2022年中考数学试题分类汇编知识点25图形的平移旋转与轴对称
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知识点25图形的平移、旋转与轴对称一、选择题1.(2022四川绵阳,7,3分)在平面直角坐标系中,以原点为对称中心,把点A(3,4)逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为A.(4,-3)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-3,-4)【答案】B.【解析】解:如图:∴点B的坐标为(-4,3).故选B.【知识点】图形的旋转2.(2022四川绵阳,5,3分)下列图形是中心对称图形的是ABCD【答案】D.【解析】解:A选项,不是中心对称图形,故此选项错误;B选项,不是中心对称图形,故此选项错误;C选项,不是中心对称图形,故此选项错误;D选项,是中心对称图形,故此选项正确.故选D.【知识点】中心对称图形62\n3.(2022四川内江,11,3)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为()A.31°B.28°C.62°D.56°【答案】D【思路分析】因为∠DFE=∠ADB+∠EBD,要求∠DFE的值,则需分别求∠ADB、∠EBD,而由矩形对边平行,及轴对称的性质可知∠EBD=∠CBD=∠ADB,利用∠ADB与∠BDC互余,即可出∠DFE的度数.【解析】解:∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADC=90°,∵∠BDC=62°,∴∠ADB=90°-62°=28°,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,根据题意可知∠EBD=∠CBD,∴∠ADB=∠EBD=28°,∴∠DFE=∠ADB+∠EBD=56°.故选择D.【知识点】矩形性质,等腰三角形性质,平行线性质4.(2022山东滨州,11,3分)如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是()A.B.C.6D.3第11题图【答案】D【解析】分别以OA、OB为对称轴作点P的对称点P1,P2,连接点P1,P2,分别交射线OA、OB于点M、N则此时△PMN的周长有最小值,△PMN周长等于=PM+PN+MN=P1N+P2N+MN,根据对称的性质可知,OP1=OP2=OP=,∠P1OP2=120°,∠OP1M=30°,过点O作MN的垂线段,垂足为Q,在△OP1Q中,可知P1Q=,所以P1P2=2P1Q=3,故△PMN的周长最小值为3.62\n第11题答图【知识点】轴对称的性质、两点之间线段最短、直角三角形(有一个角为30°)的性质。5.(2022浙江金华丽水,9,3分)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC的度数是().A.55°B.60°C.65°D.70°第9题图【答案】C.【解析】将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC,则∠ECD=∠ACB=20°,∠ACE=90°,EC=AC,∴∠E=45°,∴∠ADC=65°.故选D.【知识点】图形的旋转6.(2022浙江衢州,第8题,3分)如图,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处,若∠AGE=32°,则∠GHC等于()第8题图62\nA.112°B.110°C.108°D.106°【答案】D【解析】本题考查了翻折变换(折叠问题);矩形的性质、平行线性质等知识点.根据折叠前后角相等可知∠DGH=∠EGH,∵∠AGE=32°,∴∠EGH=74°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AGH=∠GHC=∠EGH+∠AGE,∴∠GHC=106°,故选:D.【知识点】翻折变换(折叠问题);矩形的性质、平行线性质;7.(2022甘肃白银,8,3)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置。若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为()A.5B.C.7D.【答案】D.【思路分析】由旋转性知四边形AECF的面积与正方形的面积相等,从而得到正方形的面积等于25,边长为5,于是在直角三角形ADE中由勾股定理可求出AE的长。【解题过程】∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF∴△ADE≌△ABF∴=25∴正方形的边长AD=CD=5∴在RT△ADE中,AE==.故选D【知识点】正方形的性质及面积公式,旋转的性质即旋转前后图形的形状大小相等面积相等。62\n8.(2022安徽省,10,4分)如图,直线都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1正方形ABCD的边长为,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处,将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止,记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于之间分的长度和为y,则y关于x的函数图象太致为()【答案】A【思路分析】这是一道动面问题,需要分段思考,求解关键是根据函数的表达方法(解析式法,列表法和图像法)之间的联系,先确定函数解析式,再选择图像.其中,在图形运动过程中,确定三种运动状态下的图形形态是重中之重.其中关键是确定图形变化联系瞬间的静态图形位置,从而得到分界点,然后再作动态思考,确定各种情况下的取值范围.最后求出各部分对应的函数关系式,运用函数的图像、性质分析作答.有时,直接根据各运动状态(如前后图形的对称状态带来函数图像的对称,前后图形面积的增减变化带来函数图像的递增或递减等),就能求解.【解题过程】∵正方形边长为,∴AC=BD=2.(1)如图1,当C位于之间,(2)如图2,当D位于之间,设PR=a,则SQ=1-a,DP+DQ=所以(3)如图3,当A位于之间,综上所述,y关于x的函数大致如选择支A所示。62\n【知识点】函数的图象;分段函数;分类讨论9.(2022江苏无锡,5,3分)下列图形中的五边形ABCDE都是正五边形,则这些图形中的轴对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】图中四个五边形都是轴对称图形,所以答案选D.【知识点】轴对称图形的定义10.(2022江苏无锡,10,3分)如图是一个3×3正方形方格纸的对角线AB剪下图形,一质点P由A点出发,沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度,则点P由点A运动到B点的不同路径共有()A.4条B.5条C.6条D.7条62\n【答案】B【思路分析】按照点P经过的格点确定所有符合要求的路线.【解题过程】如图所示,运动路线有:ACDFGJB;ACDFIJB;ACEFGJB;ACEFIJB;ACEHIJB,共5条.【知识点】11.