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全国卷Ⅲ2023年高考数学压轴卷理含解析202305150228
全国卷Ⅲ2023年高考数学压轴卷理含解析202305150228
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(全国卷Ⅲ)2021年高考数学压轴卷理(含解析)第I卷(选择题)一.选择题:本大题12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的1.已知集合,,则()A.B.C.D.2.已知,则“”的一个充分而不必要条件是()A.B.C.D.3.已知复数为纯虚数,则()A.2B.4C.-16D.-44.若实数,满足约束条件,则的最小值为()A.B.1C.D.5.下列函数中,是偶函数且值域为的是()A.B.C.D.6.数列是各项均为正数的等比数列,是与的等差中项,则的公比等于()A.2B.C.3D.7.下列结论正确的是()A.若,则B.若,则C.若,,则D.若,,,则\n8.祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等,此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行且相距为的平面截该几何体,则截面面积为()A.B.C.D.9.已知向量,满足,,若,且,则的最大值为()A.3B.2C.D.10.的展开式中的系数为()A.B.C.120D.20011.如图,已知双曲线的左、右焦点分别为,,过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点,若的内切圆半径为,则双曲线的离心率为()\nA.B.C.D.12.已知函数有两个零点,且存在唯一的整数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13.已知等差数列的前项和为,,,则______.14.在中,,,是上的点,平分,若,则的面积为__________.15.已知圆的圆心坐标是,若直线与圆相切于点,则圆C的标准方程为___________.16.在四棱锥中,,,,,则三棱锥外接球的表面积为______.三、解答题(共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题,每个试题都必须作答.第22、23题为选做题,考生按要求作答)(一)必做题\n17.已知公差不为0的等差数列满足,且,,成等比数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前项和.18.某省食品药品监管局对16个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估,满分为10分,大部分大学食堂的评分在7~10分之间,以下表格记录了它们的评分情况:分数段[0,7)[7,8)[8,9)[9,10]食堂个数1384(1)现从16个大学食堂中随机抽取3个,求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率;(2)以这16个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况,若从全国的大学食堂中任选3个,记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数,求X的分布列及数学期望.19.如图,四棱锥中,底面是矩形,,,且侧面底面,侧面底面,点是的中点,动点在边上移动,且.(1)证明:底面;(2)当点在边上移动,使二面角为时,求二面角的余弦值.\n20.已知椭圆的短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上一点,且在第一象限内,过P作直线与交y轴正半轴于A点,交x轴负半轴于B点,与椭圆C的另一个交点为E,且,点Q是P关于x轴的对称点,直线与椭圆C的另一个交点为.(ⅰ)证明:直线,的斜率之比为定值;(ⅱ)求直线的斜率的最小值.21.已知函数.(1)求函数在的最大值;(2)证明:函数在有两个极值点,并判断与的大小关系.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中,曲线的方程为(为参数),直线的方程为.以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线和直线的极坐标方程;(2)已知射线的极坐标方程是,且与曲线和直线在第一条限的交点分别为,求的长.23.已知函数,.(1)求函数的图象与直线围成区域的面积;(2)若对于,,且时,不等式恒成立,求实数的取值范围.2021新课标Ⅲ高考压轴卷数学(理)参考答案\n1.【答案】B【解析】因为集合,,所以.故选:B2.【答案】D【解析】因为由推不出,由也推不出,故A不满足题意因为,,所以B、C不满足题意因为由可以推出,由推不出所以是的充分不必要条件故选:D3.