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2023高考数学二轮复习专题练高考模拟卷一含解析202303112162
2023高考数学二轮复习专题练高考模拟卷一含解析202303112162
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高考模拟卷(一)(时间:120分钟 满分:150分)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|3x<x+4},B={x|x2-8x+7<0},则A∩B=( )A.(-1,2)B.(2,7)C.(2,+∞)D.(1,2)解析 由题意知,A={x|x<2},B={x|1<x<7},则A∩B={x|1<x<2}.故选D.答案 D2.若i为虚数单位,网格纸上的小正方形的边长为1,图中复平面内的点Z表示复数z,则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H解析 由题意知z=-1+i,所以===i(-1-i)=1-i,在复平面内的对应点为G.故选C.答案 C3.《九章算术》中,将如图所示的几何体称为刍寰,底面ABCD为矩形,且EF∥底面ABCD,EF到平面ABCD的距离为h,BC=a,AB=b,EF=c,则=2时,=( )A.B.C.D.1解析 因为=2,所以VB-CDEF=2VE-ABD,又VB-CDEF=VB-EFD+VB-CFD,且VE-ABD=\nVB-CFD,∴VB-EFD=VB-CFD,∴S△EFD=S△CFD,∴EF=CD,b=c.故选D.答案 D4.自2019年12月以来,在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例,研究表明,该新型冠状病毒具有很强的传染性.各级政府迅速反应,采取了有效的防控阻击措施,把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记,有3个不同的住户属于在鄂返乡住户,负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生,现要求这4名医生都要分配出去,且每个住户家里都要有医生去检查登记,则不同的分配方案共有( )A.12种B.24种C.36种D.72种解析 先将医生分为三组,再进行排列,则不同的分配方案总数为CA=36(种).故选C.答案 C5.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优).根据测验情况绘制了如图的六大素养指标雷达图,则下列叙述正确的是( )A.乙的数据分析素养优于甲B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数据分析素养最差解析 由雷达图得到如下数据:数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由上表可知应选C.答案 C6.已知A(1,1),B(0,1),C(1,0),M为线段BC上一点,且=λ,若·≥·\n,则实数λ的取值范围是( )A.B.C.D.解析 设点M(x,y),由=λ,得(x-1,y)=λ(-1,1),所以 ①.因为·≥·,所以(1-x,1-y)·(1,-1)≥(-x,1-y)·(1-x,-y),所以1-x-1+y≥-x+x2-y+y2,化简得x2+y2-2y≤0 ②.将①代入②,得(1-λ)2+λ2-2λ≤0,即2λ2-4λ+1≤0,解得1-≤λ≤1+.因为M为线段BC上一点,且=λ,所以0≤λ≤1.综上,可知1-≤λ≤1.故实数λ的取值范围是.答案 C7.已知函数f(x)=x2+sin,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是( )解析 f(x)=+sin=+cosx.所以f′(x)=-sinx是奇函数,排除B,D.令h(x)=-sinx,得h′(x)=-cosx;当x∈时,cosx>,所以h′(x)<0,故函数y=f′(x)在区间上是减函数,A项正确.答案 A8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P,且|PF1|-|PF2|=2b.设C的离心率为e,则e2=( )\nA.B.C.D.解析 由题意知F1(-c,0),F2(c,0),以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,过第一象限的渐近线方程为y=x,联立得解得所以P(a,b).因为|PF1|-|PF2|=2b,所以-=2b,结合b2=c2-a2,整理得c4-a2c2-a4=0,所以e4-e2-1=0,所以e2=.因为e>1,所以e2=.答案 B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知双曲线C:x2-=1,则( )A.双曲线C的离心率等于半焦距的长B.双曲线y2-=1与双曲线C有相同的渐近线C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为2D.直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2解析 双曲线C:x2-=1的焦点在x轴上,且a=1,b=2,c=,渐近线方程为y=±2x.对于A,双曲线C的离心率为=,故A正确;对于B,双曲线y2-=1的渐近线方程为y=±x,与双曲线C的渐近线不相同,故B错误;对于C,双曲线C的焦点到渐近线的距离为d=2,故C正确;对于D,直线y=kx+b与双曲线C的公共点个数可能为0,1,2,故D正确.故选ACD.答案 ACD10.将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列结论正确的是( )A.g=1B.g(x)在上单调递减\nC.直线x=-是g(x)的图象的一条对称轴D.是g(x)图象的一个对称中心解析 由题意可得g(x)=sin=sin.对于A,因为g=sin=sin=1,故A正确;对于B,当x∈时,2x-∈,所以g(x)在上单调递减,故B正确;对于C,法一 当x=-时,2x-=-,所以直线x=-是g(x)图象的一条对称轴,故C正确;法二 令2x-=+kx(k∈Z),则x=+(k∈Z),当k=-1时,x=-,所以直线x=-是g(x)图象的一条对称轴,故C正确;对于D,法一 当x=时,2x-=-,故不是g(x)图象的一个对称中心,故D错误.