(2022山东聊城,10,3分)如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使得点A落在△ABC外的一点A′出,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,那么下列式子中正确的是()A.γ=2α+βB.γ=α+2βC.γ=α+βD.γ=180°-α-β【答案】A【解析】∵将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使得点A落在△ABC外的一点A′出,折痕为DE,∴∠A′=∠A=α.如图所示,设A′D交AC于点F,62\n则∠BDA′=∠A+∠AFD=∠A+∠A′+∠AEF,∵∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA′=γ,∴γ=α+α+β=2α+β.【知识点】轴对称的性质、三角形内外角的关系12.(2022山东聊城,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的点处,则点C的对应点的坐标为()A.B.C.D.【答案】A【解析】如图所示,作M⊥x轴于点M,N⊥x轴于点M,62\n∵矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3,把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC边上的点处,∴O=OA=5,M=O=OC=3,∴OM===4.由题意得△ON∽△OM,∴,即,∴,,∴点的坐标为.【知识点】旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、比例线段、平面直角坐标系与点的坐标13.(2022四川省达州市,3,3分)下列图形中是中心对称图形的是().62\n【答案】B.【解析】在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.根据中心对称图形的定义,得图形B是中心对称图形.故选B.【知识点】中心对称图形14.(2022四川省南充市,第2题,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A.扇形B.正五边形C.菱形D.平行四边形【答案】C【解析】解:A、扇形是轴对称图形,不是中心对称图形,故A选项不符合题意;B、正五边形是轴对称图形,不是中心对称图形,故B选项不符合题意;C、菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故C选项符合题意;D、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故D选项不符合题意;故选C.【知识点】轴对称图形;中心对称图形15.(2022·重庆B卷,2,4)下列图形中,是轴对称图形的是()【答案】D.【解析】根据轴对称图形的定义,沿某条直线将图形折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形才是轴对称图形,故只有选项D满足要求,因此选D.【知识点】图形的变换轴对称图形.16.(2022湖南衡阳,3,3分)下列生态环保标志中,是中心对称图形的是()【答案】B62\n【解析】根据中心对称图形的定义:在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,对各选项分析判断可得选项B是中心对称图形.【知识点】中心对称图形17.(2022湖南长沙,5题,3分)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()【答案】A【解析】沿某条直线折叠,图形两侧部分可以重合,这种图形称为轴对称图形。绕一个定点旋转180度后的图形能和原图形重合,这种图形称为中心对称图形。由此可对各选项进行判断:A既是轴对称图形又是中心对称图形,正确;B是轴对称图形,错误;C既不是轴对称图形也不是中心对称图形,错误;D不是轴对称图形是中心对称图形,错误。【知识点】轴对称,中心对称18.(2022江苏省盐城市,2,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是().【答案】D【解析】在平面内,沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可作出判断,故选D.【知识点】轴对称图形;中心对称图形19.(2022山东青岛中考,1,3分)观察下列四个图形,中心对称图形是()62\nA.B.C.D.【答案】C【解析】选项C中图形绕着它的中心旋转180°后能与自身完全重合,是中心对称图形;选项A、B、D中图形是轴对称图形.故选C.【知识点】中心对称图形20.(2022山东烟台,2,3分)在学习《图形变化的简单应用》这一节时,老师要求同学们利用图形变化设计图案.下列设计的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )DCBA.【答案】C【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解A、是轴对称图形,也是中心对称图形.故错误;B、是轴对称图形,也是中心对称图形.故错误;C、不是轴对称图形,是中心对称图形.故正确;D、是轴对称图形,也是中心对称图形.故错误故选C.【知识点】中心对称图形;轴对称图形.21.(2022山东省淄博市,3,4分)下列图形中,不是轴对称图形的是62\n(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】选项A、B、D均可以沿一条直线折叠图形左右两边的部分可以重合,故均为轴对称图形,只有C选项不是轴对称图形,是中心对称图形,故选C.【知识点】轴对称22.(2022天津市,4,3)下列图形中,可以看作是中心对称图形的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】分析:本题考查中心对称图形的识别,结合选项,根据中心对称图形的概念对各选项进行判断即可求解.解:A.是中心对称图形,本选项符合题意;B.不是中心对称图形,本选项不符合题意;C.不是中心对称图形,本选项不符合题意;D.不是中心对称图形,本选项不符合题意.故选A.【知识点】中心对称图形;中心对称62\n23.(2022天津市,10,3)如图,将一个三角形纸片沿过点的直线折叠,使点落在边上的点处,折痕为,则下列结论一定正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】分析:本题考查折叠问题,由折叠前后不变,可得结果.解:由折叠前后不变性,可知CB=EB,∴AE+CB=AE+EB=AB故选D【知识点】翻折变换(折叠问题);全等三角形24.(2022浙江湖州,8,3)如图,已知在△ABC中,∠BAC>90°,点D为BC的中点,点E在AC上,将△CDE沿DE折叠,使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处,连结AD,则下列结论不一定正确的是()A.AE=EFB.AB=2DEC.△ADF和△ADE的面积相等D.△ADE和△FDE的面积相等【答案】C【解析】选项A,∵D为BC的中点,∴所以BD=CD.∵FD=CD,∴FD=BD.∴∠B=∠BFD.∵∠C=∠DFE,∴∠B+∠C=∠BFD+∠DFE.∴∠FAE=∠AFE.∴AE=FE.选项A正确.