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高考总动员2022届高考数学大一轮复习第7章第3节空间点直线平面之间的位置关系课时提升练文新人教版
高考总动员2022届高考数学大一轮复习第7章第3节空间点直线平面之间的位置关系课时提升练文新人教版
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课时提升练(三十七) 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( )A.若AC与BD共面,则AD与BC共面B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BCD.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC【解析】 由公理1知,命题A正确.对于B,假设AD与BC共面,由A正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确.对于C,如图,当AB=AC,DB=DC,当二面角ABCD的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确.对于D,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BC⊥AE,BC⊥DE.根据线面垂直的判定定理得BC⊥平面ADE,从而AD⊥BC.故D正确.【答案】 C2.(2022·天水模拟)已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l( )A.平行 B.相交C.垂直D.异面【解析】 直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行的直线,∴A错;l∥α时,在平面α内不存在与l相交的直线,∴B错;l⊂α时,在平面α内不存在与l异面的直线,∴D错;无论以上哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.故选C.【答案】 C3.若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则( )A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面【解析】 对于选项A,若过点P有直线n与l,m都平行,则l∥m,这与l,m异面矛盾.对于选项B,过点P与l,m都垂直的直线,即过点P且与l,m的公垂线段平行或重合的那一条直线.6\n对于选项C,过点P与l,m都相交的直线有一条或零条.对于选项D,过点P与l,m都异面的直线可能有无数条.【答案】 B4.(2022·石家庄模拟)如图739所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且==,则( )图739A.EF与GH平行B.EF与GH异面C.EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上D.EF与GH的交点M一定在直线AC上【解析】 EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,即点M是平面ACB与平面ACD的交点,而AC是这两个平面的交线,所以点M一定在直线AC上.【答案】 D5.(2022·珠海一中等六校联考)如图7310,正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为1,黑白图7310二蚁都从点A出发,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…,黑蚁爬行的路线是AB→BB1→…,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中i∈N*).设黑白二蚁走完第2022段后,各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是( )A.1 B. C. D.0【解析】 由已知与图可知,白蚁“走完六段”后,又回到A点,故走完2022段后,停留的点为C点,同理,黑蚁最后停留的点为D1点,所以此时黑白蚁的距离为CD1=.6\n【答案】 B6.如图7311,正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是( )图7311A.B.C.D.2【解析】 如图,取AC中点G,连FG,EG,则FG∥C1C,FG=C1C;EG∥BC,EG=BC,故∠EFG即为EF与C1C所成的角,在Rt△EFG中,cos∠EFG===.【答案】 B二、填空题7.平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面.【解析】 设这四个点分别为A,B,C,D,若点D在点A,B,C所确定的平面内,则此时A,B,C,D四点共面;若点D不在点A,B,C所确定的平面内,则这四点能确定4个平面,综上所述,这四点能确定1个或4个平面.【答案】 1或48.如图7312为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为________对.图7312【解析】 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH6\n在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.【答案】 39.如图7313所示,正方体的棱长为1,B′C∩BC′=O,则AO与A′C′所成角的度数为________.图7313【解析】 ∵A′C′∥AC,∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB,AB⊥平面BB′CC′,∴OC⊥AB.又AB∩BO=B,∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.在Rt△AOC中,OC=,AC=,sin∠OAC==,∴∠OAC=30°,即AO与A′C′所成角的度数为30°.【答案】 30°三、解答题10.如图7314所示,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成角的余弦值.图7314【解】 取AC中点F,连EF,BF,则EF∥DC,∴∠BEF即为异面直线BE与CD所成的角(或其补角).∵DA=1,BC=,AB=AC.∴DC=,6\n∴EF=.在△BEF中,BE=BF==,由余弦定理得cos∠BEF===,∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.11.(2022·许昌调研)如图7315所示,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊AD,BE綊FA,G,H分别为FA,FD的中点.图7315(1)求证:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?【解】 (1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GH綊AD.又BC綊AD,故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点共面.理由如下:由BE綊AF,G是FA的中点知,BE綊GF,所以EF綊BG.由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC,FH共面.6\n又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.12.已知四面体ABCD的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,求a的取值范围.【解】 如图所示,AB=,CD=a,设点E为AB的中点,则ED⊥AB,EC⊥AB,则ED==,同理EC=,由构成三角形的条件知:0<a<ED+EC=,∴0<a<.6
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:55:43
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文章作者:U-336598
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