【2022版中考12年】江苏省苏州市2002-2022年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

【2022版中考12年】江苏省苏州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题12押轴题一、选择题1..（江苏省苏州市2022年3分）如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D。DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E。给出下列4个结论：①CE=CF，②∠ACB=∠EDF，③DE是⊙O的切线，④。其中一定成立的是【】A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④-61-\n∴DE不是⊙O的切线。∴③错误。【只有当∠OCF=0，即AC是圆的直径时，DE才是⊙O的切线。同样可证，当圆心O在△ABC内时，∠ODE=900＋∠OCF≠900，DE也不是⊙O的切线。】④如图，连接AD，BD。根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠DCE=∠DAB，又∵∠DCE=∠DCF，∠DCA=∠DBA，∴∠DAB=∠DBA＜900。∴。综上所述，①②④正确。故选D。2.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）；（4）EF＝AP。当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有【】A.1个B.2个C.3个D.4个∴。∴（3）正确。-61-\n（4）∵EF不一定是中位线，∴EF不一定等于BC。又∵AP=BC，∴EF＝AP不一定成立。∴（4）错误。综上所述，始终正确的是①②③。故选C。3.（江苏省苏州市2022年3分）如图，梯形ABCD的对角线交于点O，有以下四个结论：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③④。其中，始终正确的有【】A1个B2个C3个D4个4.（江苏省苏州市2022年3分）下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等。四位同学各自发表了下述见解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；-61-\n丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。其中，你认为正确的见解有【】A．1个B．2个C．3个D．4个5.（江苏省苏州市2022年3分）对左下方的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是【】A.B.C.D.6.（江苏省苏州市2022年3分）如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1-61-\n，算出了正△A1B1C1的面积。然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积。用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是【】A．B．C．D．-61-\n7.（江苏省苏州市2022年3分）如图．AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°．现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB：③；④CE·AB=2BD2．其中正确结论的序号是【】A．①②B．②③C．②④D．③④8.（江苏省2022年3分）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：；-61-\n第3个数：；……第个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【】A．第10个数B．第11个数C．第12个数D．第13个数9.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知、两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若是上的一个动点，线段与轴交于点，则面积的最小值是【】A．2B．1C．D．-61-\n10.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，∠a=75°，则b的值为【】A．3B．C．4D．【答案】B。【考点】一次函数，特殊角三角函数值。-61-\n【分析】根据三角函数求出点B的坐标，即可求得b的值：由可知，k=1，故在△OAB中，∠OBA，∴。故选B。11.（2022江苏苏州3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是【】A.B.C.D.-61-\n根据题意得出：∠WC3Q=30°，∠C3WQ=60°，∠A3WF=30°，∴WQ=，FW=WA3•cos30°=。∴点A3到x轴的距离为：FW+WQ=。故选D。12.（2022年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为【　　】A．B．C．D．2∴PA＋PC的最小值为。故选B。二、填空题-61-\n1.（江苏省苏州市2022年2分）设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是▲2.（江苏省苏州市2022年2分）如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立，则这个条件可以是▲_。3.（江苏省苏州市2022年3分）正方形网格中，小格的顶点叫做格点。小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形。小华在左边的正方形网格中作出了Rt⊿ABC。请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。【答案】作图如下（答案不唯一）：-61-\n4.（江苏省苏州市2022年3分）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为▲。圆心。则圆心是（2，0），如图所示：-61-\n5.（江苏省苏州市2022年3分）如图．直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上．其中,A点坐标为(2，一1)，则△ABC的面积为▲平方单位．6.（江苏省苏州市2022年3分）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于▲度．7.（江苏省苏州市2022年3分）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数-61-\n的图象时．列了如下表格：···－2－1012······－4－2···根据表格上的信息同答问题：该二次函数在=3时，y=▲．8.（江苏省2022年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．9.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为▲．