选项B,∵E为AC的中点,D为BC的中点,∴DE为△ABC的中位线.∴AB=2DE.选项B正确.选项C,∵BF∥DE,∴△ADF和△ADE的高相等.但不能证明AF=DE,∴△ADF和△ADE的面积不一定相等.选项C错误.62\n选项D,△ADE和△FDE同底等高,面积相等,选项D正确.故选C.【知识点】等腰三角形,折叠,中位线,三角形的外角1.(2022·重庆A卷,2,4)下列图形中一定是轴对称图形的是()【答案】D.【解析】根据轴对称图形的定义,看图形沿某条直线折叠,直线两旁的部分能否完全重合,易知矩形是轴对称图形,故选D.【知识点】轴对称图形2.(2022广东广州,2,3分)图中所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有()A.1条B.3条C.5条D.无数条【答案】C【解析】根据轴对称图形的定义:“如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”进行分析,正五角星的对称轴是过中心和每个顶角的直线,共5条.故答案为C.【知识点】轴对称图形3.(2022贵州遵义,2题,3分)观察下列几何图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的是ABCD【答案】C62\n【解析】A是轴对称图形,不是中心对称图形,故A错误;B是中心对称图形,不是轴对称图形,故B错误;C是轴对称图形,也是中心对称图形,故C正确;D是轴对称图形,不是中心对称图形,故D错误。【知识点】轴对称图形,中心对称图形4.(2022河北省,3,3)如图中由“”和“”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线()A.l1B.l2C.l3D.l4【答案】C【解析】分别沿着途中的4条直线进行折叠,两侧能完全重合的只有l3,故选C.【知识点】轴对称图形5.(2022湖北宜昌,2,3分)如下字体的四个汉字中,是轴对称图形的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】D图沿中间线折叠,直线两旁的部分可重合,故选择D.【知识点】轴对称图形的概念.6.(2022湖北宜昌,9,3分)如图,正方形的边长为1,点分别是对角线上的两点,,,,,垂足分别为,则图中阴影部分的面积等于()62\n(第9题图)A.1B.C.D.【答案】B【解析】图形沿直线AC折叠,直线两旁的阴影部分可合并到△ABC中,△ABC的面积为正方形的面积的一半,故选择B.【知识点】轴对称图形,翻折.7.(2022江西,5,3分)小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图所示,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有( )第5题题A.3个B.4个C.5个D.无数个【答案】C【解析】①正方形向上平移;②正方形向下平移;③正方形向右平移;④将正方形向东北方向平移;⑤将正方形向东南方向平移.故有5种.【知识点】轴对称图形,平移8.(2022山东德州,2,3分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()ABCD62\n【答案】B【解析】选项A只是中心对称图形,选项B既是轴对称图形又是中心对称图形,选项C只是轴对称图形,选项D既不是轴对称图形也不是中心对称图形,只是旋转对称图形.故选B.【知识点】轴对称图形,中心对称图形9.(2022山东德州,12,3分)如图,等边三角形的边长为4,点是△的中心,.绕点旋转,分别交线段于两点,连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】如图1,连接OB、OC,因为点是△的中心,所以,OA=OB=OC,所以,,所以,所以(ASA),所以OD=OE,结论①正确;通过画图确定结论②错误,如当点E为BC中点时,;因为,所以,所以=,结论③正确;因为,所以BD=CE,所以BD+CE=BC=4,因为,OB=OC,易得,如图2,当OD⊥AB时,OD最小=BD×tan∠OBD=,所以DE最小=2,所以△周长的最小值为6,结论④正确.故选C.【知识点】旋转,全等,定值,最值10.(2022山东省日照市,2,3分)在下列图案中,既是轴对称又是中心对称图形的是()【答案】C62\n【解析】A图案既不是轴对称又不是中心对称图形;B图案只是轴对称图形;C图案既是轴对称又是中心对称图形;D图案只是中心对称图形,故选C。【知识点】轴对称图形中心对称图形11.(2022广东省深圳市,4,3分)观察下列图形,是中心对称图形的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解:将试卷倒过来看,和原图形完全相同的图形就是中心对称图形.A、B、C三个选项中的图案都是轴对称图形,故A、B、C选项错误;而D选项中的图案是中心对称图形,故D选项正确.【知识点】轴对称图形;中心对称图形12.(2022贵州安顺,T1,F3)下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是()【答案】D【解析】由轴对称图形的定义可知,选项D的图形有对称轴所以是轴对称图形.【知识点】轴对称图形的性质.13.(2022湖南省永州市,2,4)誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”,摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文,其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值,下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是()]62\nA.B.C.D.【答案】C【解析】选项A、是轴对称图形,则此选项错误;选项B、是轴对称图形,则此选项错误;选项C、不是轴对称图形,则此选项正确;选项D、是轴对称图形,则此选项错误.因此,本题选C.【知识点】轴对称14.(2022四川攀枝花,5,3)下列平面图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()A.菱形B.等边三角形C.平行四边形D.等腰梯形【答案】A【解析】A、菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形,故本选项符合题意;B、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;C、平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,故本选项不符合题意;D、等腰梯形,故此选项符合题意;是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;故选A.【知识点】中心对称图形轴对称图形15.(2022湖南张家界,3,3分)下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()AB【答案】C【解析】轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180°后两部分重合.62\n故选项A是中心对称图形,选项B是轴对称图形,选项C既是中心对称图形又是轴对称图形,选项D是轴对称图形.