山东省滨州市无棣县埕口中学2022届中考数学分类汇编 全等三角
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21全等三角形一、选择题1.(2022江西省宜春市1模,5,3)如图,AB=AC,要说明△ADC≌△AEB,需添加的条件不能是()A.∠B=∠CB.AD=AEC.∠ADC=∠AEBD.DC=BE【答案】D2.(2022浙江1模,10,3)如图,点O为正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使FC=EC,连结DF交BE的延长线于点H,连结OH交DC于点G,连结HC.则以下四个结论中正确结论的个数为()BBS习题改编ABCDFOGHE①OH=BF;②∠CHF=45°;③GH=BC;④DH2=HE·HBA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C3.(2022重庆市一中,10,4)如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ADC=900,BC=CD,E为梯形内一点,∠BEC=900,将△BEC绕C点旋转900,使BC与DC重合,得到△DCF,连接EF交CD于点M.给出以下5个命题:①DM:MC=MF:ME;②BE⊥DF;\n③若sin,则;④若tan,则点D到直线CE的距离为1;⑤若M为EF中点,则点B、E、D三点在同一直线上.则正确命题的个数()A.2B.3C.4D.5【答案】D【答案】C二、填空题1.(2022江西省预测1,15,3)如图,等边三角形中,、分别为、边上的点,,与交于点,于点,则的值为.【答案】第1题DCAFBEG第(2)题ACDBEF图3ABDCFE第4题图2.(2022江西省预测5,113,3)如图,已知,,点A、D、B、F在一条直线上,要使△≌△,还需添加一个条件,这个条件可以是.【答案】也可以是或(答案不惟一)3.(2022上海普陀区1模,15,4)如图3,已知,在不添加任何辅助线的前提下,要使还需添加一个条件,这个条件可以是.(只需写出一个)【答案】或或∠D=∠B4.(2022上海青浦区1模,14,4)如图,E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点,试添加一个条件:___________,使得△ADF≌△CBE.【答案】AF=CE或AF∥等答案不唯一,只要写一个5.(2022重庆市綦江县,16,3)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②△EQC≌△DPC;③AP=BQ;④DE=DP;\n⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有(将你认为正确的序号都填上).【答案】1、2、3、56.(2022南京市秦淮县,16,2).如图,正方形ABCD中,点E在边AB上,点G在边AD上,且∠ECG=45°,点F在边AD的延长线上,且DF=BE.则下列结论:①∠ECB是锐角,;②AE<AG;③△CGE≌△CGF;④EG=BE+GD中一定成立的结论有▲(写出全部正确结论).【答案】①③④7.(2022江苏省泰州市,16,3)如图,过正方形的顶点作直线,过作的垂线,垂足分别为.若,,则的长度为.【答案】8.(2022海南省,17,3)如图9,点P在∠AOB的平分线上,若使△AOP≌△BOP,则需添加的一个条件是(只写一个即可,不添加辅助线);图9【答案】答案不唯一,如:OA=OB等三、解答题1.(2022江西省预测3,24,9)如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,一直角三角尺PQR的直角顶点P在对角线AC上移动,直角边PQ经过点D,另一直角边与射线BC交于点E.⑴试判断PE与PD的大小关系,并证明你的结论;⑵连接PB,试证明:△PBE为等腰三角形;⑶设AP=x,△PBE的面积为y,①求出y关于x函数关系式;\n②当点P落在AC的何处时,△PBE的面积最大,此时最大值是多少?【答案】ABCPDEFG123证:(1)过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F.如图所示.∵四边形ABCD是正方形,∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形,△AGP和△PFC都是等腰直角三角形………1分∴GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90°又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°∴∠1=∠2………2分又PF=GD,∠PFE=∠PGD=90°∴Rt△EFP≌Rt△PGD(ASA).∴PE=PD………3分(2)∵AD=AB∠PAB=∠PAD=45°AP=AP∴△APB≌△APD(SAS)………4分∴PB=PD∴PE=PB∴△PBE为等腰三角形………6分(3)①∵AP=x∴,………7分∴.即()………8分②.\n∵,∴当时,………9分2.(2022江西省预测4,17,6)如图,矩形中,与交于点,⊥,⊥,垂足分别为,.试比较.BE与CF的大小,并说明理由ABCDEFO【思路分析】证明BE、CF两个线段所在的两个三角形全等, 即三角形BEO与三角形CFO全等,应用AAS判定。【答案】证明:在矩形ABCD中,OB=OC,..................1分⊥,⊥,..................2分.....................................5分...............................................6分3.(2022江西省预测5,17,6)如图(1),在⊿ABC和⊿EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.(1)试探究CF、CH的数量关系,并说明理由;(2)如图(2),⊿ABC不动,将⊿EDC绕点C旋转到∠BCE=45° 时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论。【思路分析】通过对△ACB和△ECD的全等得到CF=CH;四边形ACDM是菱形。\n【答案】解:(1)CF=CH.................................................1分证明:△ACB和△ECD中∵∠ACB=∠ECD=90°∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB∴∠1=∠2又∵AC=CE=CB=CD∴∠A=∠D=45°∴△ACF≌△DCH∴CF=CH............................................3分(2)答:四边形ACDM是菱形证法一:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,∴∠1=45°,∠2=45°又∵∠E=∠B=45°,∴∠1=∠E,∠2=∠B...........4分∴AC//MD,CD//AM...........................5分又∵AC=CD∴ACDM是菱形..............................6分4.(2022上海市奉贤区1模,23,12)如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.(1)求证:CF=CH;(图1)(图2)第4题图DCBEAHMFEDCBAFHM(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论.\n【答案】证明:在△ACB和△ECD中∵∠ACB=∠ECD=∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2………………………………………………………(2分)又∵AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=………………………………………………(2分)∴△ACB≌△ECD,∴CF=CH……………………………(2分)(2)答:四边形ACDM是菱形……………………………………………(1分)证明:∵∠ACB=∠ECD=,∠BCE=∴∠1=,∠2=又∵∠E=∠B=,∴∠1=∠E,∠2=∠B…………………………………………(2分)∴AC∥MD,CD∥AM,∴四边形ACDM是平行四边形………………………………(2分)又∵AC=CD,∴四边形ACDM是菱形……………………(2分)5.(2022上海市闵行区1模,23,12)已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD,垂足为点E,点F在BD上,联结AF、EF.(1)求证:AD=ED;(2)如果AF//CD,求证:四边形ADEF是菱形.\nABCDEF【答案】证明:(1)∵BC=CD,∴∠CDB=∠CBD.……………………………(1分)∵AD//BC,∴∠ADB=∠CBD.∴∠ADB=∠CDB.………………………………………………(1分)又∵AB⊥AD,BE⊥CD,∴∠BAD=∠BED=90°.………(1分)于是,在△ABD和△EBD中,∵∠ADB=∠CDB,∠BAD=∠BED,BD=BD,∴△ABD≌△EBD.………………………………………………(2分)∴AD=ED.………………………………………………………(1分)(2)∵AF//CD,∴∠AFD=∠EDF.……………………………(1分)∴∠AFD=∠ADF,即得AF=AD.…………………………(1分)又∵AD=ED,∴AF=DE.…………………………………(1分)于是,由AF//DE,AF=DE,得四边形ADEF是平行四边形.……………………………………(2分)又∵AD=ED,∴四边形ADEF是菱形.…………………………………………(1分)6.(2022上海市松江区1模,23,12)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,点O为边AC的中点,点D为边AB上一点,过点C作AB的平行线,交DO的延长线于点E.(1)证明:四边形ADCE为平行四边形;(2)当四边形ADCE为怎样的四边形时,AD=BD,并加以证明.EDCBAO【答案】(1)证明:∵点O为边AC中点,∴AO=CO………………………………1分又∵CE∥AB,∴∠DAC=∠ECA,∠ADE=∠CED…………………………2分∴△ADO≌△CEO,∴OD=OE…………………………………………………2分∴四边形ADCE为平行四边形…………………………………………………1分\n(2)当四边形ADCE为菱形时,AD=BD,………………………………………1分∵四边形ADCE为菱形,∴AD=CD,∴∠BAC=∠ACD……………………2分∵∠BAC+∠B=90°,∠BCD+∠ACD=90°,………………………………1分∴∠B=∠BCD,∴CD=BD,∴AD=BD…………………………………………2分已知△ABC中,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,连FE、ED,BF的延长线交ED的延长线于点G,联结GC。求证:四边形CEFG为梯形。7.(2022上海市杨浦区1模,22,10)已知△ABC中,点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点,连FE、ED,BF的延长线交ED的延长线于点G,联结GC。求证:四边形CEFG为梯形。