【答案】B【解析】因为为纯虚数,所以,,解得.故选:B.4.【答案】C【解析】如图1,作出平面区域可知:的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方加1,所以最近的距离为到直线的距离,所以的最小值为,故选:C.\n5.【答案】D【解析】解:对于A:,为偶函数,但值域为,故A不正确;对于B:定义域不对称,为非奇非偶函数函数,故B不正确;对于C:定义域不对称,为非奇非偶函数函数,故C不正确;对于D:为偶函数,且值域为,故D正确;故选:D.6.【答案】A【解析】因为是与的等差中项,所以,所以,又因为,所以,所以或,又因为,所以,所以,故选:A.7.【答案】B【解析】法一:对A,当或时,,A错误;对B,由,得,由是增函数,得,B正确;对C,,,又,两边同除以得,,C错误;\n对D,由,,,得,所以,D错误.法二:特殊值排除法,若取,则,A错误;若取,,,则,C错误;若取,则,D错误.故选:B.【点睛】(1)解决比较大小类题目常用方法有:不等式性质直接应用、作差(商)比较法、函数单调性法、中间量法、等价转化法等.(2)几个常用不等式结论:;;若,,则;若,,则(真分数不等式性质);若,,则.8.【答案】D【解析】由题意可知,该几何体为底面半径为2,高为2的圆柱,从上面挖去一个半径为2,高为2的圆锥,所剩下的部分,如图所示:所以截面为环形,外圆的半径为2,内圆的半径为h,所以面积为:故选:D9.【答案】D\n【解析】如图:令,,则,故.因为,所以,记的中点为,所以点在以为直径的圆上.设,连接,因为,所以点在直线上.因为,所以,即,所以.结合图形可知,当时,即取得最大值,且.故选:D【点睛】思路点睛:向量中有关最值的求解思路:一是形化,利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题;二是数化,利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.10.【答案】A【解析】展开式的通项公式为,当时,,此时只需乘以第一个因式中的即可,得到;当时,,此时只需乘以第一个因式中的即可,得到;据此可得:的系数为.故选:A.【点睛】\n关键点点睛:本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题,解题的关键是写出的通项,再分类讨论的值,确定的系数,考查学生的分类讨论思想与运算能力,属于中档题.11.【答案】A【解析】设双曲线的左、右焦点分别为,,设双曲线的一条渐近线方程为,可得直线的方程为,与双曲线联立,可得,,设,,由三角形的等面积法可得,化简可得,①由双曲线的定义可得,②在三角形中,为直线的倾斜角),由,,可得,可得,③由①②③化简可得,即为,可得,则.故选:C.【点睛】\n本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解,考查方程思想的运用及三角形等面积法.双曲线上一点与两焦点构成的三角形,称为双曲线的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||=2a,得到a,c的关系.12.【答案】B【解析】由题意,得,设,求导令,解得当时,,单调递增;当时,,单调递减;故当时,函数取得极大值,且又时,;当时,,故;作出函数大致图像,如图所示:又,因为存在唯一的整数,使得与的图象有两个交点,由图可知:,即故选:B.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;\n(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.13.【答案】7【解析】设等差数列的公差为,因为,,所以,解得:,,所以.故答案为:14.【答案】【分析】由正弦定理可得、,即有,而,可得,结合余弦定理求,再应用三角形面积公式求的面积即可.【详解】∴由正弦定理,,,即,,而,∴,\n∵,即,,∴,即,又由余弦定理知:,∴,即,令,∴,即(舍去),∴.故答案为:.【点睛】关键点点睛:应用正余弦定理,列方程求,根据三角形面积公式求面积.15.【答案】【解析】因为圆心坐标为,直线与圆相切于点根据圆心和切点的连线与直线垂直,所以,解得,根据两点间的距离公式,可得圆的半径故圆的标准方程为.故答案为:16.【答案】【解析】如图所示,取的中点,连接,,并连接交于,连接.因为,,所以四边形和四边形均为平行四边形,所以,故,\n所以为外接圆的圆心且,则,,,因为,所以,所以.因为,,所以,所以,因为,所以平面设三棱锥外接球的球心为,连接,,,则平面,则.过点作于点,则,故四边形为矩形,故,.