故选择C.【知识点】中心对称图形与轴对称图形.16.(2022浙江省台州市,2,3分)在下列四个新能源汽车车标的设计图中,属于中心对称图形的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180°,旋转后的图形能与原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个旋转点,就叫做中心对称点.A.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;B.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;C.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,故此选项错误;D.∵此图形旋转180°后能够与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,故此选项正确;【知识点】中心对称图形二、填空题1.(2022浙江衢州,第16题,4分)定义;在平面直角坐标系中,一个图形先向右平移a个单位,再绕原点按顺时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的γ(a,θ)变换。如图,等边△ABC的边长为1,点A在第一象限,点B与原点O重合,点C在x轴的正半轴上.△A1B1C1就是△ABC经γ(1,180°)变换后所得的图形.62\n第16题图若△ABC经γ(1,180°)变换后得△A1B1C1,△A1B1C1经γ(2,180°)变换后得△A2B2C2,△A2B2C2经γ(3,180°)变换后得△A3B3C3,依此类推……△An-1Bn-1Cn-1经γ(n,180°)变换后得△AnBnC,则点A1的坐标是________,点A2022的坐标是________。【答案】()()【解析】题考查了新概念理解、阅读理解问题、等边三角形性质、规律型点的坐标.、坐标与图形变化﹣旋转等知识内容,解决该题型题目时,写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律是关键.首先计算A1的坐标为(),则A2为(),以此计算则有A2022横坐标为-2×2022=,故答案为:()()()【知识点】新概念理解、阅读理解问题、等边三角形性质、规律型点的坐标.、坐标与图形变化﹣旋转2.(2022山东潍坊,16,3分)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置,B′C′与CD相交于点M,则点M的坐标为.62\n【答案】(-1,)【思路分析】连接AM,证明Rt△AB′M≌Rt△ADM,求出∠ADM=30°,解直角三角形求得DM的长,注意M在第二象限,即可求出点M的坐标.【解题过程】连接AM,在Rt△AB′M和Rt△ADM中,AB′=AD,AM=AM,∴Rt△AB′M≌Rt△ADM∴∠DAM=∠B′AM=在Rt△ADM中,tan30°=∴DM=ADtan30°=1×=.∴M(-1,).【知识点】图形与坐标,正方形,全等三角形的判定和性质,解直角三角形3.(2022山东潍坊,24,12分)如图1,在□ABCD中,DH⊥AB于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB于点F,AB=6,DH=4,BF∶FA=1∶5.(1)如图2,作FG⊥AD于点G,交DH于点M,将△DGM沿DC方向平移,得到△CG´M´,连接M′B.①求四边形BHMM'的面积;②直线EF上有一动点N,求△DNM周长的最小值.62\n(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK∥AB,过CD边上的动点P作PK∥EF,并与QK交于点K,将△PKQ沿直线PQ翻折,使点K的对应点K'恰好落在直线AB上,求线段CP的长.【思路分析】(1)①由题意可知四边形BHMM'为梯形,上底BH,下底MM′易求,故只需求出高MH即可,计算MH可通过同角的余角相等证明∠FMH=∠A,而∠A的正切值易求,故高MH可得(求高也可利用△FHM∽△DHA来计算),从而求出面积;②由EF垂直平分CD可得点D和点C关于直线EF对称,故只需连接CM,CM与EF的交点即为满足条件的点N,分别求出CM和DM即可求出周长的最小值;(2)先通过∠A的正切值不变求出FQ的长度,从而求出PK,由折叠可得PK′=PK,QK′=QK,利用勾股定理先求出GK′的长度,设PE=x,在Rt△QFK′中把FK′和QK′用x表示出来,利用勾股定理求出x的值,从而求出CP的长度.【解题过程】解:(1)①∵BF∶FA=1∶5,AB=6,∴BF=1,AF=5.∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD=AB=6,∵EF垂直平分CD,∴DE=CE=3.∴FH=3,HA=AF-FH=5-3=2.在Rt△ADH中∵∠A+∠AFM=90°,∠AFM+∠FMH=90°,∴∠FMH=∠A∴.∵FH=3,∴MH=由平移可知MM′=CD=6,BH=1+3=462\n∴S四边形BHMM′=.②由点C与点D关于直线EF对称可知,连接CM交EF于点N,连接DN,此时△DMN周长最小.NDM=DH-MH=.在Rt△CDM中,,即DN+MN=.∴△DNM周长的最小值为.(2)标准答案:∵BF∥CE,∴,∴QF=2,∴PK=PK′=6过点K′作E′F′∥EF,分别交CD于点E′,交QK于点F′,当点P在线段CE上时,在Rt△PK′E′中,PE′2=PK′2-E′K′2,∴PE′=,62\n∵Rt△PE′K′∽Rt△K′F′Q,∴,∴.∴QF′=,∴PE=PE′-EE′=.∴CP=.同理可得,当点P在线段ED上时,CP′=.综上可得,CP的长为或.方法2:当点P在线段CE上时,如图所示,设直线AB与PK交于点G.在Rt△BFQ中,∠ABQ=∠A∴tan∠ABQ=,62\n∵BF=1,∴FQ=2.∴EQ=EF+FQ=4+2=6∴PK=EQ=6.由折叠可得:PK′=PK=6,QK′=QK在Rt△PGK′中,PG=DH=4GK′=设PE=x,则GF=KQ=x,QK′=x,FK′=GK′-GF=在Rt△QFK′中,解得:.∴CP=CE-PE=.同理可得,当点P在线段ED上时,CP′=.综上可得,CP的长为或.【知识点】平行四边形,图形的平移,图形的轴对称,勾股定理,梯形,几何最值问题,分类讨论思想4.(2022四川省成都市,24,4)如图,在菱形ABCD的中,tanA=,M,N分别在边AD,BC上,将四边形AMNB沿MN翻折,使AB的对应线段AB的对应线段EF经过顶点D.当EF⊥AD时,的值为.62\n【答案】【思路分析】延长NF交DC于H.根据翻折得∠A=∠E,∠B=∠DFN,利用菱形中邻角互补,可得到∠A=∠DFH,且∠DHF=90°,在Rt△EDM中,根据tanA=tanE=,得到△EDM三边的关系,求出菱形边长,在解Rt△DHF和Rt△NHC,求出CN,BN,即可求出的值.【解题过程】解:∵四边形ABCD为菱形,∴AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∵∠DFN+∠DFH=180°,又∵∠B=∠DFN,∴∠A=∠DFH,∵AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,又∵∠ADF=90°,∴∠A+∠FDC=90°,∴∠DFH+∠FDC=90°,∴∠DHF=90°,∵∠A=∠E,∴tanA=tanE==,设DM=4x,DE=3x,∴EM==5x,∴AM=5x,∴AD=AM+DM=9x,∵EF=AB=AD=9x,∴DF=EF-DE=6x,在Rt△DFH中∠A=∠DFH,∴tanA=tan∠DFH==,∴DH=DF=x,∴CH=DC-DH=x,在Rt△CHN中∠A=∠C,∴tanA=tanC==,∴CN=CH=7x,∴BN=BC-CN=2x,∴=.