ABCDEFG【答案】证明:∵点D、E分别是线段AC、BC的中点,∴DE//AB,-------------1分∴∠A=∠FDG,∠ABF=∠FGD------------------------------------------------------2分∵F是线段AD的中点,∴AF=FD∴△ABF≌△DGF,---------------------------------------------------------------------1分∴BF=FG------------------------------------------------------------------------------------1分∴-----------------------------------------------------------------------------------1分∵E为BC中点,∴BC=EC,∴,-----------------------------------------1分∴------------------------------------------------------------------------------1分∴EF//CG------------------------------------------------------------------------------------1分而GF与CE交于点A,∴四边形CEFG为梯形------------------------------------1分8.(2022上海市宝山、嘉定区1模,22,10)如图8,已知是线段上一点,和都是正方形,联结、.\n(1)求证:=;(2)设与的交点为P,求证:.ABCDEFGP(图8)【答案】证明:(1)∵四边形和是正方形∴,,(3分)∴△≌△(1分)∴(1分)(2)∵∥∴,(2分)∵,∴,(2分)∴(1分)9.(2022上海市黄浦区1模,23,12)(本题12分)如图8,在菱形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足为E、F.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)若∠BAE=∠EAF,求证:AE=BE;(3)若对角线BD与AE、AF交于点M、N,且BM=MN(如图9).FEDCBANMFEDCBA求证:∠EAF=2∠BAE.(图8)(图9)【答案】解:(1)∵菱形ABCD,\n∴AB=AD,∠ABE=∠ADF,————————————(2分)又∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD,————————————————(1分)∴△ABE≌△ADF.————————————————(1分)(2)∵菱形ABCD,∴AB‖CD,又∵AF⊥CD,∴AF⊥AB,∴∠BAF=,又∠BAE=∠EAF,∴∠BAE=,∠AEB=,———————————(2分)∴∠B==∠BAE,———————————————(1分)∴AE=BE.———————————————————(1分)(3)∵△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF,AB=AD,∴∠ABM=∠ADN,∴△ABM≌△ADN.∴AM=AN,———————————————————(1分)又∵∠BAN=,BM=MN,∴AM=MN=AN,∴∠MAN=,——————————————————(1分)∴∠MAB=,——————————————————(1分)∴∠EAF=2∠BAE.————————————————(1分)10.(2022上海市浦东新区1模,23,12)已知:如图,在△ABC中,M是边AB的中点,D是边BC延长线上一点,,DN∥CM,交边AC于点N.(1)求证:MN∥BC;(2)当∠ACB为何值时,四边形BDNM是等腰梯形?并证明你的猜想.ABMN(第10题图)DC【答案】(1)证法一:取边BC的中点E,联结ME.………………………………………(1分)∵BM=AM,BE=EC,∴ME∥AC.………………………………………(1分)∴∠MEC=∠NCD.∵,∴.∵DN∥CM,∴∠MCE=∠D.∴△MEC≌△NCD.………………………………………………………(1分)\n∴.………………………………………………………………(1分)又∵CM∥DN,∴四边形MCDN是平行四边形.………………………(1分)∴MN∥BC.…………………………………………………………………(1分)证法二:延长CD到F,使得,联结AF.…………………………(1分)∵,,∴.………………………………(1分)∵,∴MC∥AF.………………………………………………(1分)∵MC∥DN,∴ND∥AF.…………………………………………………(1分)又∵,∴.……………………………………………(1分)∴MN∥BC.…………………………………………………………………(1分)(2)解:当∠ACB=90°时,四边形BDNM是等腰梯形.…………………………(1分)证明如下:∵MN∥BD,BM与DN不平行,∴四边形BDNM是梯形.……………(2分)∵∠ACB=90°,,∴.…………………(2分)∵,∴BMDN.………………………………………………(1分)∴四边形BDNM是等腰梯形.11.(2022上海市闸北区1模,22,10)已知四边形ABCD,点E是CD上的一点,连接AE、BE.(1)给出四个条件:①AE平分∠BAD,②BE平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC.请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明;(2)请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,点E是CD的中点,则AD∥BC”是否正确?图5【答案】(1)解:如:①②④AD∥BC………………………………………………………(1分)证明:在AB上取点M,使AM=AD,联结EM,……………………………………(1分)∵AE平分∠BAD∴∠MAE=∠DAE又∵AM=ADAE=AE,∴△AEM≌△AED∴∠D=∠AME………………………………………………(2分)又∵AB=AD+BC∴MB=BC,∴△BEM≌△BCE∴∠C=∠BME………………………………………………(2分)故∠D+∠C=∠AME+∠BME=180°∴AD∥BC…………………………………(2分)(2)不正确…………………………………………………………………………………(2分)12.(2022浙江省慈溪市1模,21,8)已知△ABC(如图),∠B=∠C=30°。请设计二种不同的分法,将△ABC分割成四个三角形,使得其中两个是全等三角形,而另外两个是相似\n但不全等的直角三角形.请画出分割线段,标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号),并在各种分法的空格线上填空。(画图工具不限,不要求证明,不要求写出画法)注:两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法.如图①和②为同一种分法。图②图①分法一:(不能拼成与图①或②的形式)分割后所得的四个三角形中△≌△,Rt△∽Rt△分法二:(不能拼成与图①或②的形式)分割后所得的四个三角形中△≌△,Rt△∽Rt△【答案】解:参考分法如下所示:每一个分割、填空正确得4分\n13.(2022辽宁省大连市1模,19,12).如图,在等腰梯形中,为底的中点,连结、.\n求证:.ADCBE(第19题)【答案】证明:四边形是等腰梯形,.(6分)为的中点,OBECAD(第22题图).(10分).(12分)14.(2022·黑龙江省哈尔滨市调研,23,6)如图,在矩形ABCD中,E是BC上的点,AE=BC,DE⊥AE,垂足为F,连接DE,证明:AB=DF【答案】15.(2022河北省三河市1模,20,7)如图,正方形中,点F在边BC上,E在边BA的延长线上.(1)若按顺时针方向旋转后恰好与重合.则旋转中心是点;最少旋转了度;(2)在(1)的条件下,若,求四边形的面积.\nABCDEF【答案】解:(1)D;.…………………………………………4分(2),...…………………………………………7分16.(2022河南省1模,17,9)如图,点B在AD上,AC=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.试判断线段AD和BE的大小和位置关系,并给予证明.ADCBE【答案】.解:相等,垂直.△ACD≌△BCE(SAS).AD=BE,∠EBC=∠DAC=45°.17.(2022河南省郑州市1模,17,9)如图,在△中,∠ACB=.(1)根据要求作图(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法):①作的平分线交AB于D;②过D点作DE⊥BC,垂足为E.(2)在(1)的基础上写出一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形:△≌△;△∽△.请选择其中一对加以证明.\n【答案】解:(1)①正确作出角平分线CD;②正确作出DE.(2)△BDE≌△CDE;△ADC∽△ACB.选择△BDE≌△CDE进行证明:∵DC平分∠ACB∴∠DCE∠ACB又∵∠ACB2∠B∴∠B∠ACB∴∠DCE∠B∵DE⊥BC∴∠DEC∠DEB90°又∵DEDE∴△BDE≌△CDE(AAS)或选择△ADC∽△ACB进行证明:∵DC平分∠ACB∴∠ACD∠ACB又∵∠ACB2∠B∴∠B∠ACB∴∠ACD∠B又∵∠A∠A∴△ADC∽△ACB18.(2022湖北省恩施州1模,19,8)【答案】\n19.(2022湖北省黄冈市红安县1模,18,7)已知如图在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥BD交CB的延长线于G.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论。EGBCFDA【答案】(1)由AD=BC,∠DAE=∠BCF,AE=CF,证△ADE≌△CBF…………2分(2)四边形AGBD是矩形…………3分由题意可知:AE=DE=BE,∴∠DAE=∠ADE,∠EDB=∠EBD,∴∠ADE+∠EDB=,又由AD∥BG,AG∥BD,∴四边形AGBD是矩形…………7分20.(2022湖北省黄冈市张榜中学1模,18,6)已知:如图,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上,连结BD.\nABCDE求证:(1)△BAD≌△CAE;(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系,并证明.【答案】(1)AB=AC,易证∠BAD=∠CAE,AD=AE,所以△BAD≌△CAE(SAS)。…3分(2)BD⊥CE,证明略。…………………………………………………………………6分21。(2022江西省宜春市1模,20,8)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.(1)求证:△ABE≌△ACE;(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.【答案】(1)证明:因为AB=AC且D是BC的中点所以AD垂直平分BC………………………………………….1分所以BE=CE………………………………………….2分又因为AE=AE所以△ABE≌△ACE………………………………………….4分(2)当AE=2AD时,四边形ABEC是菱形,………………………………………….5分理由如下:因为AE=2AD,AD垂直平分BC所以BC垂直平分AE,………………………………………….…………………….6分所以对角线AE与BC互相垂直平分…………………………….…………………….7分所以四边形ABEC是菱形…………………………….…………………….…………8分22。(2022江苏省江阴市1模,26,10)图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连结CE并延长交AD于F.(1)求证:①△AEF≌△BEC;②四边形BCFD是平行四边形;(2)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,求sin∠ACH的值.\n图1ABCDEF30°图2ABCDKH30°【答案】(1)求证:①△AEF≌△BEC;∠ABC=90°,E是AB的中点,AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°,∠FEB=∠BEC所以△AEF≌△BEC;-----------------------------------------3分②四边形BCFD是平行四边形;可得DF∥BC,FC∥DB,或DF∥BC,且DF=BC均可------------------------6分(2)设BC=1,则AC=,AD=AB=2设DH=x,由折叠得DH=CH=x,(2-x)+3=xX=所以Sin∠ACH=-----------------------------------------10分23。