-61-\n10.（江苏省苏州市2022年3分）如图，已知点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数（k>0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB＝3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是▲（填“相离”、“相切”或“相交”）．-61-\n11.（2022江苏苏州3分）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了▲秒（结果保留根号）.-61-\n12.（2022年江苏苏州3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若，则　▲　（用含k的代数式表示）．【答案】。【考点】折叠问题，矩形的性质，折叠的对称性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式化简，待定系数法的应用。【分析】如图，连接EG，∵，∴设，则。-61-\n三、解答题1.（江苏省苏州市2022年7分）已知：⊙与⊙外切于点，过点的直线分别交⊙、⊙于点、，⊙的切线交⊙于点、，为⊙的弦，（1）如图（1），设弦交于点，求证：；（2）如图（2），当弦绕点旋转，弦的延长线交直线B于点时，试问：是否仍然成立？证明你的结论。-61-\n2.（江苏省苏州市2022年7分）如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动。其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）设从出发起运动了秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在CB上时的坐标（用含的代数式表示，不要求写出的取值范围）；（2）设从出发起运动了秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半。①试用含的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分？如有可能，求出相应的的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由。-61-\n∴＋OQ=（14＋3＋10＋5），即OQ=16－。∴点Q所经过的路程为16－，速度为。②不能。理由如下：当Q点在OC上时，如图，过点Q作QF⊥OA于点F。则OP=，QF=。∴。又∵，∴令，解之，得。∵当时，，这时点Q不在OC上，故舍去；当时，，这时点Q不在OC上，故舍去。-61-\n∴当Q点在OC上时，PQ不可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分。3.（江苏省苏州市2022年7分）如图1，⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M。（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M。试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。【答案】解：（1）∵AB为直径，CE⊥AB，∴，CG=EG。在Rt△COG中，∵OG=OC，∴∠OCG=30°。∴∠COA=60°。又∵∠CDE的度数=的度数=的度数=∠COA的度数=60°，-61-\n∴∠FDM=180°－∠CDE=120°。4.（江苏省苏州市2022年7分）OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式。（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为。①求折痕AD所在直线的解析式；-61-\n②再作F∥AB，交AD于点F，若抛物线过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数。（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点，使纸片沿翻折后，点O落在BC边上，记为。请你猜想：折痕所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。-61-\n5.（江苏省苏州市2022年7分）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册。该纪念册每册需要10张8K大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页300元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表。印数a(单位：千册)1≤a＜55≤a＜10彩色(单位：元/张)2.22.0黑白（单位：元/张）0.70.6-61-\n（1）印制这批纪念册的制版费为元；（2）若印制2千册，则共需多少费用？（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围。（精确到0。01千册）6.（江苏省苏州市2022年8分）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。（1）P点的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值。（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。-61-\n【答案】解：（1）3—x；x。【考点】二次函数综合题，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由题意可知C（0，4），A（3，0），所以由待定系数法可求出直线AC解析式为：y=－x+4。因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为3－x，代入直线AC中得y=x，所以P点坐标为（3－x，x）。-61-\n（2）通过求△MPA的面积和x的函数关系式来得出△MPA的面积最大值及对应的x的值。（3）可分MP=AP，AP=AM，MP=MA三种情况进行讨论即可。7.（江苏省苏州市2022年7分）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；（1）若租用水面亩，则年租金共需__________元；（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益－成本）；（3）李大爷现在奖金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖。已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？∴李大爷应该租10亩水面，并向银行贷款24000元，可使年利润超过35000元。【考点】一元一次不等式的应用-61-\n【分析】（1）年租金=每亩水面的年租金×亩数。（2）年利润=收益－成本=（蟹苗收益＋虾苗收益）－（蟹苗成本＋虾苗成本）－水面年租金－饲养总费用（3）设应该租n亩水面，并向银行贷款x元，可使年利润超过35000元。依题意，有①年内总成本为：4900n＝25000＋x；②向银行贷款不超过25000元：；③年利润超过35000元：。