【知识点】菱形性质;锐角三角函数;翻折变换5.(2022四川省达州市,14,3分)如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(-6,0),C(0,2).将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转,使点A恰好落在OB上的点A1处,则点B的对应点B1的坐标为___________.第14题图62\n【答案】(-2,6).【解析】如图,∵矩形OABC的顶点A(-6,0),C(0,2).∴OA=6,AB=OC=2.∵tan∠AOB=,∴∠AOB=30°,在Rt△DOC1中,∵∠DOC1=30°,OC1=2,∴OD=4,DC1=2.∵B1C1=6,∴B1D=4,在Rt△DEB1中,∵∠DB1E=30°,∴DE=2,B1E=2.∴B1(-2,6).故答案为:(-2,6).【知识点】平面直角坐标系;锐角三角函数;旋转的性质6.(2022·重庆B卷,16,4)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置,连接AE.若DE∥AC,计算AE的长度等于.【答案】2.62\n【解析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜边AB上的中线,∴CD=AB=DA=DB.令∠B=x°,则∠DCB=∠B=x°,由翻折知,DE=DB,∠ECD=∠DCB=x°=∠CED.∵DE∥AC,∴∠ACE=∠CED=x°.∴由∠ACB=90°,得3x=90,x=30,从而∠B=30°,于是AC=AB.在Rt△ABC中,tanB=,得AC=BCtanB=6tan30°=2.∴AC∥DE,AC=DE,从而四边形ACDE是平行四边形.又∵CD=DE,∴四边形ACDE是菱形.∴AE=AC=2.【知识点】翻折直角三角形菱形三角函数7.(2022湖南衡阳,13,3分)如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的,则旋转的角度为________.62\n【答案】90°【解析】解:∵△COD由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的,∴对应边OB、OD的夹角∠BOD即为旋转角,∴旋转的角度为90°.【知识点】旋转的性质1.(2022·重庆A卷,16,4)如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE、FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=厘米,则△ABC的边BC的长为厘米.【答案】4+6.【解析】如下图,过点E作EM⊥AG于点M,则由AE=EG,得AG=2MG.∵∠AGE=30°,EG=厘米,∴EM=EG=(cm).在Rt△EMG中,由勾股定理,得MG==3(cm),从而AG=6cm.由折叠可知,BE=AE=(cm),GC=AG=6cm.∴BC=BE+EG+GC=++6=4+6(cm).62\n【知识点】翻折;轴对称;勾股定理;直角三角形的性质;等腰三角形三、解答题1.(2022四川绵阳,24,12分)如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(-3,0).动点M,N同时从A点出发,M沿A→C,N沿折线A→B→C,均以每秒1个单位长度的速度移动,当一个动点到达终点C时,另一个动点也随之停止移动,移动的时间记为t秒.连接MN.(1)求直线BC的解析式;(2)移动过程中,将△AMN沿直线MN翻折,点A恰好落在BC边上点D处求此时t值及点D的坐标;(3)当点M,N移动时,记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S,求S关于时间t的函数关系式.【思路分析】(1)设直线BC的解析式为y=kx+b,利用待定系数法求出直线BC的解析式;(2)首先过点D作DE⊥AC,根据题意可得出四边形DMAN是菱形,进而得出DN∥AC,然后根据平行线分线段成比例定理可得,解出t的值,然后根据三角函数的定义得出sin∠BCO,cos∠BCO,进而的得出点D的坐标;(3)分当0<t≤5和当5<t≤6两种情况写出S的解析式即可.【解题过程】解:(1)设直线BC的解析式为y=kx+b∵直线经过B(0,4),C(-3,0),∴,解得,∴直线BC的解析式为.(2)过点D作DE⊥AC,如图.62\n∵点M和点N均以每秒1个单位长度的速度移动,∴AM=AN=t.∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,AB=5,∴BN=5-t,∵△DMN是△AMN沿直线MN翻折得到的,∴DN=DM=t,∴四边形DMAN是菱形,∴DN∥AC,∴,∴,解得:t=.∴CD=,∵B(0,4),C(-3,0),∴OC=3,OB=4,BC=5,∴sin∠BCO=,cos∠BCO=,∴DE=CD·sin∠BCO=,CE=CD·cos∠BCO=,∴OE=,62\n∴点D的坐标为(-,).(3)当0<t≤5时,S=;当5<t≤6时S=S△ABC-(6-t)·(10-t)·sin∠BCO=12-=【知识点】待定系数法求一次函数的解析式,菱形的判定与性质,平行线分线段成比例定理,三角函数的定义,三角形面积公式2.(2022安徽省,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段(点A,B的对应点分别为).画出线段;(2)将线段绕点逆时针旋转90°得到线段.画出线段;(3)以为顶点的四边形的面积是______个平方单位.【答案】【思路分析】(1)连接OA,OB,并分别延长至满足再连接,即得到所求图形;(2)过做垂线段得到所求图形满足要求;(3)62\n四边形为正方形,边长为,所以四边形的面积为个平方单位【解题过程】解:(1)(2)如图所示(3)20【知识点】作图-位似变换;作图-旋转变换;四边形面积.3.(2022江苏无锡,27,10分)如图,矩形ABCD中,AB=m,BC=n.将此矩形绕点B顺时针方向旋转(0°<<90°)得到矩形,点在边CD上.(1)若m=2,n=1,求在旋转过程中,点D到点所经过路径的长度;(2)将矩形继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形,点在BC的延长线上.设与CD交于点E,若,求的值.【思路分析】(1)首先确定旋转半径和旋转角,再利用弧长公式进行计算.62\n(2)在Rt△中,由勾股定理得①;由△BCE∽△得②,消去CE即可得到mn的方程,求解得到答案.【解题过程】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠=90°,AB∥CD,CD=AB=m=2,AD=BC=n=1,,∴,∠=∠,∴,∴=∠=30°,连接BD,由勾股定理得,∴点D到点所经过路径的长度为:.(2)∵,∴,∴.