设,外接球的半径为,则,又,则,解得,所以,所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为:【点睛】方法点睛:求外接球半径的常用方法:(1)补形法:侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;(2)利用球的性质:几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径;(3)定义法:到各个顶点距离均相等的点为球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.\n17.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,由,,成等比数列,可得,即,解得或(舍),所以数列的通项公式.(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以,可得,两式相减得所以.【点睛】错位相减法求解数列的前项和的分法:(1)适用条件:若数列为等差数列,数列为等比数列,求解数列的前项和;(2)注意事项:①在写出和的表达式时,应注意将两式“错位对齐”,以便下一步准确写出;②作差后,应注意减式中所剩各项的符号要变号;③作差后,作差部分应用为的等比数列求和.18.【答案】(1);(2)分布列答案见解析,数学期望【解析】(1)设表示“所抽取的3个大学食堂中有i个大学食堂评分不低于9分”,“至多有1个大学食堂评分不低于9分”记为事件,则.\n(2)由表格数据知,从这16个大学食堂中任选1个,评分不低于9分的概率为.由题意知可取的值为,则,,,.所以的分布列为:X0123P所以,数学期望.19.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:侧面底面,且侧面底面,,平面,,同理侧面底面,且侧面底面,,平面,,底面.(2)底面,点是的中点,且,.侧面,且,侧面,,侧面,为二面角所成的角,当时,,,,三线两两垂直,分别以,,为、、轴建立空间直角坐标系,如图所示,\n,,,,,,,设平面的法向量为,则,得,令,得,则,设平面的法向量为,由,得,令,得,,设二面角为,则.【点睛】本题考查了面面垂直的性质、线面垂直的证明,以及求二面角的余弦值,解题的关键点是建立空间直角坐标系,利用数量积公式,考查了学生的空间想象力和计算能力.20.【答案】(1);(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ).\n【解析】解:(1)由题意得解得所以椭圆的方程为.(2)(i)设点的坐标为,因为点是关于轴的对称点,,所以,.所以直线的斜率为,的斜率为.所以.所以直线,的斜率之比为定值.(ii)设直线的方程为.联立方程组化简得.设点的坐标是,所以.所以.所以.所以点的坐标是.由(2)可知,直线的方程是.所以点的坐标是.\n所以直线的斜率.因为,所以.当且仅当,即时,有最小值.所以直线的斜率的最小值是.【点睛】思路点睛:直线与椭圆的位置关系有设而不求和设而要求两种思路,当已知直线和椭圆的一个交点求另一个交点时用设而要求的方法,联立直线和椭圆,用韦达定理解出另一根.21.【答案】(1);(2)证明见解析;.【解析】解:(1)当时,,则,故在上单调递增,又,所以在有唯一的零点t.当时,;当时,.故在上单调递减,在上单调递增,且,,所以在的最大值为.(2),①当时,均单调递增,所以单调递增,又,\n所以在有唯一的零点,此时当时,;时,,所以是极小值点,不妨让.②当时,,单调递增,所以;故在上单调递增,没有极值点;③当,.由(1)知,在上单调递减,在上单调递增,且,故有唯一的零点,则时,,即单调递减;时,,即单调递增,又,所以在有唯一的零点,此时时,;时,,所以是极大值点,即,所以在有两个极值点,其中,,\n且,由于,所以.因为,,且在上单调递减,所以,即.(判断极值点的时候,也对.)【点睛】思路点睛:利用导数求解函数最值的思路:(1)若所给的闭区间不含参数,则只需对求导,并求在区间内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值;(2)若所给的区间含有参数,则需对求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数的最值.22.【答案】(1),;(2).【解析】(1)曲线的普通方程为:,化为极坐标方程为:,即:,直线的极坐标方程为:,即.(2)设点,则有,解得:,\n即,设点,则有,解得:,即,.23.【答案】(1);(2).【解析】(1)由与围成的区域是,如图所示,其中,,,所以,到直线的距离为3,故所求面积为.(2)因为,,且,\n所以,即,若不等式恒成立,则有,即,解不等式,可得或或,解之得或,所以实数的取值范围为.【点睛】结论点睛:本题考查不等式的恒成立与有解问题,可按如下规则转化:①若在上恒成立,则;②若在上恒成立,则;③若在上有解,则;④若在上有解,则.
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高考 - 二轮专题
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