(2022福建省晋江市1模,21,9)如图,与都是等腰直角三角形,,连结、.求证:≌.【答案】证明:与都是等腰直角三角形…………(4分)又即……………………(8分)∴≌……………………(9分)24。(2022湖北省荆州市1模,19)将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADF,BC的延长线交DF于点E,连接BD.已知BC=2EF。求证:△BEF≌△BED。\n【答案】证明:∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠ABC+∠F=90°∴∠FEB=90°∵BC=FDBC=2EF∴EF=DE在△BEF和△BED中BE=BE∠BEF=∠BED=90°EF=DE∴Rt△BEF≌Rt△BED25。(2022广东省深圳市1模,20,7)如图,正方形ABCD的边长是6,点F在AD上,点E在AB的延长线上,,且△CEF的面积是24.(1)求证:△CDF≌△CBE;(2)求DF的长度.DCAFBE【答案】(1)证明:是正方形,,≌………………………………………3分\n(2)解:由(1)得由的面积是24,可得…………………………5分在中,………………………7分26。(2022河北省石家庄52中市1模,24,10)已知,等腰Rt△ABC中,点O是斜边的中点,△MPN是直角三角形,固定△ABC,滑动△MPN,在滑动过程中始终保持点P在AC上,且PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为E、F.(1)如图1,当点P与点O重合时,OE、OF的数量和位置关系分别是______.(2)当△MPN移动到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(3)如图3,等腰Rt△ABC的腰长为6,点P在AC的延长线上时,Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E,直线BC与直线NP交于点F,OE交BC于点H,且EH:HO=2:5,则BE的长是多少图1ABCOMNEF(P)ABCOMNEFP图2ABCOMNEFP图3H【答案】(1)数量关系:相等,位置关系:垂直.(2)成立,易证△OEB≌△OFC;(3).27。(2022山东省泰安市1模,26,10)如图(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=,AB与CE交于F,ED与AB、BC分别交于M、H.(1)求证:CF=CH;(2)如图(2),△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时,试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论.(图1)(图2)\n【答案】解:(1)证明:在△ACB和△ECD中∵∠ACB=∠ECD=∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2…………………………2分又∵AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=………………………3分∴△ACB≌△ECD,……………………4分∴CF=CH……………………5分(2)答:四边形ACDM是菱形…………………………6分证明:∵∠ACB=∠ECD=,∠BCE=∴∠1=,∠2=………………………7分又∵∠E=∠B=,∴∠1=∠E,∠2=∠B∴AC∥MD,CD∥AM,∴ACDM是平行四边形……………………9分又∵AC=CD,∴ACDM是菱形………10分28.(2022江苏省扬州市1模,23,10)如图,F为正方形ABCD的对角线AC上一点,FE⊥AD于点E,M为CF的中点.(1)求证:MB=MD;(2)求证:ME=MB.\n【答案】N证明:(1)∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD∠BAM=∠DAM……2分在△BAM与△DAM中,∴△BAM≌△DAM…………3分∴MB=MD……………………4分(2)取线段DE的中点N,连结MN。…………………5分∵FE⊥ADCD⊥AD∴EF∥CD……………………6分∵M为CF的中点∴MN是梯形EFCD的中位线………7分∴MN∥EF……………………………………………………8分∴MN⊥AD……………………………………………………9分∴ME=MD∴ME=MB……………………………………10分29.(2022浙江省舟山市1模,22,10)如图,已知Rt△,,的平分线交于点,的垂直平分线分别交于点,.(1)请以图中的点为顶点(不增加其他的点)分别构造两个菱形和两个等腰梯形.那么,构成菱形的四个顶点是▲或▲;构成等腰梯形的四个顶点是▲或▲;(2)请你各选择其中一个图形加以证明。\n【答案】解:(1)构成菱形的四个顶点是B、E、D、F或E、D、C、G;2分构成等腰梯形的四个顶点是B、E、D、C或E、D、G、F;2分(2)证出一个得3分(ⅰ)∵垂直平分(ⅱ)∵菱形∴,∴∥………1分∴∵∵平分∴………1分∴∴四边形是等腰梯形.……1分∵∴≌∴…………2分∴………1分∴四边形是菱形.或(ⅲ)∵等腰梯形(ⅳ)∵菱形,∴∴∵∵∴∴∵∥∵∴四边形是平行四边形∴≌∵∴∴四边形是菱形.∵∥∴四边形是等腰梯形.30.(2022重庆市名校联考,23,10)已知,如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边AB、CD的中点,连接DE、BF、BD.(1)求证:△ADE≌△CBF(2)若AD⊥BD,则四边形DFBE是什么特殊的四边形?请说明你的理由。【答案】\n(1)证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC,DC=ABDC∥AB∠A=∠C……1分又∵E、F分别是边AB、CD的中点∴AE=BE=DF=CF……….2分在△ADE和△CBF中∵AD=BC∠A=∠CAE=CF………4分∴△ADE≌△CBF(SAS)……………5分(2)四边形DFBE是菱形。……………………………6分理由:∵DF∥BE且DF=BE∴四边形DFBE是平行四边形……………………8分又∵AD⊥BD且E是AB的中点∴DE=AB=BE…………………9分∴平行四边形DFBE是菱形………………10分31.(2022重庆市綦江县,19,6)19.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=.(1)在边CD上找一点E,使EB平分∠AEC,并加以说明;(2)若P为BC边上一点,且BP=2CP,连接EP并延长交AB的延长线于F.①求证:点B平分线段AF;②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到?若能,加以证明,并求出旋转度数;若不能,请说明理由.【答案】(1)当E为CD中点时,EB平分∠AEC由∠D=900,DE=1,AD=,推得DEA=600,同理,∠CEB=600,从而∠AEB=∠CEB=600,即EB平分∠AEC(2)①∵CE∥BF,∴==∴BF=2CE∵AB=2CE,∴点B平分线段AF\n②能证明:∵CP=,CE=1,∠C=900,∴EP=。在Rt△ADE中,AE==2,∴AE=BF,又∵PB=,∴PB=PE∵∠AEP=∠BP=900,∴△PAS≌△PFB∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到.∴旋转度数为120033.(2022重庆市一中,24,6)如图,∠C=∠D,CE=DE.求证:AE=BE.【答案】证:在△AEC和△BED中……3分∴△AEC≌△BED∴AE=BE……6分34.(2022重庆市一中,24,10)直角梯形ABCD中,AB//CD,∠C=900,AB=BC,M为BC边上一点.(1)若∠DMC=450,求证:AD=AM.(2)若∠DAM=450,AB=7,CD=4,求BM的值.\n【答案】(1)证:作AE⊥CD交延长线于点E.E∵∠DMC=450,∠C=900N∴CM=CD又∵∠B=∠C=∠E=900,AB=BC∴四边形ABCE为正方形∴BC=CE∴BM=DE在Rt△ABM和Rt△AED中∴△ABM≌△AED∴AD=AM……5分(2)把Rt△ABM绕点A顺时针旋转900,使AB与AE重合,得Rt△AEN.∵∠DAM=450,∴∠1+∠2=450由旋转知∠1=∠3,∴∠2+∠3=450,即∠DAM=∠DAN由旋转知AM=AN,∴△ADM≌△ADN,∴DM=DN设BM=x,∵AB=BC=CE=7,∴CM=7-x又∵CD=4,∴DE=3,BM=EN=x,∴MD=DN=3+x,在Rt△CDM中,(7-x)2+42=(3+x)2∴BM的值为……10分35.(2022广东省佛山市,19,6)已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断:①OA=OC②AB=CD③∠BAD=∠DCB④AD∥BC请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题;(1)构造一个真命题,画图并给出证明;(2)构造一个假命题,举反例加以说明.\n【答案】解:(1)①④为论断时(③④也可):∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,∠ADB=∠DBC.………1分又∵OA=OC,∴△AOD≌△COB.………1分∴AD=BC.………1分∴四边形ABCD为平行四边形.………1分(2)②④为论断时,此时一组对边平行,另一组对边相等,可以构成等腰梯形.…2分36.(2022广东省佛山市,22,10)如图,AD∥BC,∠A=,E是AB上一点,AD=BE,F是CD中点.(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗?如果是请说明理由;若不全等请添加一个合适条件使其全等并说明理由.(2)若Rt△ADE与Rt△BEC全等,说明△CED是直角三角形.【答案】解:(1)不全等.添加EF⊥CD,……1分(此处不唯一)则Rt△ADE与Rt△BEC全等∵F是CD中点且EF⊥CD∴CE=DE……1分∵AD∥BC,∠A=∴∠B=∠A=……2分∵AD=BE,CE=DE∴Rt△ADE≌Rt△BEC……1分(2)直角三角形∵Rt△ADE≌Rt△BEC∴∠AED=∠BCE……1分∵∠BCE+∠BEC=∴∠AED+∠BEC=……2分\n∴∠CED=……1分∴△CED是直角三角形……1分37.(2022福建省福州市,17(2),8)如图,□ABCF中,,延长CF到E,使,过E作BC的垂线,交BC延长线于点D。求证:ABCDEF第17(2)题图【答案】38.(2022甘肃省酒泉市,18,9)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,P为梯形ABCD外一点,PA、PD分别交线段BC于点E、F,且PA=PD。(1)写出图中三对你认为全等的三角形(不再添加辅助线);(2)选择你在(1)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。\n【答案】①△ABP≌△DCP;②△ABE≌△DCF;③△BEP≌△CFP;④△BFP≌△CEP;(答对三对即可)(2)以△ABP≌△DCP全等为例:证明:∵AD∥BC,AB=DC,∴梯形ABCD为等腰梯形,∴∠BAD=∠CDA,又∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA,∴∠BAP=∠CDP,在△ABP和△DCP中,∵,∴△ABP≌△DCP。39.(2022湖南省长沙市,22,6).如图4—9,在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF,请你以点F为一个端点,和图中已标有字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一线段相等.(只需证明一组线段相等即可)①连结___________________,②猜想:_______=_______.