故选ABC.法二 令2x-=kπ(k∈Z),则x=+(k∈Z),则g(x)图象的对称中心为(k∈Z),故不是g(x)图象的一个对称中心,故D错误.故选ABC.答案 ABC11.已知a,b为实数,且ab≠0,则下列命题正确的是( )A.若a>0,b>0,则a+b≥2B.若a+b≥2,则a>0,b>0C.若a≠b,则a+b>2D.若a+b>2,则a≠b解析 对于A,由基本不等式可知,若a>0,b>0,则≥,故A正确;对于B,由有意义可得a,b不可能异号,结合≥可得a,b不会同为负值,故可得a>0,b>0,故正确;对于C,若a=-1,b=2,则2无意义,故错误;对于D,由a+b>2平方可得(a-b)2>0,显然可得a≠b,故正确.故选ABD.答案 ABD12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则下列结论正确的是( )\nA.为等比数列B.{an}的通项公式为an=C.{an}为递增数列D.的前n项和Tn=2n+2-3n-4解析 因为==+3,所以+3=2,又+3=4≠0,所以是以4为首项,2为公比的等比数列,故A正确;+3=4×2n-1,所以an=,故B正确;由选项B可知{an}为递减数列,故C错误;的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2×(21+22+…+2n)-3n=2×-3n=2n+2-3n-4,故D正确.故选ABD.答案 ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.抛物线y2=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为________.解析 ∵抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),∴抛物线上的点到焦点的距离为1的点只有原点,共1个.答案 114.已知3cos2α=4sin,α∈,则sin2α=________.解析 由题意知3(cos2α-sin2α)=2(cosα-sinα).由于α∈,因而cosα≠sinα,则3(cosα+sinα)=2,故9(1+sin2α)=8,sin2α=-.答案 -15.随机变量X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则P(X=1)=________;若Y=2X,则D(Y)=________.(本小题第一空2分,第二空3分)解析 设P(X=1)=x,则P(X=2)=0.8-x,0<x<0.8.∴E(X)=0×0.2+x+2(0.8-x)=1.6-x,D(X)=(x-1.6)2×0.2+(x-0.6)2x+(x+0.4)2(0.8-x)=0.4.整理,得x2-0.2x-0.24=0,解得x=0.6或x=-0.4(舍去).∴P(X=1)=0.6.由题意易得,D(Y)=D(2X)=4D(X)=1.6.答案 0.6 1.6\n16.在矩形ABCD中,BC=4,M为BC的中点,将△ABM和△DCM分别沿AM,DM翻折,使点B与点C重合于点P,若∠APD=150°,则三棱锥M-PAD的外接球的表面积为________.解析 由题意可知,MP⊥PA,MP⊥PD.因为PA∩PD=P,PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,所以MP⊥平面PAD.设△ADP的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得=2r,即=2r,所以r=4.设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R,则R2=+r2=1+16=17.所以外接球的表面积为4πR2=68π.答案 68π四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)在条件①2cosA(bcosC+ccosB)=a,②csin=asinC,③(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题解答.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=,b-c=2,________.求BC边上的高.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)解 若选①.由题设及正弦定理得2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=sinA,即2cosAsin(B+C)=sinA.因为B+C=π-A,所以2cosAsinA=sinA,又因为sinA≠0,所以cosA=.因为0<A<π,所以A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-bc=7,联立化简得c2+2c-3=0.所以c=-3(舍去)或c=1.所以b=3.设BC边上的高为h,所以bcsinA=ah,所以h=.若选②.由题设及正弦定理得sinCsin=sinAsinC,因为sinC≠0,所以sin=sinA,由A+B+C=π,可得sin=cos,\n故cos=2sincos.因为cos≠0,所以sin=,因为0<A<π,所以A=.下同选①.若选③.由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.所以由余弦定理得cosA==.又因为0<A<π,所以A=.下同选①.18.(本小题满分12分)记数列{an}的前n项和为Sn,已知2n,an,2Sn-an成等差数列(n∈N*).(1)证明:数列{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)记bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn.(1)证明 由2n,an,2Sn-an成等差数列,得2an=2n+2Sn-an,即3an=2n+2Sn.