高考数学单元练习及解析解析几何章末质量检测doc高中数学
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第八章解析几何一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.(2022·天津河西期末)点P(-2,1)到直线2x+y=5的距离为( )A. B.C.D.解析:点P到直线的距离d==.答案:B2.(2022·苏州模拟)假设ab<0,那么过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.解析:kPQ==,∵ab<0,∴<0,即k<0,∴直线PQ的倾斜角的取值范围是.答案:B3.假设双曲线-y2=1的一个焦点为(2,0),那么它的离心率为( )A.B.C.D.2解析:由题意知a2+1=4,∴a=,∴e===.答案:C4.(2022·厦门质检)直角坐标平面内过点P(2,1)且与圆x2+y2=4相切的直线( )A.有两条B.有且仅有一条C.不存在D.不能确定解析:∵22+12>4,∴点P在圆外,故过点P与圆相切的直线有两条.答案:A5.直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )A.-x+2y-4=0B.x+2y-4=0C.-x+2y+4=0D.x+2y+4=08/8\n解析:由题意知,两直线垂直,且已知直线过点(0,-2),所求直线斜率为-,∴所求直线方程为y+2=-x,即x+2y+4=0.答案:D6.(2022·广州调研)已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,假设=,那么点P的轨迹方程为( )A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+4解析:设点P(x,y),R(x1,y1),∵=,∴(1-x1,-y1)=(x-1,y),∴即又点R在直线l上,∴-y=2(2-x)-4,即2x-y=0为所求.答案:B7.过点(0,1)的直线与x2+y2=4相交于A、B两点,那么|AB|的最小值为( )A.2B.2C.3D.2解析:当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时,|AB|最小值为2.答案:B8.如右图,F1和F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,那么双曲线的离心率为( )A.B.C.D.1+解析:连结AF1,那么∠F1AF2=90°,∠AF2B=60°,∴|AF1|=|F1F2|=c,|AF2|=|F1F2|=c,∴c-c=2a,∴e===1+.答案:D9.(2022·海淀模拟)假设直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,那么直线l2恒过定点( )A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)8/8\n解析:直线l1恒过定点(4,0),点(4,0)关于点(2,1)对称的点为(0,2),由题意知l2恒过点(0,2).答案:B10.抛物线y2=2px(p>0)的准线经过等轴双曲线x2-y2=1的左焦点,那么p=( )A.B.C.2D.4解析:双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线的准线为x=-,∴=,p=2.答案:C11.假设直线ax+by+1=0(a、b>0)过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心,那么+的最小值为( )A.8B.12C.16D.20解析:由题意知,圆心坐标为(-4,-1),由于直线过圆心,所以4a+b=1,从而+=(+)(4a+b)=8++≥8+2×4=16(当且仅当b=4a时取“=”).答案:C12.(2022·诸城模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如以下图),交其准线于点C,假设|BC|=2|BF|,且|AF|=3,那么此抛物线的方程为( )A.y2=9x B.y2=6xC.y2=3x D.y2=x解析:点F到抛物线准线的距离为p,又由|BC|=2|BF|得点B到准线的距离为|BF|,那么=,∴l与准线夹角为30°,那么直线l的倾斜角为60°.由|AF|=3,如图连结AH⊥HC,EF⊥AH,那么AE=3-p,那么cos60°=,故p=.∴抛物线方程为y2=3x.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)13.(2022·杭州模拟)直线x+2y-2=0经过椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,那么该椭圆的离心率等于________.8/8\n解析:直线过点(2,0)和(0,1),即为椭圆的一个焦点和一个顶点,又a>b>0,∴焦点在x轴上,∴c=2,b=1,a==,∴e=.答案:14.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,那么直线x·sinA+ay+c=0与bx-y·sinB+sinC=0的位置关系是________.解析:在△ABC中,由正弦定理得=,∴asinB-bsinA=0,∴两直线垂直.答案:垂直15.(2022·全国卷Ⅱ)已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),那么过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.解析:依题意过A(1,2)作圆x2+y2=5的切线方程为x+2y=5,在x轴上的截距为5,在y轴上的截距为,切线与坐标轴围成的面积S=··5=.答案:16.(2022·湖南高考)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A,B.假设∠AOB=120°(O是坐标原点),那么双曲线C的离心率为________.