【答案】①BF②BF=DE证明:∵在□ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∴∠DAC=∠BCA.又∵AE=CF,\n∴△AED≌△CFB.∴DE=BF.40.(2022湖北省黄冈市1模,18,7)【答案】41。(2022河北省石家庄1模,24,10)已知,在△ABC中,AB=AC,在射线CA上截取线段CE,在射线AB上截取线段BD,连结DE,DE所在直线交直线BC于点M.如图1,当点E在线段AC上时,点D在AB的延长线上时,若BD=CE,请判断线段MD和线段ME的数量关系,并证明你的结论。如图2,当点E在CA的延长线上,点D在AB的延长线上时,若BD=CE,则(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由。如图3,当点E在CA的延长线上,点D在线段AB上(点D不与A、B重合),DE所在直线与直线BC交于点M,若CE=mBD,(m>1),请直接写出线段MD与线段ME的数量关系。【答案】\nABCDMEGF(1)DM=EM;………………………………………………………………1分证明:过点E作EF∥AB交BC于点F,…………………………………………2分∵AB=AC,∴∠ABC=∠C;又∵EF∥AB,∴∠ABC=∠EFC,∴∠EFC=∠C,∴EF=EC.又∵BD=EC,∴EF=BD.又∵EF∥AB,∴∠ADM=∠MEF.在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM,∴DM=EM.…………………………………………4分ABCDME图14-2F(2)成立;…………………………………………………………………………5分证明:过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F,………………………………6分∵AB=AC,∴∠ABC=∠C;又∵EF∥AB,∴∠ABC=∠EFC,∴∠EFC=∠C,∴EF=EC.又∵BD=EC,∴EF=BD.\n又∵EF∥AB,∴∠ADM=∠MEF.在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM;∴DM=EM;……………………………………8分(3).……………………………………………………………142。(2022江苏省徐州1模,22,8)已知:如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE,求证:AE=BD.【答案】证明:∵点C是线段AB的中点,----------------------------------------------------1分∴AC=BC,--------------------------------------------------------------------------------2分∵∠ACD=∠BCE,------------------------------------------------------------------------3分∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,---------------------------------------------------4分即∠ACE=∠BCD,------------------------------------------------------------------------5分在△ACE和△BCD中,,-----------------------------------6分∴△ACE≌△BCD(SAS),---------------------------------------------------------7分∴AE=BD.---------------------------------------------------------------------------------8分43。(2022吉林省长春市1模,24,7)\n【答案】44。(2022江苏省南京市1模,28,10)(1)如图1,已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ,连接CQ.①求证:△ABP≌△ACQ;②若AB=6,点D是AQ的中点,直接写出当点P由点B运动到点C时,点D运动路线的长.(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,FG=10.如图2,把△EFG绕点E旋转到△EF'G'的位置,点M是边EF'与边FG的交点,点N在边EG'上且EN=EM,连接GN.求点E到直线GN的距离.\n【答案】(1)①因为三角形ABC和三角形APQ是正三角形,所以AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ.所以∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC.所以∠BAP=∠CAQ.所以△ABP≌△ACQ.……………………3分②3……………………5分(2)解法一:过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.在△EFG中,易得EH=12.……………………6分类似(1)可证明△EFM≌△EGN,……………………7分所以∠EFM=∠EGN.因为∠EFG=∠EGF,所以∠EGF=∠EGN,所以GE是∠FGN的角平分线,……………………9分所以点E到直线FG和GN的距离相等,所以点E到直线GN的距离是12.……………10分解法二:过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.过点E作直线GN的垂线,点K为垂足.在△EFG中,易得EH=12.……………………6分类似(1)可证明△EFM≌△EGN,……………………7分所以,∠EFM=∠EGN.可证明△EFH≌△EGK,……………………9分所以,EH=EK.所以点E到直线GN的距离是12.………………10分解法三:把△EFG绕点E旋转,对应着点M在边FG上从点F开始运动.由题意,在运动过程中,点E到直线GN的距离不变.不失一般性,设∠EMF=90°.类似(1)可证明△EFM≌△EGN,所以,∠ENG=∠EMF=90°.求得EM=12.所以点E到直线GN的距离是12.(酌情赋分)45。(2022江苏省南京市高淳县1模,21,7)DC已知:如图,□ABCD\n中,∠BCD的平分线交AB于E,交DA的延长线于F.(1)求证:DF=DC;ABEF(第21题)(2)当DE⊥FC时,求证:AE=BE.【答案】证明:(1)∵FC平分∠BCD∴∠DCF=∠FCB………1分∵四边形ABCD为□∴FD∥BC∴∠DFC=∠FCB………2分∴∠DCF=∠DFCABCDEF∴DF=DC………3分(2)∵DF=DC,DE⊥FC∴FE=EC………4分∵四边形ABCD为□∴FD∥BC∴∠DFC=∠FCB又∵∠AEF=∠CEB∴△AFE≌△BCE………6分∴AE=BE………7分46。(2022江苏省南京市六合1模,20,7)已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是AC、AB边上的高,连接DE.求证:(1)△ABD≌△ACE;(2)四边形BCDE是等腰梯形.【答案】证明:(1)∵BD、CE分别是AC、AB边上的高∴∠ADB=∠AEC=90°.……………………1分又∵∠A=∠A,AB=AC,∴△ABD≌△ACE;……………………3分(2)由△ABD≌△ACE得AD=AE,则∠ADE=∠AED,故∠ADE= . ……………………4分∵AB=AC得∠ABC=∠ACB,故∠ACB= .……………………5分∴∠ADE=∠ACB.∴DE∥BC .……………………6分又∵AB–AE=AC–AD即BE=CD,∴四边形BCDE是等腰梯形.……………………7分\n47。(2022江苏省南京市玄武区1模,21,7)如图,平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,连接BE并延长交CD的延长线于点F.(1)求证:△ABE≌△DFE;(2)连接CE,当CE平分∠BCD时,求证:ED=FD.【答案】(1)证明:∵在□ABCD中,∴AB∥DF,∴∠A=∠FDE,ABCDEF(第21题图)∵E是AD中点,∴AE=DE,……………….2分在△BAE和△FDE中∠A=∠FDEAE=DE∠AEB=∠DEF∴△BAE≌△FDE…………………………….4分(2)∵在□ABCD中,∴AB=CD,AD∥BC∵△BAE≌△FDE,∴AB=DF∴DC=DF……………………………………..5分∵AD∥BC∴∠ECB=∠DEC∵EC平分∠BCF,∴∠ECB=∠ECF,∴∠DEC==∠DCE,∴DE=DC∴DE=DF…………………………………………..7分48。(2022江苏省南京市白下区1模,23,7)(7分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD是对角线.过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状并证明;(2)若AC=DB,求证:梯形ABCD是等腰梯形.【答案】解:(1)四边形ACED是平行四边形.………………………………………………1分证明:∵AD∥BC,DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形.…………………………………3分(2)证明:由(1)知四边形ACED是平行四边形,∴AC=DE.∵AC=DB,∴DE=DB.∴∠E=∠DBC.………………………………………………4分∵DE∥AC,∴∠E=∠ACB.∴∠ACB=∠DBC.………………………………5分又∵AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.………………………………………………6分\n∴AB=DC(或∠ABC=∠DCB).∴梯形ABCD是等腰梯形.…………………………………………7分49。(2022江苏省南京市鼓楼区1模,20,7)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E、F为AB上两点,且△DAF≌△CBE.求证:(1)∠A=90°;(2)四边形ABCD是矩形.ABCDOEF【答案】证明:(1)∵△DAF≌△CBE,∴∠A=∠B.……………………………1分∵AD//BC,∴∠A+∠B=180°.……………………………2分∴2∠A=180°.即∠A=90°.………………………………………………3分(2)∵△DAF≌△CBE,∴AD=BC.……………………………4分又∵AD//BC,∴四边形ABCD是平行四边形.……………………………6分∵∠A=90°,∴四边形ABCD是矩形.……………………………7分50。(2022江苏省南京市江宁区1模,21,6)如图,四边形是正方形,点在上,,垂足为,请你在上确定一点,使,请你写出两种确定点G的方案,并写出其中一种方案的具体作法和证明.方案一:;方案二:(1)作法:(2)证明:【答案】解:方案:(一)过点B作BG⊥AE,垂足为G;(二)在AE上截取AG=DF;(三)作交AE于点G;…………………………2分(注:其中任意一个均可作为方案一,另外再选择一个作为方案二)(作法正确)……………………………………………………………………………3分(2)①如果是过点B作BG⊥AE,垂足为G,证明如下:∵,BG⊥AE,∴.……………………………………………………………4分由题意知,∴.……………………………………………………………………5分∵四边形是正方形,∴AD=AB,\n在与中,,,AD=AB,∴(AAS).………………………………………………………6分②如果是在AE上截取AG=DF,证明如下:∵,AD⊥AE,∴∴.……………………………………………………………………4分∵四边形是正方形,∴AD=AB,……………………………………………5分在与中,AG=DF,,AD=AB,∴(SAS).………………………………………………………6分③如果作交AE于点G,证明如下:∵,AD⊥AE,∴∴.……………………………………………………………………4分∵四边形是正方形,∴AD=AB,……………………………………………5分在与中,,AD=AB,∴(ASA).