①所以当n=1时,3a1=2+2a1,所以a1=2.又由①得3an+1=2(n+1)+2Sn+1,②所以②-①得3an+1-3an=2+2an+1,即an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1).当n=1时,a1+1=3,则=3.所以数列{an+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以数列{an+1}的通项公式为an+1=3n,所以an=3n-1.(2)解 由(1)得bn==,所以Tn=b1+b2+…+bn===-.\n19.(本小题满分12分)某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,于2019年元旦期间90位游客的购买情况进行统计,得到如下人数分布表.购买金额/元[0,15)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90]人数101520152010(1)根据以上数据完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计(2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案:购买金额不少于60元可抽奖3次,每次中奖的概率为p(每次抽奖互不影响,且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望.附参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.附表:P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879解 (1)2×2列联表如下:不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090K2==≈5.83>3.841,因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)X的所有可能取值为65,70,75,80,且p==.\nP(X=65)=C=,P(X=70)=C×=,P(X=75)=C××=,P(X=80)=C=,X的分布列为X65707580PE(X)=65×+70×+75×+80×=75.20.(本小题满分12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.(1)证明 连接A1E.因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以A1E⊥平面ABC.如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.\n不妨设AC=4,则A1(0,0,2),B(,1,0),B1(,3,2),F,C(0,2,0).因此,=,=(-,1,0).由·=0,得EF⊥BC.(2)解 设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得=(-,1,0),=(0,2,-2).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).由得取n=(1,,1),故sinθ=|cos〈,n〉|==,又θ∈,所以cosθ=.因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.21.(本小题满分12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.解 (1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.\n当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=.所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=elnx-ax(x∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=e时,证明:xf(x)-ex+2ex≤0.(1)解 f′(x)=-a(x>0),①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;②若a>0,则当0<x<时,f′(x)>0;当x>时,f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)证明 法一 因为x>0,所以只需证f(x)≤-2e,当a=e时,由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(x)极大值=f(1)=-e.记g(x)=-2e(x>0),则g′(x)=,所以当0<x<1时,g′(x)<0,当x>1时,g′(x)>0,故g(x)在(0,1)上单调递减;在(1,+∞)上单调递增.所以g(x)min=g(1)=-e.\n综上,当x>0时,f(x)≤g(x),即f(x)≤-2e,即xf(x)-ex+2ex≤0.法二 由题意知,即证exlnx-ex2-ex+2ex≤0,从而等价于lnx-x+2≤.设函数g(x)=lnx-x+2,则g′(x)=-1.所以当x∈(0,1)时,g′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,故g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而g(x)在(0,+∞)上的最大值为g(1)=1.设函数h(x)=,则h′(x)=.所以当x∈(0,1)时,h′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,故h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,从而h(x)在(0,+∞)上的最小值为h(1)=1.综上,当x>0时,g(x)≤h(x),即xf(x)-ex+2ex≤0.
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