解析:∵∠AOB=120°,∴∠AOF=60°.在Rt△OAF中,|OA|=a,|OF|=c,∴e====2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共74分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题总分值12分)已知A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线x+y-7=0及x+y-5=0上,求AB中点M到原点距离的最小值.解:设AB中点为(x0,y0),∴又∵∴(x1+x2)+(y1+y2)=12,∴2x0+2y0=12,∴x0+y0=6.8/8\n∴原点到x0+y0=6距离为所求,即d==3.18.(本小题总分值12分)在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)圆O与x轴相交点A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求·的取值范围.解:(1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.得圆O的方程为x2+y2=4.(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由x2=4即得A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,得·=x2+y2,即x2-y2=2.·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).由于点P在圆O内,故由此得y2<1.所以·的取值范围为[-2,0).19.(本小题总分值12分)已知点(x,y)在曲线C上,将此点的纵坐标变为原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程x2+y2=8;定点M(2,1),平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),直线l与曲线C交于A,B两个不同点.(1)求曲线C的方程;(2)求m的取值范围.解:(1)在曲线C上任取一个动点P(x,y),那么点(x,2y)在圆x2+y2=8上.所以有x2+(2y)2=8.整理得曲线C的方程为+=1.(2)∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m,又kOM=,∴直线l的方程为y=x+m.由得x2+2mx+2m2-4=0∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点,8/8\n∴Δ=(2m)2-4(2m2-4)>0,解得-2<m<2且m≠0.∴m的取值范围是-2<m<0或0<m<2.20.(本小题总分值12分)(2022·诸城模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆过圆C:x2+y2-4x+2y=0的圆心C.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程.解:(1)圆C的方程化为:(x-2)2+(y+)2=6.圆心C(2,-),半径r=.设椭圆的方程为+=1(a>b>0).那么⇒,所以所求椭圆的方程是+=1.(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),|F2C|==<r=,F2在圆C内,故过F2没有圆C的切线,设l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.点C(2,-)到直线l的距离为d=,由d=,即=,化简得5k2+4k-2=0,解得k=或k=-,故l的方程为x-5y+2=0或x+y+2=0.21.(本小题总分值12分)椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2),离心率e=.(1)求椭圆的方程;(2)直线l:y=kx-2(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N,且满足=,·=0,求直线l的方程.解:(1)设c=,依题意得即8/8\n∴a2=3b2=12,即椭圆方程为+=1.(2)∵=,·=0,∴AP⊥MN,且点P是线段MN的中点,由消去y得x2+3(kx-2)2=12,即(1+3k2)x2-12kx=0,(*)由k≠0,得方程(*)中Δ=(-12k)2=144k2>0,显然方程(*)有两个不相等的实数根.设M(x1,y1)、N(x2,y2),线段MN的中点P(x0,y0),那么x1+x2=,∴x0==.∴y0=kx0-2==,即P.∵k≠0,∴直线AP的斜率为k1==.由MN⊥AP,得·k=-1,∴2+2+6k2=6,解得k=±,故直线方程为y=±x-2.22.(本小题总分值14分)抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=.(1)求抛物线的方程;(2)在x轴上是否存在一点C,使△ABC为正三角形?假设存在,求出C点的坐标;假设不存在,请说明理由.解:(1)设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),由消去y,得x2-2(1+p)x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=2(1+p),x1·x2=1.8/8\n∵|AB|=,∴=,∴121p2+242p-48=0.∴p=或-(舍).∴抛物线的方程为y2=x.(2)设AB的中点为D,那么D(,-).假设x轴上存在满足条件的点C(x0,0),∵△ABC为正三角形,∴CD⊥AB,∴kCD=1,∴x0=.∴C(,0),∴|CD|=.又∵|CD|=|AB|=,故矛盾,∴x轴上不存在点C,使△ABC为正三角形.8/8
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