全国各地2022年中考数学试卷分类汇编 开放性问题
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开放性问题一.选择题二.填空题1.(2022•徐州,13,3分)请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称: .考点:中心对称图形.专题:开放型.分析:常见的中心对称图形有:平行四边形、正方形、圆、菱形,写出一个即可.解答:平行四边形是中心对称图形.故答案可为:平行四边形.点评:本题考查了中心对称图形的知识,同学们需要记忆一些常见的中心对称图形.2.(2022上海市,15,4分)如图3,在△和△中,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△≌△,这个添加的条件可以是____________.(只需写一个,不添加辅助线)3.(2022四川巴中,14,3分)如图,已知点B、C、F、E在同一直线上,∠1=∠2,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,这个条件可以是 CA=FD .(只需写出一个)考点:全等三角形的判定.专题:开放型.9\n分析:可选择添加条件后,能用SAS进行全等的判定,也可以选择AAS进行添加.解答:解:添加CA=FD,可利用SAS判断△ABC≌△DEF.故答案可为CA=FD.点评:本题考查了全等三角形的判定,解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理,本题答案不唯一.4.(2022江西南昌,15,3分)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程.【答案】x2-5x+6=0【解析】先确定两条符合条件的边长,再以它为根求作一元二次方程.【方法指导】本题是道结论开放的题(答案不唯一),已知直角三角形的面积为3(直角边长未定),要写一个两根为直角边长的一元二次方程,我们尽量写边长为整数的情况(即保证方程的根为整数),如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3,以2、3为根的一元二次方程为;也可以以1、6为直角边长,得方程为.5.(2022山东菏泽,12,3分)我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”.“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”).已知等边三角形的边长为2,则它的“面径”长可以是______(写出1个即可).【答案】或.(写出1个即可).【解析】1)根据“三线合一”等可知,面径为底边上的高h,;(2)与一边平行的线段(如图),设DE=x,因为△ADE与四边形DBCE面积要相等,根据三角形相似性质,有.解得x=.综上所述,所以符合题意的面径只有这两种数量关系.【方法指导】根据规定内容的定义,思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分的直线存在有两种情形:(1)高(中线、角平分线)所在线;(2)与一边平行的线.要把一个三角形面积进行两等份,这样的直线有无数条,都过这个三角形三边中线的交点(重心).经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形.三.解答题1.(2022山西,25,13分)(本题13分)数学活动——求重叠部分的面积。问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点G。求重叠部分(△DCG)的面积。(1)独立思考:请解答老师提出的问题。【解析】解:∵∠ACB=90°D是AB的中点,9\n(25题(1))∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC又∵DC=DA,∴G是AC的中点,∴CG=AC=×8=4,DG=BC=×6=3∴SDCG=×CG·DG=×4×3=6(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图(2),你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程。(25题(2))【解析】解法一:∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°,∴∠B=∠2,∴∠1=∠2∴GH=GD∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°∴∠A=∠3,∴AG=GD,∴AG=GH∴点G是AH的中点,在Rt△ABC中,AB=10∵D是AB的中点,∴AD=AB=5在△ADH与△ACB中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°,∴△ADH∽△ACB,∴=,=,∴DH=,∴S△DGH=S△ADH=××DH·AD=××5=9\n(25题(2))解法二:同解法一,G是AH的中点,连接BH,∵DE⊥AB,D是AB的中点,∴AH=BH,设AH=x则CH=8-x在Rt△BCH中,CH2+BC2=BH2,即(8-x)2+36=x2,解得x=∴S△ABH=AH·BC=××6=(25题(2))∴S△DGH=S△ADH=×S△ABH=×=.解法三:同解法一,∠1=∠2连接CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1,∠1=∠2=∠B=∠DCB,△DGH∽△BDC,作DM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,∵D是AB的中点,∠ACB=90°∴CD=AD=BD,∴点M是AC的中点,∴DM=BC=×6=3在Rt△ABC中,AB==10,AC·BC=AB·CN,∴CN=.