………………………………………………………6分51。(2022江苏省南京市溧水县1模,21,7)写出下列命题的已知、求证,并完成证明过程.命题:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:“等角对等边”).已知:如图,____▲_____.求证:____▲_____.证明:第21题【答案】解:在△ABC中,∠B=∠C.………………………………………………………………1分AB=AC.……………………………………………………………………………2分证明:(略)…………………………………………………………………………7分52。(2022江苏省南京市溧水县1模,26,8)在平面上有且只有4个点,这4个点中有一个独特的性质:连结每两点可得到6条线段,这6条线段有且只有两种长度.我们把这四个点称作准等距点.例如正方形ABCD的四个顶点(如图1),有AB=BC=CD=DA,AC=BD.其实满足这样性质的图形有很多,如图2中A、B、C、O四个点,满足AB=BC=CA,OA=OB=OC\n;如图3中A、B、C、O四个点,满足OA=OB=OC=BC,AB=AC.ADBCAOCBAOCB(图1)(图2)(图3)(1)如图,若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点,且AD∥BC.①写出相等的线段(不再添加字母);②求∠BCD的度数.(2)请再画出一个四边形,使它的四个顶点为准等距点,并写出相等的线段.BCAD【答案】解:(1)①AB=DC=AD,AC=BD=BC.……………………………………………2分②∵AC=BD,AB=DC,BC=BC,∴△ABC≌△DCB,∴∠DBC=∠ACB,……3分∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∵DC=AD,∠DAC=∠ACD,∴∠ACD=∠ACB,………………………………4分∵BC=BD,∠BDC=∠BCD=2∠ACB,……………………………………………5分设∠ACB=x°,则∠BDC=∠BCD=2x°,∠DBC=x°,∴2x+2x+x=180,解得x=36,∴∠BCD=72°.…………………………………………………………………6分(2)或AB=BD=AD=AC,BC=CD.AB=BC=CD=BD=AD,AC,.……8分53。(2022江苏省南京市浦口区1模,19,6)如图,在和中,、交于点M.(1)求证:≌;(2)作交于点N,四边形BNCM是什么四边形?请证明你的结论.\n【答案】(1)在△ABC和△DCB中,AB=DC,AC=DB,BC为公共边.△ABC≌△DCB(SSS)……………………………………………………2分(2)四边形BNCM为菱形……………………………………………………3分△ABC≌△DCB∠DBC=∠ACB即MB=MC……………………………………………………4分BN‖AC,CN‖BD四边形BNCM为平行四边形.……………………………………………5分又MB=MC平行四边形BNCM为菱形.………………………………………………6分54。(2022江苏省南京市栖霞区1模,23,8)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC=30º,EF⊥AB,垂足为F,连结DF.求证:(1)△ABC≌△EAF;(2)四边形ADFE是平行四边形.【答案】(1)证明:∵△ABE为等边三角形∴AB=AE∵EF⊥AB∴∠AFE=90°,∠AEF=∠AEB=30°又∵∠BAC=30°,∠ACB=90°∴∠BAC=∠AEF,∠ACB=∠AFE………………2分∴△ABC≌△EAF………………3分(2)证明:∵△ABC≌△EAF∴AC=EF………………4分∵△ACD是等边三角形∴∠DAC=60°,AC=AD又∵∠BAC=30°∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=90°,AD=EF………6分又∵∠AFE=90°∴∠DAB=∠AFE∴AD∥EF………7分∴四边形ADFE是平行四边形………8分\n55。(2022江苏省南京市下关秦淮沿江区1模,28,10)(1)如图1,已知点P在正三角形ABC的边BC上,以AP为边作正三角形APQ,连接CQ.①求证:△ABP≌△ACQ;②若AB=6,点D是AQ的中点,直接写出当点P由点B运动到点C时,点D运动路线的长.(2)已知,△EFG中,EF=EG=13,FG=10.如图2,把△EFG绕点E旋转到△EF'G'的位置,点M是边EF'与边FG的交点,点N在边EG'上且EN=EM,连接GN.求点E到直线GN的距离.【答案】(1)①因为三角形ABC和三角形APQ是正三角形,所以AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ.所以∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC.所以∠BAP=∠CAQ.所以△ABP≌△ACQ.……………………3分②3……………………5分(2)解法一:过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.在△EFG中,易得EH=12.……………………6分类似(1)可证明△EFM≌△EGN,……………………7分所以∠EFM=∠EGN.因为∠EFG=∠EGF,所以∠EGF=∠EGN,所以GE是∠FGN的角平分线,……………………9分所以点E到直线FG和GN的距离相等,所以点E到直线GN的距离是12.……………10分解法二:过点E作底边FG的垂线,点H为垂足.过点E作直线GN的垂线,点K为垂足.在△EFG中,易得EH=12.……………………6分类似(1)可证明△EFM≌△EGN,……………………7分所以,∠EFM=∠EGN.\n可证明△EFH≌△EGK,……………………9分所以,EH=EK.所以点E到直线GN的距离是12.………………10分解法三:把△EFG绕点E旋转,对应着点M在边FG上从点F开始运动.由题意,在运动过程中,点E到直线GN的距离不变.不失一般性,设∠EMF=90°.类似(1)可证明△EFM≌△EGN,所以,∠ENG=∠EMF=90°.求得EM=12.所以点E到直线GN的距离是12.(酌情赋分)56。(2022北京1模,15,5)如图,是平行四边形对角线上两点,,求证:。DCABEF【答案】解:平行四边形中,,,.又,.在和中,57。(2022北京1模,19,5)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=5,E为DC中点,tanC=.求AE的长度.【答案】解:过点E作BC的垂线交BC于点F,交AD的延长线于点M.····1分\n在梯形ABCD中,AD∥BC,E是DC的中点,∴∠M=∠MFC,DE=CE.在△MDE和△FCE中,∠M=∠MFC,∠DEM=∠CEF,DE=CE.∴△MDE≌△FCE.∴EF=ME,DM=CF.···············3分∵AD=2,BC=5,∴DM=CF=.在Rt△FCE中,tanC==,∴EF=ME=2.························4分在Rt△AME中,AE=.········5分57。(2022北京市昌平区1模,19,5)16.如图,已知线段与相交于点,联结,为的中点,为的中点,联结.若∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:AB=DC.ODCABEF【答案】证明:∵∴OB=2OE,OC=2OF.…………………………1分∵∴OE=OF.………………………………………2分∴OB=OC.………………………………………3分∵∴△AOB≌△DOC.………………………………4分∴AB=DC.………………………………………5分58。(2022北京市朝阳区1模,15,5)\n【答案】(1)证明:∵AD∥BC,∴∠1=∠F.……………………………1分∵点E是AB的中点,∴BE=AE.………………………………2分在△BCE和△AFE中,∠1=∠F,∠3=∠2,BE=AE,∴△BCE≌△AFE.………………………………………………………3分(2)相等,………………………………………………………………………………4分平行.………………………………………………………………………………5分59。(2022北京市大兴区1模,15,5)已知,在△ABC中,DE∥AB,FG∥AC,BE=GC.求证:DE=FB.【答案】证明:∵DE∥AB∴∠B=∠DEC………………………………1分又∵FG∥AC∴∠FGB=∠C∵BE=GC…………………………2分∴BE+EG=GC+EG即BG=EC…………………………3分在△FBG和△DEC中\n∴△FBG≌△DEC……………………4分∴DE=FB…………………5分60。(2022北京市东城区1模,16,5)如图,在四边形ABCD中,AC是∠DAE的平分线,DA∥CE,∠AEB=∠CEB.求证:AB=CB【答案】231证明:∵AC是∠DAE的平分线,∴∠1=∠2.-------1分又∵AD∥EC,∴∠2=∠3.------2分∴∠1=∠3.∴AE=CE.--------3分在△ABE和△CBE中,AE=CE,∠AEB=∠CEB,BE=BE,∴△ABE≌△CBE.--------4分∴AB=CB.------5分61。(2022北京市房山区1模,15,5)如图,A、B、C三点在同一条直线上,AB=2BC,分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN,联结FN,EC.求证:FN=EC\n(15题图)【答案】证明:在正方形ABEF和正方形BCMN中AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°-----------------------------------------------2分∵AB=2BC∴EN=BC-------------------------------------------------------------------------------3分∴△FNE≌△EBC---------------------------------------------------------------------------------4分∴FN=EC-------------------------------------------------------------------------------------------5分62。(2022北京市房山区1模,25,7)已知:等边三角形ABC(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;图1图2(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°.求证:PA+PD+PC>BD【答案】猜想:AP=BP+PC------------------------------1分\n(1)证明:延长BP至E,使PE=PC,联结CE∵∠BPC=120°∴∠CPE=60°,又PE=PC∴△CPE为等边三角形∴CP=PE=CE,∠PCE=60°∵△ABC为等边三角形∴AC=BC,∠BCA=60°∴∠ACB=∠PCE,∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP即:∠ACP=∠BCE∴△ACP≌△BCE∴AP=BE---------------------------------------------------------------------------2分∵BE=BP+PE∴AP=BP+PC----------------------------------------------------------------------------3分(2)方法一:在AD外侧作等边△AB′D----------------------------------------------------------4分则点P在三角形ADB′外 ∵∠APD=120°∴由(1)得PB′=AP+PD在△PB′C中,有PB′+PC>CB′,∴PA+PD+PC>CB′------------------------------------5分∵△AB′D、△ABC是等边三角形∴AC=AB,AB′=AD,∠BAC=∠DAB′=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD即:∠BAD=∠CAB′∴△AB′C≌△ADB∴CB′=BD------------------------------------------------------------------------6分∴PA+PD+PC>BD-------------------------------------------------------------------------7分方法二:延长DP到M使PM=PA,联结AM、BM∵∠APD=120°,∴△APM是等边三角形,-----------------------------4分∴AM=AP,∠PAM=60°∴DM=PD+PA------------------------------5分∵△ABC是等边三角形∴AB=AC,∠BAC=60°\n∴△AMB≌△APC∴BM=PC---------------------------------------------------------------------------------6分在△BDM中,有DM+BM>BD,∴PA+PD+PC>BD----------------------------------------------------------------------------7分63。