解之即得所求。8（江苏省苏州市2022年8分）如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6）。D是BC边上的动点（与点B、C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合。（1）如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；（2）设，，求关于的函数关系式，并求的最小值；（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。-61-\n9.（江苏省苏州市2022年8分）-61-\n司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．之后还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图)．已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m／s)之同有如下关系：s=tv+kv2其中t为司机的反应时间(单位：s)，k为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=0.7s(1)若志愿者未饮酒，且车速为11m／s，则该汽车的刹车距离为＿＿＿＿m(精确到0.1m)(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17m／s的速度驾车行驶，测得刹车距离为46m．假如该志愿者当初是以11m／s的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到O.1m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11m／s至17m／s的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40m至50m之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”。则你的反应时间应不超过多少秒?(精确到0.01s)10.（江苏省苏州市2022年8分）-61-\n如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了．(1)Q点的坐标为(＿＿＿，＿＿＿)（用含x的代数式表示）(2)当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形?(3)记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由.-61-\n11.（江苏省苏州市2022年8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4．P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F(1)设AP=1，求△OEF的面积．(2)设AP=a(0＜a＜2)，△APF、△OEF的面积分别记为S1、S2。①若S1=S2，求a的值；②若S=S1+S2，是否存在一个实数a，使S＜?若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由．-61-\n-61-\n12.（江苏省苏州市2022年8分）设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n)在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．（2）将D(1，n)代入，得n=－3。由解得，。∴E（6，7）。过点E作EH⊥轴于点H，则点H（6，0）。-61-\n∴AH=EH=7，∠EAH=450。过点D作DF⊥轴于点F，则点F（1，0）。∴BF=DF=3，∠DBF=450。∴∠EAH=∠DBF=450。∴∠DBH=1350，900＜∠EBA＜1350。则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况（如图）：【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解方程组。【分析】（1）在中令x=0即能求得C点坐标；由△AOC∽△COB即能求得m的值；由A、C三点坐标代入即可求出抛物线的解析式。（2）将D(1，n)代入求得n，联立和-61-\n求出点E的坐标。过点E作EH⊥轴于点H和过点D作DF⊥轴于点F，通过等腰直角三角形的判定和性质得出点P只能在点B的左侧的结论。分△BDP1∽△EAB和△BDP2∽△BAE分别求出符合条件的点P。（3）①点P（，0）时，△BDP的外接圆圆心在直线上，设外接圆圆心坐标为S（）。则，13.（江苏省苏州市2022年9分）课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当△AOB旋转90°时，得到△A1OB1．已知A(4，2)、B(3，0)．（1）△A1OB1的面积是；A1点的坐标为（，；B1点的坐标为(，)；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交轴于E．此时A′、O′和B′的坐标分别为(1，3)、(3，－1)和(3，2)，且O′B′经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD的面积)最小，求四边形CEBD的面积；-61-\n（3）在（2)的条件之下，△AOB外接圆的半径等于.【答案】解：（1）3；－2，4；0，3。（2）设直线OA：，∵A(4，2)，∴，即。∴直线OA：。-61-\n∴，解得。∴△AOB外接圆的半径。14.（江苏省苏州市2022年9分）如图，抛物线与轴的交点为M、N．直线与轴交于P(－2，0)．与y轴交于C，若A、B两点在直线上．且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点。OH为Rt△OPC斜边上的高．(1)OH的长度等于；k=，b=．(2)是否存在实数a，使得抛物线上有一点E．满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式．同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)．并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG10，写出探索过程-61-\n【答案】解：（1）1；；。或1；－；－。（2）存在。理由如下：假设存在实数a，使得抛物线上有一点F．满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似。∵AO=BO=，AO⊥BO，∴△AOB是等腰直角三角形。∴以D、N、E为顶点与△AOB相似的三角形是等腰直角三角形，有两种情况：①以DN为直角边，②以DN为斜边。①若DN为直角边，则ED⊥DN。由抛物线与轴的交点为M、N，得M（－1，0）、N（5，0）。-61-\n只有可能△DN是以DN为斜边的等腰直角三角形，此时（，），代入不成立，所以点不在抛物线上。因此，抛物线上没有满足条件的其它E点。当时，若抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为，那么只有可能△DN是以DN为直角边的等腰直角三角形，此时（2，3），代入不成立，所以点不在抛物线上。