∵△DGH∽△BDC,∴,∴=9\n∴(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是:如图(3),将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN求重叠部分(△DMN)的面积、任务:①请解决“爱心”小组所提出的问题,直接写出△DMN的面积是②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图中画出图形,标明字母,不必解答(注:也可在图(1)的基础上按顺时针方向旋转)。(25题(3))(25题(4))【答案】①②注:此题答案不唯一,语言表达清晰、准确得1分,画图正确得1分,重叠部分未涂阴影不扣分。示例:如图,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥BC于点M,DF交AC于点N,求重叠部分(四边形DMCN)的面积。2.(2022·潍坊,24,13分)如图,抛物线关于直线对称,与坐标轴交于三点,且,点在抛物线上,直线是一次函数9\n的图象,点是坐标原点.(1)求抛物线的解析式;(2)若直线平分四边形的面积,求的值.(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线交于两点,问在轴正半轴上是否存在一定点,使得不论取何值,直线与总是关于轴对称?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.答案:(1)因为抛物线关于直线x=1对称,AB=4,所以A(-1,0),B(3,0),由点D(2,1.5)在抛物线上,所以,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又,即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.(2)由(1)知,令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,令kx-2=1.5,得l与CD的交点F(),令kx-2=0,得l与x轴的交点E(),根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得:OE+CF=DF+BE,即(3)由(1)知9\n所以把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为假设在y轴上存在一点P(0,t),t>0,使直线PM与PN关于y轴对称,过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1,垂足分别为M1、N1,因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1,所以,………………(1)不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧,因为P点在y轴正半轴上,则(1)式变为,又yM=kxM-2,yN=kxN-2,所以(t+2)(xM+xN)=2kxMxN,……(2)把y=kx-2(k≠0)代入中,整理得x2+2kx-4=0,所以xM+xN=-2k,xMxN=-4,代入(2)得t=2,符合条件,故在y轴上存在一点P(0,2),使直线PM与PN总是关于y轴对称.考点:本题是一道与二次函数相关的压轴题,综合考查了考查了二次函数解析式的确定,函数图象交点及图形面积的求法,三角形的相似,函数图象的平移,一元二次方程的解法等知识,难度较大.点评:本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题,能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识,解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进,既考查了知识掌握,也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。3.(2022江西南昌,18,6分)先化简,再求值:,在0,1,2,三个数中选一个合适的,代入求值.【思路分析】先将分式的分子分母因式分解,再将除法运算转化为乘法运算,约分后得到,可通分得,也可将化为求解.[解]原式=·+1=9\n=.当x=1时,原式=【方法指导】本题考查的是分式的化简求值,涉及因式分解,约分等运算知识,要求考生具有比较娴熟的运算技能,化简后要从三个数中选一个数代入求值,又考查了考生的细心答题的态度,这个陷阱隐蔽但不刁钻,看到分式,必然要注意分式成立的条件.4.(2022山东德州,22,10分)设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”。(1)数表A如表1所示,如果经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,请写出每次“操作”后所得的数表;(写出一种方法即可)(2)数表A如表2所示,若经过任意一次“操作”以后,便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数a的值。【思路分析】1)根据提供信息,理解题目要达到要求,答案不唯一,属于开放题(2)分析各行、各列上数字和情况,同时注意其和要符合非负数(≥0).【解】(1)法1:法2:(写出一种即可)(2)每一列所有数之和分别为2,0,-2,0,每一行所有数之和分别为-1,1.①如果操作第三列,则则第一行之和为2a-1,第二行这和为5-2a,2a-1≥0,5-2a≥0解得又∵a为整数,9\n∴a=1,或a=2②如果操作第一行,则每一列之和分别为2-2a,2-2a2,2a-2,2a2,2-2a≥0,2a-2≥0解得a=1,此时2-2a2=0,2a2=2.综上可知a=1【方法指导】本题考查了新定义阅读题、分类讨论思想.本题是一道以数列为素材的新定义阅读理解题,解这类题的关键是顺着题意,理解题目的告诉了什么,要做什么?模仿或拓展运用相关知识内容解决.本题中运用了分类讨论思想,发挥解题的多样性与严谨性.9
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