(2022北京市丰台区1模,15,5)已知:如图,∠B=∠D,∠DAB=∠EAC,AB=AD.求证:BC=DE.【答案】证明:∵∠DAB=∠EAC∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE∵即∠DAE=∠BAC………………………1’在△DAE和△BAC中…………………………4’∴BC=DE…………………………………5’64。(2022北京市海淀区1模,15,5)如图,点C、D在线段AB上,E、F在AB同侧,DE与CF相交于点O,且AC=BD,CO=DO,.求证:AE=BF.【答案】证明:在△COD中,∵CO=DO,∴∠ODC=∠OCD.…………………………….……………………………1分∵AC=BD,∴AD=BC.…………………………….……………………………2分在△ADE和△BCF中,\n∵∴△ADE≌△BCF.…………………………….……………………………4分∴AE=BF.…………………………….……………………………5分65。(2022北京市怀柔区1模,15,5)如图,已知:BF=DE,∠1=2,∠3=∠4求证:AE=CF.【答案】证明:∵BF=DEEF=EF∴BF-EF=DE-EF∴BE=DF………………………1分在△ABE和△CDF中∵∴△ABE≌△CDF……………………………………4分∴AE=CF.…………………………………5分66。(2022北京市门头沟区1模,15,5)已知:如图,EF∥BC,点F、点C在AD上,AF=DC,EF=BC.ABCFED【答案】证明:∵,∴.…………………………1分,∴.…………………2分\n在△与△中,∴.………………………………………………4分∴AB=DE.………………………………………………………………5分67。(2022北京市密云县1模,16,5)已知:如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,求证:∠BAE=∠DCF.【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB=CD…1分∴∠ABE=∠CDF………2分又∵AE⊥BD,CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=900…3分∴Rt△ABE≌Rt△CDF…4分∴∠BAE=∠DCF……….5分68。(2022北京市平谷区1模,15,5)已知:如图,在上,.求证:△ABC≌DEF.ABCFED【答案】证明:,.………………………………1分.…………………………….2分又,,即.………..3分在△ABC与△DEF中,…………………………………………………………………4分.………………………………………………………………………5分69。(2022北京市石景山区1模,15,5)如图,在△中,,于\n,点在线段上,,点在线段上,请你从以下两个条件中选择一个作为条件,证明△≌△.(1)∥;(2).【答案】情况一、添加条件://证明:∵∥∴…………………………………1分∵,∴∴…………………………2分∴…………………………3分在和中∴≌………………………………………………5分情况二、添加条件:证明:过点作于……………………………………………1分∵,∴…………………………………2分在和中∵∴≌…………………………………………3分∴…………………………………………………………4分在和中∴≌…………………………………………………………5分70。(2022北京市顺义区1模,16,5)已知:如图,中,,于,于,与相交于点.求证:;【答案】证明:∵∴--------1分\n∵∴∴----------------------2分∵∴∴∵∴∴----------------3分在和中∴≌------------------4分∴--------------------------5分71。(2022北京市通州区1模,16,5)已知:如图,,,是经过点的一条直线,过点、B分别作、,垂足为E、F,求证:.【答案】证明:,.......................................(1分).........................................(2分)在和中.......................................................(3分)≌().....................................(4分).........................................................(5分\n72。(2022北京市通州区1模,20,5)已知,如图,矩形绕着它的对称中心O按照顺时针方向旋转60°后得到矩形DFBE,连接AF,CE.请你判断四边形AFED是我们学习过的哪种特殊四边形,并加以证明.【答案】解:判断:等腰梯形........................................................(1分)证明:连结、依题意可知:,AO=OD=OE=OF................(2分)是矩形的对角线点在一条直线上,都是等边三角形,且≌≌…………………………….(3分)==,且…………………………….(4分)四边形是等腰梯形…………………………….(5分)73。(2022北京市西城区1模,16,5)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF平分∠ABC,AF∥DC,连接AC,CF.求证:(1)AF=CF;(2)CA平分∠DCF.【答案】证明:如图2.(1)∵平分,∴.………………1分\n在△ABF与△CBF中,∴△ABF≌△CBF.………………………………………………………2分∴.………………………………………………………………3分(2)∵,∴.………………………………………………………4分∵∥,∴.∴,即平分.………………………………5分74。(2022北京市延庆县1模,15,5)如图,,,,交于点.求证:.【答案】证明:∵………………1分∴即:在………………4分………………5分∴∴75。(2022北京市燕山区1模,15,5)已知:如图,点D在AB的延长线上,AB=DE,∠A=∠CBE=∠E.判断△ABC和△BDE是否全等?并证明你的结论.\n【答案】全等……………………………………………1分证明:∵∠CBE=∠E,∴BC∥DE.…………………………………………2分又∵点D在AB的延长线上,∴∠CBA=∠D.……………………………………3分在△ABC和△EDB中,又∵∠A=∠E,AB=DE,……………………………………4分∴△ABC≌△EDB.………………………………5分76。(2022江苏省常熟市1模,24,7)如图,正方形ABCD,动点E在AC上,AF⊥AC,垂足为A,AF=AE.(1)求证:BF=DE;(2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变),问四边形AFBE是什么特殊四边形?说明理由.【答案】77。(2022江苏东台市1模,28,12)\n【答案】78。(2022江苏省阜宁1模,22,9)如图,在△中,,于,点在线段上,,点在线段上,请你从以下两个条件中选择一个作为条件,证明△≌△.(1)∥;(2).\n【答案】情况一、添加条件://证明:∵∥∴∵,∴∴∴在和中∴≌情况二、添加条件:证明:过点作于∵,∴在和中∵∴≌∴在和中∴≌\n79。(2022江苏省阜宁县1模,28,9)已知:如图,在梯形ABCD中,∠BCD=90°,tan∠ADC=2,点E在梯形内,点F在梯形外,,∠EDC=∠FBC,且DE=BF.(1)判断△ECF的形状特点,并证明你的结论;(2)若∠BEC=135°,求∠BFE的正弦值.H【答案】28.⑴是等腰直角三角形.证明:作AH⊥CD于H,∵梯形ABCD中,∠BCD=90°,tan∠ADC=2,即∠ADC≠90°.∴AB∥CD,AH=BC,AB=CH.又∵,即CH+DH=2AB=2CH∴DH=CH,CD=2DH.∵tan∠ADC==2,∴AH=2DH=CD=BC.在△EDC和△FBC中,又∵∠EDC=∠FBC,DE=BF,∴△EDC≌△FBC.∴CE=CF,∠ECD=∠FCB.∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°,∴∠FCB+∠ECB=90°,即∠ECF=90°.∴△ECF是等腰直角三角形.⑵∵在等腰Rt△ECF中,∠ECF=90°,\n∴∠CEF=45°,CE=EF.又∵∠BEC=135°,=0.5,∴∠BEF=90°,=.不妨设BE=,EF=4,则BF=.∴sin∠BFE===.80。(2022江苏省张家港市1模,22,6)如图,在矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC.(1)求证:△AEF≌△DCE;(2)若矩形ABCD的周长为32cm,DE=4cm,求AE的长.【答案】81。(2022河北省邢台市1模,24,10)\n【答案】82。(2022安徽省淮北市1模,20,10)20.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,F、G分别为边BC、CD的中点,连接AF,FG,过D作DE∥GF交AF于点E。(1)证明△AED≌△CGF(2)若梯形ABCD为直角梯形,判断四边形DEFG是什么特殊四边形?并证明你的结论。\nG【答案】(1)证明;∵BC=2AD、点F为BC中点∴CF=AD.............................................................1分∵AD∥CF∴四边形AFCD为平行四边形∴∠FAD=∠C ....................................................2分∵DE∥FG∴∠DEA=∠AFG∵AF∥CD∴∠AFG=∠FGC...........................................3分∴∠DEA=∠FGC.....................................................4分∴△AED≌△CGF ......................................................5分(2)连结DF易证四边形ADCF是平行四边形,四边形ABFD是矩形.......................7分又因为点E,G分别为AF,CD的中点所以DE=EF=FG=GD即四边形DEFG是菱形。.............................10分83。(2022广东省从化市1模,18,9)已知:如图6,E,F分别是平行四边形ABCD的边AD,BC的中点.求证:AF=CE.ADEFBC图6【答案】方法1:∵ 四边形ABCD是平行四边形,且E,F分别是AD,BC的中点,∴ AE=CF.…………2分又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ AD∥BC,即AE∥CF.