在Rt△中,由勾股定理得①62\n由△BCE∽△得,即,∴②由①②得,即,∴,即,∴(舍去)或,∴(舍去).【知识点】矩形的性质、平行线的性质、勾股定理、旋转的性质、锐角三角函数的定义、弧长公式、相似三角形的判定和性质、因式分解、一元二次方程的解法、二次根式的化简4.(2022年山东省枣庄市,20,8分)如图,在的方格纸中,的三个顶点都在格点上.(1)在图1中,画出一个与成中心对称的格点三角形;(2)在图2中,画出一个与成轴对称且与有公共边的格点三角形;(3)在图3中,画出绕点按顺时针方向旋转后的三角形.【思路分析】(1)以点C为对称中心,作出点A、点B关于点C的对称点A1、B1,连结A1C、B1C、A1B162\n即可画出三角形;(2)以AC为对称轴,作出点B关于直线AC的对称点B′,连接AB′、B′C即可画出三角形;或以BC为对称轴,作出点A关于直线BC的对称点A′,连接A′C、A′B即可画出三角形;(3)根据旋转的性质作出点A和点B绕点C旋转90°的对应点A″、B″,连接A″C、B″C即可画出旋转后的三角形.【解题过程】(1)如图所示:△A1B1C是所求的三角形(2)画出下列其中一个即可.(3)【知识点】中心对称;轴对称;旋转5.(2022四川省成都市,27,10)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,AC=2,过点B作直线m∥AC,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A´B´C´(点A、B的对应点分别为A´、B´),射线CA´、CB´分别交直线m于点P,Q.62\n(1)如图1,当P与A´重合时,求∠ACA´的度数;(2)如图2,设A´B´与BC的交点为M,当M为A´B´的中点时,求线段PQ的长;(3)在旋转过程中,当点P,Q分别在CA´,CB´的延长线上时,试探究四边形PA´B´Q的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形PA´B´Q的最小面积;若不存在,请说明理由.【思路分析】(1)当P与A´重合时,解Rt△A´BC,求出∠BA´C的度数,即为∠ACA´的度数;(2)当M为A´B´的中点时,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半,得∠MA´C=∠BCA,解Rt△PBC求出PB,利用同角余角相等,得∠BQC=∠PCB,解Rt△CBQ求出BQ,根据PQ=PB+BQ即可求得PQ;(3)作Rt△PCQ斜边中线CM,由S四边形PA´B´Q=S△PCQ-S△PA´B´=PQ·BC-S△PA´B´=CM·BC-S△PA´B´,根据垂线段最短,当CM⊥PQ时,S四边形PA´B´Q最小,求出其最小值即可.【解题过程】解:(1)∵∠ACB=90°,AB=,AC=2,∴BC==,当P与A´重合时,A´C=AC=2,在Rt△A´BC中,sin∠BA´C==,∴∠BA´C=60°,∵m∥AC,∴∠ACA´=∠BA´C=60°.(2)∵∠A´CB´=90°,M为A´B´的中点时,∴A´M=CM,∴∠MA´C=∠A´CM=∠A,∵在Rt△ABC中,tan∠A==,∴在Rt△PBC中,tan∠A´CB==,∴PB=.∵∠PCB+∠BCQ=∠BCQ+∠BQC=90°,∴∠BQC=∠PCB,∴tan∠BQC=tan∠A´CB=,∴BQ==2,∴PQ=PB+BQ=.(3)取PQ的中点M,连接CM.∵S△CA´B´=A´C·B´C=×2×=,S△PCQ=PQ·BC=PQ,∴S四边形PA´B´Q=S△PCQ-S△CA´B´=PQ-,∵M为PQ的中点,∠PCQ=90°,∴PQ=2CM,∴S四边形PA´B´Q=S△PCQ-Q-S△CA´B´=CM-,当CM最小时,S四边形PA´B´Q最小.∵CM≤BC=,∴当CM=时,S四边形PA´B´Q的最小值=CM-=3-.62\n【知识点】解直角三角形;直角三角形斜边中线等于斜边一半;旋转6.(2022四川省南充市,第24题,10分)如图,矩形中,,将矩形绕点旋转得到矩形,使点的对应点落在上,交于点,在上取点,使.(1)求证:.(2)求的度数.(3)已知,求的长.【思路分析】(1)根据直角三角形直角边和斜边的关系,求出角的度数;根据角之间关系,利用等角对等边即可得证.(2)利用旋转前后对应角相等、对应边相等,从而得到等边三角形,进而求得角的度数,再利用三角形内角和是180°计算即可.(3)连接AF,过点A作AM⊥BF于点M.易证∠AFM和∠ABM的度数,然后利用三角函数求出BM和MF的长即可.【解题过程】解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴△ABC为Rt△.又∵AC=2AB,cos∠BAC=,∴∠CAB=60°.1分∴∠ACB=∠DAC=30°,∴∠B′AC′=60°.∴∠C′AD=30°=∠AC′B′.2分∴AE=C′E.3分62\n(2)∵∠BAC=60°,又AB=AB′,∴△ABB′是等边三角形.4分∴BB′=AB,∠AB′B=60°,又∵∠AB′F=90°,∴BB′F=150°.5分∵B′F=AB=BB′,∴∠B′BF=∠BFB′=15°.6分(3)连接AF,过点A作AM⊥BF于点M.7分由(2)可知△AB′F是等腰直角三角形,△ABB′是等边三角形.∴∠AFB′=45°,∴∠AFM=30°,∠ABF=45°.8分在Rt△ABM中,AM=BM=AB•cos∠ABM=2×=.9分在Rt△AMF中,MF=.∴BF=+.10分【知识点】锐角三角函数;等腰三角形的判定;直角三角形的两锐角互余;旋转的性质;等边三角形的性质和判定;三角形的内角和定理7.(2022浙江绍兴,23,12分)小敏思考解决如下问题:原题:如图1,点,分别在菱形的边,上,,求证:.62\n(第23题图)(1)小敏进行探索,若将点,的位置特殊化:把绕点旋转得到,使,点,分别在边,上,如图2,此时她证明了.请你证明.(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图3,作,,垂足分别为,.请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:,,如图1.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案(根据编出的问题层次,给不同的得分).【思路分析】(1)可先求出∠AFC=∠AFD=90°,然后证明即可;(2)先求出∠EAP=∠FAQ,再证明即可;(3)可以分三个不同的层次,①直接求菱形本身其它角或边的度数,也可求菱形的周长。②可求、、的值。③可求四边形的面积、与的面积和、四边形周长的最小值等。【解题过程】23.解:(1)如图1,在菱形中,,,,∵,∴,∴,62\n∵,∴,∴,,∴,∴.第23题(1)答图(2)如图2,由(1),∵,∴,∵,,∴,∵,∴,∴.62\n第23题(2)答图(3)不唯一,举例如下:层次1:①求的度数.答案:.②分别求,的度数.答案:.③求菱形的周长.答案:16.④分别求,,的长.答案:4,4,4.层次2:①求的值.答案:4.②求的值.答案:4.③求的值.答案:.层次3:①求四边形的面积.答案:.②求与的面积和.答案:.③求四边形周长的最小值.答案:.④求中点运动的路径长.答案:.【知识点】菱形的性质、三角形全等的判定和性质、垂直的定义和性质、62\n8.(2022江苏泰州,25,12分)(本题满分12分)对给定的一张矩形纸片进行如下操作:先沿折叠,使点落在边上(如图①),再沿折叠,这时发现点恰好与点重合(如图②).