山东省高考数学第二轮复习 专题升级训练26 解答题专项训练(解析几何)专题升级训练卷(附答案) 文

专题升级训练26　解答题专项训练(解析几何)1．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0有公共点．(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？2．已知⊙C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A，B；(2)求弦AB中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？3．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程．4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．5．已知两点A，B分别在直线y＝x和y＝－x上运动，且|AB|＝，动点P满足2＝＋(O为坐标原点)，点P的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，求证：·为定值．6．若λ＞0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足＝λ，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足＝λ，求点P的轨迹方程．7．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．8．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．-5-\n参考答案1．解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)，所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以斜率k的取值范围是.(2)不能．由(1)知直线l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝.由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧．2．解：(1)圆心C(0,1)，半径r＝，则圆心到直线l的距离d＝＜1，∴d＜r.∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B.(2)设中点M(x，y)，因为l：m(x－1)－(y－1)＝0恒过定点(1,1)，∴kAB＝，又kMC＝，kABkMC＝－1，∴·＝－1，整理得：x2＋y2－x－2y＋1＝0，即，表示圆心坐标是，半径是的圆．3．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；函数f(x)＝x2＋2x＋b与坐标轴有三个交点，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.4．解：(1)由题意可知：c＝1，a2＝b2＋c2，e＝＝，解得a＝，b＝1.-5-\n故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，联立，得整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，则x1＋x2＝，x0＝，y0＝，垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．令y＝0，得x＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.∵k≠0，∴－＜x＜0.∴点G横坐标的取值范围为.5．解：(1)方法一：设P(x，y)，A(x1，x1)，B(x2，－x2)．∵2＝＋，∴P是线段AB的中点，∴∵|AB|＝，∴(x1－x2)2＋(x1＋x2)2＝，∴(2y)2＋(2x)2＝.∴化简得点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝.方法二：∵2＝＋，∴P为线段AB的中点．∵A，B分别在直线y＝x和y＝－x上，∴∠AOB＝90°.又|AB|＝，∴|OP|＝.∴点P在以原点为圆心，为半径的圆上．∴点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝.(2)证明：当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，∵l与C相切，∴＝，∴m2＝(1＋k2)．联立∴设M(x1，y1)，N(x2，y2)，-5-\n则x1x2＝，y1y2＝.∴·＝x1x2＋y1y2＝.又m2＝(1＋k2)，∴·＝0，当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝±，代入椭圆方程得M，N或M，N，此时，·＝－＝0.综上所述，·为定值0.6．解：由＝λ知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)．即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由＝λ，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，解得②将①式代入②式，消去y0，得③又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x，再将③式代入y1＝x，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2.(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2.2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因为λ＞0，两边同时除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.7．解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意得－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|，当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0.所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝||·||＋||·||-5-\n＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4≥8＋4×2＝16，故当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.8．解：(1)设C的圆心的坐标为(x，y)，由题设条件知|－|＝4，化简得L的方程为－y2＝1.(2)过M，F的直线l的方程为y＝－2(x－)，将其代入L的方程得15x2－32x＋84＝0，解得x1＝，x2＝，所以l与L的交点坐标为T1，T2.因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故当P处于T1时，||MP|－|FP||＝||MT1|－|FT1||＝|MF|＝2，当P处于T2时，||MP|－|FP||＝||MT2|－|FT2||＜|MF|＝2，若P不在直线MF上，在△MFP中有||MP|－|FP||＜|MF|＝2.故||MP|－|FP||只在T1点处取得最大值，即||MP|－|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为.高考资源网-5-