…………4分∴ 四边形AFCE是平行四边形.…………7分∴ AF=CE.…………9分方法2:∵ 四边形ABCD是平行四边形,且E,F分别是AD,BC的中点,∴BF=DE.…………2分又∵四边形ABCD是平行四边形,∴ ∠B=∠D,AB=CD.…………4分∴ △ABF≌△CDE.…………7分∴ AF=CE.…………9分\n84。(2022河南省1模,17,9)如图,在中,为的中点,连接并延长交的延长线于点.(1)求证:;(2)当与满足什么数量关系时,四边形是矩形,并说明理由.【答案】解:(1)证明:∵四边形是平行四边形∴∴∵为的中点∴∴∴∴四边形为平行四边形∴…………………………4分(2)解:当时,四边形是矩形.…………………6分理由如下:∵∴∵四边形是平行四边形∴∴∵四边形是平行四边形∴四边形是矩形…………………………985。(2022江苏省通州市1模,21,8)如图,在△ABC中,AB=AC,点O是BC的中点,连结AO,在AO的延长线上取一点D,连结BD,CD.(1)求证:△ABD≌△ACD;(2)当AO与AD满足什么数量关系时,四边形ABDC是菱形?并说明理由.\n(第21题)ABCDO【答案】证明:(1)∵AB=AC,点O为BC的中点,∴∠BAO=∠CAO.……………………………2分∵AD=AD,∴△ABD≌△ACD.……………………………3分(2)当AD=2AO时,四边形ABDC是菱形.………………………………5分理由如下:∵AD=2AO,∴AO=DO.又点O为BC中点,∴BO=CO.∴四边形ABDC为平行四边形.……………………………7分∵AB=AC,∴四边形ABDC为菱形.……………………8分86。(2022江苏省如皋市1模,21,8)如图,点E,C在线段BF上,BE=CF,请在下列四个等式中,①AB=DE,②∠ACB=∠F,③∠A=∠D,④AC=DF.选出两个作为条件,推出△ABC≌△DEF.并予以证明.选出的条件为:▲,▲CEBFDA(第21题)(写出一种即可).证明:【答案】已知:①④(或②③、或②④)………………………………2分证明:若选①④∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.………………………4分在△ABC和△DEF中AB=DE,BC=EF,AC=DF.…………………………7分∴△ABC≌△DEF.……………………8分87。(2022江苏省泰州市1模,20,8)已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF\n平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证:(1)△BFC≌△DFC;(2)AD=DE.【答案】.(1)△BFC≌△DFC(SAS)…………………………………4分(2)延长DF,交BC于点G……………………………5分证四边形ABGD为平行四边形,得AD=BG…………………………6分再证△BFG≌△DFE(ASA),得BG=DE……………………………7分得证:AD=DE………………………………8分88。(2022江苏省泰兴市洋思1模,21,8)如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连结CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于点F.试问:(1)图中△APD与哪个三角形全等?并说明理由.(2)猜想:线段PC、PE、PF之间存在什么关系?并说明理由.【答案】(1)△CPD 理由略(2)PC2=PE·PF 理由略89。(2022内蒙古乌海二中1模,18②,5)如图,四边形ABCD是菱形,点E、F分别是边AD、CD的中点.求证:BE=BF.(本小题满分5分)A第18题图BCDEF【答案】证明:∵四边形ABCD是菱形,\n∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠C,2分∵点E、F分别是边AD、CD的中点,∴AE=,CF=,∴AE=CF,3分∴△ABE≌△CBF,4分∴BE=BF.5分90。(2022山东省宁阳县1模,15,5)已知:如图,在上,.求证:△ABC≌DEF.ABCFED【答案】证明:,.………………………………1分.…………………………….2分又,,即.………..3分在△ABC与△DEF中,…………………………………………………………………4分.………………………………………………………………………5分91。(2022上海市长宁区1模,24,12)如图,AD//BC,点E、F在BC上,∠1=∠2,AF⊥DE,垂足为点O.(1)求证:四边形AEFD是菱形;(2)若BE=EF=FC,求∠BAD+∠ADC的度数;(3)若BE=EF=FC,设AB=m,CD=n,求四边形ABCD的面积.\n【答案】(1)(4分)证明:(方法一)∵AF⊥DE∴∠1+∠3=90°即:∠3=90°-∠1∴∠2+∠4=90°即:∠4=90°-∠2又∵∠1=∠2∴∠3=∠4∴AE=EF∵AD//BC∴∠2=∠5∵∠1=∠2∴∠1=∠5∴AE=AD∴EF=AD2分∵AD//EF∴四边形AEFD是平行四边形1分又∵AE=AD∴四边形AEFD是菱形1分(方法二)∵AD//BC∴∠2=∠5∵∠1=∠2∴∠1=∠5∵AF⊥DE∴∠AOE=∠AOD=90°在△AEO和△ADO中∴△AEO△ADO∴EO=OD6在△AEO和△FEO中∴△AEO△FEO∴AO=FO2分∴AF与ED互相平分1分∴四边形AEFD是平行四边形又∵AF⊥DE∴四边形AEFD是菱形1分(2)(5分)∵菱形AEFD∴AD=EF∵BE=EF∴AD=BE又∵AD//BC∴四边形ABED是平行四边形1分∴AB//DE∴∠BAF=∠EOF同理可知四边形AFCD是平行四边形∴AF//DC∴∠EDC=∠EOF又∵AF⊥ED∴∠EOF=∠AOD=90°∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90°2分∴∠5+∠6=90°1分∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6+∠5+∠EDC=270°1分(3)(3分)由(2)知∠BAF=90°平行四边形AFCD∴AF=CD=n\n又∵AB=m1分由(2)知平行四边形ABED∴DE=AB=m由(1)知OD=1分1分92。(2022上海市金山区1模,23,12)DCAAAEAB已知:如图,在中,°,是直角边的垂直平分线,,连接求证:(1)四边形是梯形(2)【答案】(1)证明:∵是的垂直平分线∴(1分)∴(1分)∵∴(1分)∴∥(1分)∵与不平行(1分)∴四边形是梯形(1分)(2)延长交于(1分)∵∴(1分)∴(1分)∵∴∥∴四边形是平行四边形(1分)∴(1分)∴(1分)93。(2022浙江省义乌市1模,19,6)已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F,且AF=DC,连结CF.\n(1)求证:D是BC的中点;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.AECBFD【答案】(1)证明:是的中点,-(1分)即:D是BC的中点;(3分)(2)四边形ADCF是矩形(4分),四边形ADCF是平行四边形即∴平行四边形ADCF是矩形(6分)94。(2022河南郑州1模,17,9)如图,四边形ABCD中,BD>AC,∠ACB=∠DBC,∠BAC+∠BDC=180º,E为BD上一点,BE=AC,判断△EDC的形状,并证明你的结论.BCEDA【答案】解:△EDC是等腰三角形;--------------------------------------------------2分证明如下:在△ABC和△ECB中,\n∴△ABC≌△ECB(SAS).-------------------------------------------------6分∴∠BAC=∠CEB.又∵∠BAC+∠BDC=180°,∠CEB+∠DEC=180°,∴∠DEC=∠BDC.∴CE=CD.即△EDC是等腰三角形.------------------9分95。(2022山东省淄博市1模,23,10)如图,在菱形中,是上的一个动点(不与重合),连接交对角线于,连接.(1)求证:;(2)若,试问点运动到什么位置时的面积等于菱形面积的?为什么?ABDCEP【答案】证明:(1)四边形是菱形,,………….1’ABDCEP平分.而,……………………………..2’.又,………………………………..4’………………………………………5’(2)当点运动到边的中点时,的面积等于菱形面积的.………………..6’连接.,,ABDCP是等边三角形………………………………………………7’而是边的中点,\n,......................................8’,即的面积等于菱形面积的.…………………………10’96。(2022辽宁省大连市1模,19,9)如图9,四边形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点E、F在BC上,且∠FAB=∠EDC.求证:BE=FC.ABCDEF图9【答案】证明:∵AD∥BC,AB=DC,∴∠B=∠C………………………………………3分又∵∠FAB=∠EDC∴△ABF≌△DCE………………………………6分∴BF=CE………………………………………8分∴BF-EF=CE-EF即BE=FC………………………………………9分97。(2022江苏省靖江市1模,21,8)(本题满分12分)如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为▲,数量关系为▲.②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90o点D在线段BC上运动.试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?并说明理由.\n【答案】解:(1)①CF⊥BD,CF=BD…………………………………2分②成立,理由如下:…………………………………3分∵∠FAD=∠BAC=90°∴∠BAD=∠CAF又BA=CAAD=AF∴△BAD≌△CAF…………………………………5分∴CF=BD∠ACF=∠ACB=45°∴∠BCF=90°∴CF⊥BD…………………………………7分(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:…………………………………8分过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G……………………9分则∵∠ACB=45°∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°∵AG=AC,AD=AF∴△GAD≌△CAF(SAS)………10分∴∠ACF=∠AGD=45°∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°∴CF⊥BC…………12分98。(2022河北省石家庄市1模,24,10)(本小题满分10分)已知,等腰Rt△ABC中,点O是斜边的中点,△MPN是直角三角形,固定△ABC,滑动△MPN,在滑动过程中始终保持点P在AC上,且PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为E、F.(1)如图1,当点P与点O重合时,OE、OF的数量和位置关系分别是______.(2)当△MPN移动到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(3)如图3,等腰Rt△ABC的腰长为6,点P在AC的延长线上时,Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E,直线BC与直线NP交于点F,OE交BC于点H,且EH:图1ABCOMNEF(P)ABCOMNEFP图2ABCOMNEFP图3HHO=2:5,则BE的长是多少?【答案】(1)数量关系:相等,位置关系:垂直.(2)成立,易证△OEB≌△OFC;(3).99.(2022广东省清远市1模,18,6)如图4,点D是△ABC中BC边上的中点,DF⊥AC,DE⊥AB,垂足分别为E、F,且BE=CF.