(1)根据以上操作和发现,求的值;(2)将该矩形纸片展开.①如图③,折叠该矩形纸片,使点与点重合,折痕与相交于点,再将该矩形纸片展开,求证:.②不借助工具,利用图④探索一种新的折叠方法,找出与图③中位置相同的点,要求只有一条折痕,且点在折痕上,请简要说明折叠方法.(不需说明理由).【思路分析】(1)由折叠得△BCE是等腰直角三角形,所以CE=CD=BC=AD,得解;(2)①先证△AEH是等腰直角三角形,设BC=m,先后用m的代数式表示出AE、AH、HD、HC的长,再设AP=x,用x的代数式分别表示出PH、PC的长,根据“PH=PC”得方程,解方程得AP=BC,再证Rt△APH≌Rt△CBP后易得;②折叠后得AP=AD或∠BCP=22.5°即可.【解题过程】(1)在矩形ABCD中,∠A=∠BCD=∠B=∠D=90°,AD=BC,AB=CD,由折叠得∠BCE=∠BCD=45°,CE=CD,∴CE=CD==BC=AD,∴=;(2)①方法一:连接EH,62\n设BC=m,则AB=CD=m,∵BE=BC×tan∠BCE=m,∴AE=(-1)m,由折叠得∠HEC=∠D=90°,∵∠BEC=90°-∠BCE=45°,∴∠AEH=90°-∠BEC=45°,∴AH=AE×tan∠AEH=(-1)m,设AP=x,则BP=m-x,由折叠得PH=PC,∴,∴x=m,∴AP=BC,∴Rt△APH≌Rt△CBP(HL),∴∠APH=∠BCP,∵∠BPC+∠BCP=90°,∴∠APH+∠BCP=90°,∴∠HPC=90°;方法二:同方法一得AH=(-1)m,∴HD=(2-)m,过点F作AD的平行线,与AB、DC分别交于点M、N,62\n则AD∥MN∥BC,∴,∴FN是△CHD的中位线,∴,证MN=BC=m,得,证,∴,证△FMP≌△FGH(ASA),∴FP=FH,∵∠PFH=90°,∴∠FPH=45°,同理:∠FPC=45°,∴∠HPC=90°;②沿过点D的直线折叠矩形纸片,使点A落在DC边上,折痕与AB相交于点P.【知识点】矩形折叠,全等,相似,方程思想9.(2022山东临沂,25,11分)将矩形ABCD绕点A时针旋转a(0°<a<360°),得到矩形AEFG.(1)如图.当点E在BD上时.求证:FD=CD;(2)当a为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.62\n(第25题图)备用图【思路分析】(1)连接AF,结合旋转和矩形的性质证BD∥AF,且BD=AF,得到四边形BDFA是平行四边形,得到DF=AB,进而得到证明的结论;(2)当GC=GB时,则点G位于BC或AD的垂直平分线上,分点G位于BC所在直线的左边或右边两种情况讨论.【解题过程】(1)如图1,连接AF.∵四边形ABCD是矩形,结合旋转可得BD=AF,∠EAF=∠ABD,∵AB=AE,∴∠ABD=∠AEB,∴∠EAF=∠AEB,∴BD∥AF,∴四边形BDFA是平行四边形,∴FD=AB,∵AB=CD,∴FD=CD.图1(2)如图2,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时.图2图3易知点G是也是AD的垂直平分线上的点,∴DG=AG,又∵AG=AD,62\n∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,∴a=60°.如图3,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时.同理,△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°.此时a=300°.综上所述,当a为60°或300°时,GC=GB.【知识点】正方形图形变换分类讨论思想10.(2022山东威海,21,8分)如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕;点C与AD边上的点K重合,FH为折痕,已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF=+1.求BC的长.【思路分析】由于折叠前后的图形是全等的,找到对应的角和线段,再把相应的角转移到△EKF中,在△EKF中,∠KEF和∠KFE分别是45°和30°,都是特殊角,过点K作垂线KM,把这两个特殊角分别放在直角三角形中,用KM表示出EF、EK、KF.【解题过程】解:由题意,得∠3=180°-2∠1=45°,∠4=180°-2∠2=30°,BE=EK,KF=FC.过点K作KM⊥EF,垂足为M.62\n设KM=x,则EM=x,MF=x,∴x+x=+1,解得x=1.∴EK=,KF=2.∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++,即BC的长为3++.【知识点】折叠,全等,解直角三角形11.(2022山东烟台,24,11分)(本题满分11分)【问题解决】一节数学课上,老师提出了一个这样问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,你能求出∠APB的度数吗?小明他通过观察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP′B,连接PP′,求出∠APB的度数.请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.【思路分析】(1)如图(1)将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△BP′A,连接PP′,得到等腰直角三角形62\n△BP′P,从而得到PP′=2,∠BPP′=45°,又AP′=CP=3,AP=1,∴∴根据勾股定理逆定理得∠APP′=90°,从而求出∠APB=45°+90°=135°;(2)如图(2)将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,方法和(1)类似,求出∠APB=45°.【解题过程】解:(1)如图(1)将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,∵PB=P′B=2,∠P′BP=90°,∴PP′=2,∠BPP′=45°.又AP′=CP=3,AP=1,∴,∴∠APP′=90°,∴∠APB=45°+90°=135°.(2)如图(2)将△PBC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,∵PB=P′B=1,∠P′BP=90°,∴PP′=,∠BPP′=45°.又AP′=CP=,AP=3,∴,∴∠APP′=90°,∴∠APB=90°-45°=45°.【知识点】正方形的性质;勾股定理及其逆定理;旋转的性质;分类讨论思想;62\n12.(2022天津市,24,10)在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点,,的对应点分别为,,.(Ⅰ)如图①,当点落在边上时,求点的坐标;(Ⅱ)如图②,当点落在线段上时,与交于点.①求证;②求点的坐标.(Ⅲ)记为矩形对角线的交点,为的面积,求的取值范围(直接写出结果即可).【思路分析】本题考查了几何变换综合题:熟练掌握旋转的性质;理解点的坐标与矩形的性质是解题的关键.(Ⅰ)由旋转的性质可得AD的长,由△ADC是直角三角形,根据勾股定理可求出BD的长,即可表示点D的坐标;(Ⅱ)①由矩形的性质可知△ADB、△AOB是直角三角形,结合(Ⅰ)的有关结论由直角三角形的判定可证;②结合①的结论,求出AH的长,进而求出点H的坐标.