81+4k2,解得k=0(舍去),k=23,∴直线l1的方程为y=23x.综上可知,直线l1的方程为y=0或y=23x.9.B　∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),∴E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则c=2.∵ca=12,∴a=4.∴b2=a2-c2=12.于是椭圆方程为x216+y212=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.10.A　由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由△OBG∽△FBM,得12|OE||FM|=|OB||BF|,即ka2k(a-c)=aa+c,10\n整理,得ca=13,故椭圆的离心率e=13,故选A.11.[0,12]　因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.因为离心率e=12,所以c=1,b=a2-c2=3.则椭圆方程为x24+y23=1,所以点A的坐标为(-2,0),点F的坐标为(-1,0).设P(x,y),则AP·FP=(x+2,y)·(x+1,y)=x2+3x+2+y2.由椭圆方程得y2=3-34x2,所以AP·FP=x2+3x-34x2+5=14(x+6)2-4.因为x∈[-2,2],所以AP·FP∈[0,12].12.解(1)由题意e=ca=22,①a-c=2-1,②由①②解得a=2,c=1,∴b=a2-c2=1.∴椭圆E的标准方程是x22+y2=1.(2)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线lPA的方程为x=my-1.由x=my-1,x2+2y2=2,消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,则y0·y1=-1m2+2.∵1m=y0x0+1,∴m=x0+1y0.∴|PF1||F1A|=-y0y1=-y0-1(m2+2)y0=(m2+2)y02=(x0+1)2y02+2y0210\n=(x0+1)2+2y02=(x0+1)2+2-x02=3+2x0.∴3+2x0=2,解得x0=-12,∴P-12,±144.∴kPB=kPF2=±144-12-1=∓146.故直线PB的斜率为±146.13.33,1　∵椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足PF1·PF2=b22的点P,∴|PF1|·|PF2|cos<PF1,PF2>=b22,4c2=PF12+PF22-2|PF1|·|PF2|cos<PF1,PF2>,|PF1|+|PF2|=2a,可得PF12+PF22+2|PF1|·|PF2|=4a2,∴4c2=4a2-2|PF1|·|PF2|-b2.∴2|PF1|·|PF2|=3a2-3c2≤2|PF1|+|PF2|22,当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立.可得c2a2≥13,解得e≥33.又0<e<1,∴e∈33,1.14.解(1)A(0,1),B(0,-1),故b=1,|PQ|的最大值为4+5=a+2+5,解得a=2.∴半椭圆M的方程为x24+y2=1(-2≤x≤0).(2)设直线PQ方程为y=kx+1,与圆N的方程联立可得(k2+1)x2+(2k-4)x=0,∴xA+xQ=4-2k1+k2.∵xA=0,∴Q4-2k1+k2,-k2+4k+11+k2.10\n∵AQ+AP=0,AQ=(xQ,yQ-1),AP=(xP,yP-1),∴xP+xQ=0,yP+yQ=2.∴xP=2k-41+k2,yP=3k2-4k+11+k2.∵BP⊥BQ,∴BP·BQ=xPxQ+(yP+1)(yQ+1)=-(2k-4)2(1+k2)2+(-k2+4k+1)(3k2-4k+1)(k2+1)2+2+1=(k2+1)(16k-12)=0,解得k=34,∴P-85,-15.代入椭圆方程可得6425a2+125=1,解得a2=83.∴半椭圆M的离心率e=1-b2a2=104.10