因此，抛物线上没有满足条件的其它E点。当E（2，3），对应的抛物线的解析式为，∵△EDN和△AOB是等腰直角三角形，∴∠GMP=∠PBO=450。又∵∠NPG=∠BPO，∴△NPG∽△BPO。，即。∵PO=2，PN=7，∴。∵，∴，即PB·PG10。-61-\n15.（江苏省2022年12分）某加油站五月份营销一种油品的销售利润（万元）与销售量（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段与所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）-61-\n法即可求出和所对应的函数关系式。-61-\n16.（江苏省2022年12分）如图，已知射线与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线的方向作匀速运动．设运动时间为秒．（1）请用含的代数式分别表示出点与点的坐标；（2）以点为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点在点的左侧），连接PA、PB．①当与射线有公共点时，求的取值范围；②当为等腰三角形时，求的值．-61-\n∴。（2）①当的圆心由点向左运动，使点到点时，有，即。当点在点左侧，与射线相切时，过点作射线，垂足为，则由，得，则．解得。由，即，解得。-61-\n17.（江苏省苏州市2022年9分）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，，，；图②中，，，．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动．在移动过程中，、两点始终在边上(移动开始时点与点重合)．(1)在沿方向移动的过程中，刘卫同学发现：、两点间的距离逐渐▲．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当移动至什么位置，即的长为多少时，、的连线与平行?问题②：当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在的移动过程中，是否存在某个位置，使得?如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．-61-\n(Ⅲ)当为斜边时，由，,,∵=144－248<0，∴方程无解。综上所述，当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形。问题③：不存在这样的位置，使得。理由如下：假设，由得。作的平分线，交于,则-61-\n18（江苏省苏州市2022年9分）如图，以为顶点的抛物线与轴交于点．已知、两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)设是抛物线上的一点(、为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以、、、为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点的坐标；(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点，是否总成立?请说明理由．-61-\n19.（江苏省苏州市2022年9分）如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和-61-\n，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是?请你解答上述两个问题．-61-\n20.（江苏省苏州市2022年10分）已知二次函数的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．-61-\n(1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．-61-\n①如图②，若点P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM，∵点E（4，4）、F（4，3）与点B（4，0）在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB。又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD。∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形。②设点P是边FG上的任意一点（不与点G重合），∵点F的坐标是（4，3），点G的坐标是（5，3），∴FG=3，GB=。-61-\n21.（2022江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，-61-\n连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5.⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y=3时相应x的值；⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.-61-\n22.（2022江苏苏州10分）如图，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.⑴点B的坐标为▲，点C的坐标为▲（用含b的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】解：（1）B（b，0），C（0，）。（2）假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形。设点P坐标（x，y），连接OP，-61-\n则∴。意两个三角形均相似。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。-61-\n【分析】（1）令y=0，即，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令23.（2022年江苏苏州9分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t＝　▲　s时，四边形EBFB'为正方形；（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．-61-\n解得（不合题意，舍去）。∵，∴或符合题意。∴若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，则或。24.（2022年江苏苏州10分）如图，已知抛物线（b，c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．（1）b＝　▲　，点B的横坐标为　▲　（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．①求S的取值范围；-61-\n②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有　▲　个．-61-\n【考点】二次函数综合题，单动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，分类思想的应用。【分析】（1）将点A的坐标为(－1，0)代入得。-61-\n-61-