【解题过程】解:(Ⅰ)∵点,点,∴,.∵四边形是矩形,∴,,.∵矩形是由矩形旋转得到的,∴.在中,有,62\n∴.∴.∴点的坐标为.(Ⅱ)①由四边形是矩形,得.又点在线段上,得.由(Ⅰ)知,,又,,∴.②由,得.又在矩形中,,∴.∴.∴.设,则,.在中,有,∴.解得.∴.∴点的坐标为.62\n(Ⅲ).【知识点】矩形的性质;全等三角形的判定;勾股定理;点的坐标特征;图形旋转的特征;特殊角三角函数值的运用;在坐标系或网格中求解几何图形中点的坐标;数形结合思想13.(2022浙江温州,20,8)(本题8分)如图,P,Q是方格纸中的两格点,请按要求画出以PQ为对角线的格点四边形.(1)在图1中画出一个面积最小的¨PAQB.(2)在图2中画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心旋转得到.注:图1,图2在答题纸上.【思路分析】(1)画法不唯一,如图①,②等利用PQ为对角线所以高最小为1即可得面积最小的¨PAQB.(2)画法不唯一,如图③,④等画出一个四边形PCQD,使其是轴对称图形而不是中心对称图形,且另一条对角线CD由线段PQ以某一格点为旋转中心所以可以绕PQ上不是中点的其他两个格点旋转得到一个等腰梯形即可.【解题过程】解(1)画法不唯一,如图①,②等(2)画法不唯一,如图③,④等62\n【知识点】平行四边形的面积,等腰梯形,轴对称图形,中心对称图形,作图。1.(2022湖南益阳,25,12分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF,EG分别过点B,C,∠F=30°.(1)求证:BE=CE;(2)将△EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于点M,N(如图2).①求证:△BEM≌△CEN;②若AB=2,求△BMN面积的最大值;③当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sin∠EBG的值.【思路分析】(1)利用矩形的性质和中点的定义证明(SAS)△ABE≌△DCE即可;(2)①用ASA证明全等;②设BM=x,列出△BMN的面积与x的函数关系式,利用函数求最大值;③利用△EBG的面积不变求sin∠EBG.【解析】解:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=DC.∵E为AD中点,∴AE=DE.∴△ABE≌△DCE.∴BE=CE.(2)①∵△ABE≌△DCE,62\n∴∠AEB=∠DEC.∵∠FEG=90°,∴∠AEB=∠DEC=45°.∴∠ABE=∠ECB=45°.∵∠BEM+∠BEN=∠CEN+∠BEN=90°.∴∠BEM=∠CEN.∵BE=CE,∴△BEM≌△CEN.②由①可知△ABE和△DEC都是等腰直角三角形,E为AD中点∴BC=AD=2AB=4设BM=CN=x,则BN=4-x,2≤x≤4.∴当x=2时,△BMN的面积最大,最大面积为2;③∵BC∥AD,∠FGE=90°,∴∠BNG=∠FGE=90°.∵∠F=30°,∴∠NBG=∠F=30°.由①可知∠EBN=45°设NG=x,则BG=2x,BN=,EN=∴BE=.∴S△EBG=∴【知识点】矩形,图形的旋转,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数,二次函数的应用62\n2.(2022山东菏泽,23,10分)问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到和.并且量得AB=2cm,AC=4cm.操作发现:(1)将图1中的以点为旋转中心,按逆时针方向旋转,使,得到如图2所示的,过点作的平行线,与的延长线交于点,则四边形的形状是________.(2)创新小组将图1中的以点为旋转中心,按逆时针方向旋转,使、、三点在同一条直线上,得到如图3所示的,连接,取的中点,连接并延长至点,使,连接、,得到四边形,发现它是正方形,请你证明这个结论.实践探究:(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将沿着方向平移,使点与点重合,此时点平移至点,与相交于点,如图4所示,连接,试求的值.【思路分析】(1)先证明四边形ACEC′是平行四边形,在由一组邻边相等得出是菱形;(2)由对角线互相平分,得出四边形是平行四边形,再由一组邻边相等得出平行四边形是菱形,最后证明∠CAC′=90°,即可得出菱形是正方形;(3)得出∠ACB=30°,∠CHC′=90°,再由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出HC和HC′的长,进而求出的值.【解析】解:(1)菱形.理由:由题意得∠CAC′=∠BAC=∠DC′A=∠α,∴C′E∥AC.62\n∵CE∥AC′,∴四边形ACEC′是平行四边形.∵AC=AC′,∴平行四边形ACEC′是菱形.(2)由题意得CF=C′F,,∴四边形是平行四边形.∵AC=AC′,∴平行四边形是菱形.∵B、A、D三点在同一条直线上,又∵∠BAC+∠DAC′=90°,∴∠CAC′=90°,∴菱形是正方形.(3)∵AB=2cm,AC=4cm,∴sin∠ACB===,∴∠ACB=30°.∴∠ACB=∠DBC′=30°,∠BAC=60°,∴∠AHB=∠BHC=∠CHC′=90°.∵AB=2cm,AC=4cm,∴BC=2cm.在Rt△BHC中,∠BCH=30°,∴BH=BC=cm,HC=3cm,∴HC′=BC′-BH=(4-)cm,62\n∴tan∠C′CH==.【知识点】平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质;正方形的判定与性质;含30°角的直角三角形的性质;锐角三角函数的定义;勾股定理;3.(2022四川自贡,25,12分)如图,已知,在的平分线上有一点,将一个120°角的顶点与点重合,它的两条边分别与直线相交于点.⑴.当绕点旋转到与垂直时(如图1),请猜想与的数量关系,并说明理由;⑵.当绕点旋转到与不垂直时,到达图2的位置,⑴中的结论是否成立?并说明理由;⑶.当绕点旋转到与的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段与之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.【思路分析】(1)先证明≌,得到,然后在中利用特殊角的三角比即可得到的数量关系;(2)通过作高构造和,通过证明≌,得到,将的数量关系转化为的数量关系,利用(1)中的结论即可得证;(3)通过作高构造和,通过证明≌,得到,∴,从而得到的数量关系.【解题过程】(1)的数量关系为:,理由如下:∵,,∴∵平分,∴且62\n在与中,,,∴≌()∴在中,,∴∴(1)当绕点旋转到与不垂直时,到达图2的位置,⑴中的结论仍然成立.理由如下:如图所示,过点作于点,作于点,∵平分,∴,∴,∵∴又∵∴在与中,,,∴≌()∴62\n∴由(1)得,∴得证.(1)当绕点旋转到与的反向延长线相交时,上述结论不成立.此时,.如图所示:分析:过点作于点,作于点,与相交于点,由题意得,,∴∵平分,∴在与中,,,∴≌()∴∴由(1)得,∴.【知识点】全等三角形的判定与性质,等量代换,锐角三角比的应用62\n62
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