全国通用版2022年中考数学复习第三单元函数滚动小专题四一次函数与反比例函数的综合练习

滚动小专题(四)　一次函数与反比例函数的综合1．(2022·菏泽T20·7分)如图，已知点D在反比例函数y＝的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B(0，3)，直线y＝kx＋b经过点A(5，0)，与y轴交于点C，且BD＝OC，OC∶OA＝2∶5.(1)求反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)直接写出关于x的不等式＞kx＋b的解集．　解：(1)∵BD＝OC，OC∶OA＝2∶5，点A(5，0)，点B(0，3)，∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3.1分又∵点C在y轴负半轴上，点D在第二象限，∴点C的坐标为(0，－2)，点D的坐标为(－2，3)．∵点D(－2，3)在反比例函数y＝的图象上，∴a＝－2×3＝－6.∴反比例函数的表达式为y＝－.3分将A(5，0)，C(0，－2)代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的表达式为y＝x－2.5分(2)不等式＞kx＋b的解集为x＜0.7分2．(2022·江西)如图，反比例函数y＝(k≠0)的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A(1，a)，B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°.(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tanC的值．解：(1)∵点A(1，a)在y＝2x上，∴a＝2.∴A(1，2)．5\n把A(1，2)代入y＝得k＝2.∵A，B两点关于原点O中心对称，∴B(－1，－2)．(2)设AC交x轴于点D.∵CA∥y轴，∴AC⊥x轴，即∠ADO＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠AOD.∴tanC＝tan∠AOD＝＝＝2.3．(2022·宜宾)如图，已知反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y＝－x＋b的图象经过反比例函数图象上的点Q(－4，n)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连接OP，OQ，求△OPQ的面积．解：(1)反比例函数y＝(m≠0)的图象经过点(1，4)，∴4＝，解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝.一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数的图象相交于点Q(－4，n)，∴解得∴一次函数的表达式为y＝－x－5.(2)由解得或∴点P(－1，－4)．在一次函数y＝－x－5中，令y＝0，得－x－5＝0，解得x＝－5，故点A(－5，0)．S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ＝×5×4－×5×1＝7.5.4．(2022·贵阳)如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？5\n解：(1)∵直线y＝2x＋6经过点A(1，m)．∴m＝2×1＋6＝8.∴A(1，8)．∵反比例函数经过点A(1，8)，∴8＝.∴k＝8.∴反比例函数的解析式为y＝.(2)由题意，点M，N的坐标为M(，n)，N(，n)．∵0＜n＜6，∴＜0.∴S△BMN＝×(||＋||)×n＝×(－＋)×n＝－(n－3)2＋.∴n＝3时，△BMN的面积最大．5．(2022·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4，2)，直线y＝－x＋与边AB，BC分别相交于点M，N，函数y＝(x＞0)的图象过点M.(1)试说明点N也在函数y＝(x＞0)的图象上；(2)将直线MN沿y轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y＝(x＞0)的图象仅有一个交点时，求直线M′N′的解析式.解：(1)∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4，2)，∴点M的横坐标为4，点N的纵坐标为2.把x＝4代入y＝－x＋，得y＝，5\n∴点M的坐标为(4，)．把y＝2代入y＝－x＋，得x＝1.∴点N的坐标为(1，2)．∵函数y＝(x＞0)的图象过点M，∴k＝4×＝2.∴y＝(x＞0)．把N(1，2)代入y＝，得2＝2.∴点N也在函数y＝(x＞0)的图象上．(2)设直线M′N′的解析式为y＝－x＋b.由得，x2－2bx＋4＝0.∵直线y＝－x＋b与函数y＝(x＞0)的图象仅有一个交点，∴(－2b)2－4×4＝0，解得b1＝2，b2＝－2(舍去)．∴直线M′N′的解析式为y＝－x＋2.6．(2022·遂宁)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝(m≠0)的图象交于第二、四象限A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AD＝4，sin∠AOD＝且点B的坐标为(n，－2)．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．解：(1)∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝图象交于A与B，且AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°.在Rt△ADO中，AD＝4，sin∠AOD＝，∴＝，即AO＝5.根据勾股定理，得DO＝＝3.∴A(－3，4)．5\n代入反比例函数解析式，得m＝－12，即y＝－.把B坐标代入，得n＝6，即B(6，－2)，代入一次函数解析式，得解得∴y＝－x＋2.(2)当OA＝AE1＝5时，得到OE1＝2AD＝8，即E1(0，8)．当OE3＝OE2＝AO＝5，即E2(0，－5)，E3(0，5)．当AE4＝OE4时，设E4坐标为(0，a)，则a2＝(0－3)2＋(a－4)2，解得a＝，即E4(0，)．综上，当点E为(0，8)或(0，5)或(0，－5)或(0，)时，△AOE是等腰三角形．5