求证:(1)△ABC是等腰三角形;(2)当∠A=90°时,试判断四边形\nAEDF是怎样的四边形,证明你的结论.ABCDEF图4【答案】(1)证明:∵DF⊥AC,DE⊥AB∴∠DEB=∠DFC=90°.……………………(1分)∵D是BC边上的中点,∴BD=CD,∵BE=CF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),………………………(2分)∴∠B=∠C,∴△ABC是等到腰三角形.………………………(3分)(2)正方形.………………………(4分)证明:连结AD,∵∠BAC=∠DEA=∠DFA=90°,∴四边形AEDF是矩形,…………………(5分)∵AD是中线,△ABC是等腰三角形,∴AD是∠BAC的平分线,∴DE=DF,∴四边形AEDF是正方形………………………(6分)100.(2022·广东省清远市2模,19,6)如图2,矩形的两条对角线和相交于点,、是上的两点,且.求证:四边形是平行四边形.ABCDOEF图2【答案】证明:∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD,AB=CD……………………………………………(1分)∴又∵∠AEB∠CFD∴△ABE≌△CDF……………………………………………(3分)∴BE=DF……………………………………………(4分)又∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC,OB=OD∴OB-BE=OD–DF∴OE=OF………………………(5分)∴四边形AECF是平行四边形…………………………………(6分)101.(2022福建省泉州市1模,21,9)如图,与都是等腰直角三角形,,连结、.求证:≌.\n【答案】证明:与都是等腰直角三角形…………(4分)又即……………………(8分)∴≌……………………(9分)102.(2022广东省惠州市1模,16,7)如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E、F,求证:∠BAE=∠DCF。第16题图FEDCBA【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB=CD…………………………2分∴∠ABE=∠CDF………………………………3分又∵AE⊥BD,CF⊥BD∴∠AEB=∠CFD=900………………………4分∴Rt△ABE≌Rt△CDF………………………6分∴∠BAE=∠DCF……………………………7分103.(2022广东省汕头市1模,22,12)如图①,△ABC是等边三角形,D、E分别为边BC和AC上的点,且BD=CE,过D作BE的平行线,过E作BC的平行线,它们交于点F,连接AF.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)试判断△ADF的形状,并说明理由;(3)若将D、E分别移为边CB的延长线和AC的延长线上的点,其它条件不变(如图②),则△ADF的形状是否改变,说明理由。\nEABCFD图①EABCFD图②【答案】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAE=∠C=60°,AB=AC=BC.∵BD=CE,∴AC-CE=BC-BD.∴AE=CD.又AB=AC,∴△ABE≌△CAD;……………………3分(2)△ADF是等边三角形,理由如下:……………4分EABCFD第22题图②1234∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.∵DF∥BE,EF∥BC,∴∠1=∠2,四边形BDFE是平行四边形.∴BE=DF.…………………5分∵△ABE≌△CAD,∴∠4=∠5,BE=AD.∴DF=AD.∵∠1=∠3+∠4,∴∠2=∠3+∠5=∠BAC=60°.………6分∴△ADF是等边三角形.……………………7分(3)△ADF仍是等边三角形,理由如下:…………………8分∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠BAE=∠C=60°,AB=BC.∴∠ABD=∠BCD=180°-120°.∵BD=CE,∴△ABD≌△BCE.∴∠1=∠3,BE=AD.……………9分∵DF∥BE,EF∥BC,∴∠1=∠2,四边形BDFE是平行四边形.∴BE=DF.∴DF=AD.…………………………10分∵∠3+∠4=∠ABC=60°,∴∠2+∠4=60°即∠ADF=60°∴△ADF是等边三角形.…………………………………12分104.(2022广东省实验中学1模,18,9)如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,BE=CF,∠B=∠1.求证:AC=DF.1FEDCBA\n【答案】证明:∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.……………………………………………………………………2分在△ABC和△DEF中,…………………………………………………………………………5分∴△ABC≌△DEF…………………………………………………………………………7分∴AC=DF…………………………………………………………………………………9分105.(2022广东省实验中学1模,24,14)在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角得交AC于点E,分别交AC、BC于D、F两点.(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段与有怎样的数量关系?并证明你的结论;(2)如图2,当时,试判断四边形的形状,并说明理由;(3)在(2)的情况下,求的长.24题(1)(2)ADBECFADBECF【答案】解:(1)(1分)证明:(证法一)由旋转可知,∴(4分)∴又∴即(6分)(证法二)由旋转可知,而\n∴(4分)∴∴即(6分)(2)四边形是菱形.(7分)证明:同理∴四边形是平行四边形.(9分)又∴四边形是菱形.(10分)(3)(解法一)过点作于点,则ADBECFG在中,……(12分)由(2)知四边形是菱形,∴∴(14分)(解法二)∴在中,(12分)∴……………………………………………………(14分)106.(2022广东省四会市1模,18,6)已知:如图7,E,F分别是□ABCD的边AD,BC的中点.求证:AF=CE.ADEFBC图7【答案】.证明:方法1:∵ 四边形ABCD是平行四边形,且E,F分别是AD,BC的中点,\nEDA∴ AE=CF.……2分又∵四边形ABCD是平行四边形, CBF∴ AD∥BC,即AE∥CF.……4分∴ 四边形AFCE是平行四边形.……5分∴ AF=CE.……6分方法2:∵ 四边形ABCD是平行四边形,且E,F分别是AD,BC的中点,∴BF=DE.……2分又∵四边形ABCD是平行四边形,∴ ∠B=∠D,AB=CD.∴ △ABF≌△CDE.……5分∴ AF=CE.……6分107.(2022广东省四会市1模,22,8)如图9,四边形ABCD是边长为a的正方形,点G,E分别是边AB,BC的中点,∠AEF=90o,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)证明:∠BAE=∠FEC;(2)证明:△AGE≌△ECF;【答案】(1)证明:∵∠AEF=90o,∴∠FEC+∠AEB=90o.………………………………………1分在Rt△ABE中,∠AEB+∠BAE=90o,…………………2分∴∠BAE=∠FEC;……………………………………………3分(2)证明:∵G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的中点,\n∴AG=GB=BE=EC=…………………4分且∠AGE=180o-45o=135o.…………………………5分又∵CF是∠DCH的平分线,∠ECF=90o+45o=135o.……………………………………6分在△AGE和△ECF中,…………………7分∴△AGE≌△ECF;…………………………………………8分108.(2022海南省1模,23,11)如图13所示,已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点,点E从B点向D点运动(与B、D不重合),过点E作直线GH平行于BC,交AB于点G,交CD于点H,EF⊥AE于点E,交CD(或CD的延长线)于点F. (1)如图13(1),求证:△AGE≌△EHF; (2)点E在运动的过程中(图13(1)、图13(2)),四边形AFHG的面积是否发生变化?请说明理由.图13(1)图13(2)【答案】(1)∵四边形ABCD是正方形,BD是对角线,且GH∥BC, ∴四边形AGHD和四边形GHCB都是矩形, △GEB和△HDE都是等腰直角三角形.∴∠AGE=∠EHF=90°,GH=BC=AB,EG=BG∴GH-EG=AB-BG即EH=AG ∴∠EFH+∠FEH=90° 又∵EF⊥AE,∴∠AEG+∠FEH=90°. ∴∠EFH=∠AEG∴△AGE≌△EHF\n (2)四边形AFHG的面积没有发生变化 (i)当点E运动到BD的中点时,四边形AFHG是矩形,S四边形AFHG=(ii)当点E不在BD的中点时,点E在运动(与点B、D不重合)的过程中,四边形AFHG是直角梯形. 由(1)知,△AGE≌△EHF 同理,图13(2),△AGE≌△EHF ∴FH=EG=BG.∴FH+AG=BG+AG=AB=1这时,S四边形AFHG=(FH+AG)·GH=综合(i)、(ii)可知四边形AFNM的面积没有发生改变,都是。109.(2022海南省1模,17,9)如图,已知△ABC中,AB=AC,∠A<90º,CD、BE分别为△ABC的中线,AF⊥CD,AG⊥BE,分别交CD、BE的延长线于F、G两点,试问:(1)AF与AG相等吗?为什么?(2)当∠A=90º时,其余条件不变,猜想AFAG(用>,=,<填空).(3)当∠A>90º时,其余条件不变,猜想AFAG(用>,=,<填空).(4)通过本题,你可以得到怎样的结论?请用文字叙述.【答案】解:(1)AF=AG.理由如下:………1分∵AB=AC,CD、BE分别为△ABC的中线,∴AD=AE.在△ADC和△AEB中,\n∴△ADC≌△AEB.………3分∴∠ACD=∠ABE.又∵∠AFC=∠AGB=90º,AC=AB,∴△ACF≌△ABG.∴AF=AG.………5分(2)=………6分(3)=………7分(4)等腰三角形的顶点到两腰中线所在的直线的距离相等.………9分110.(2022海南省1模,17,9)如图,EB=EG,请从下面三个条件:①DE=DF;②AB=AC;③BE=CF中,再选两个作为已知条件,另一个作为结论,写出一个真命题(只需写出一种情况),并加以证明.已知:EB=EG,,.求证:.证明:ABCDEFG【答案】17.已知:EB=EG,②AB=AC,③BE=CF.求证:①DE=DF.……………………………………………………………2分证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵BE=EG,∴∠B=∠EGB∴∠EGB=∠ACB∴EG∥AF………………………………………………………5分∴∠DEG=∠F,∠EDG=∠FCDB∵BE=CF,∴EG=CF.∴△EDG≌△FDC,…………………………………………………………………8分\n∴DE=DF.(答案不唯一,正确即可参照给分)…………………………………9分111.(2022河南省1模,19,9)19.(9分)如图,ABCD为正方形,E为BC边上一点,且AE=DE,AE与对角线BD交于点F,连接CF,交ED于点G.判断CF与ED的位置关系,并说明理由.ABCDFEG【答案】解:垂直.………………………………………1分理由:∵四边形ABCD为正方形∴∠ABD=∠CBD,AB=BC∵BF=BF∴△ABF≌△CBF∴∠BAF=∠BCF………………………………………4分∵在RT△ABE和△DCE中,AE=DE,AB=DC∴RT△ABE≌△DCE∴∠BAE=∠CDE∴∠BCF=∠CDE………………………………………6分∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠BCF+∠DEC=90°∴DE⊥CF.………………………………………9分112.(2022河南省1模,17,9)如图,五边形ABCDE中,点F是CD的中点,且AF⊥CD,BC=ED,∠BCD=∠EDC.(1)求证:AB=AE;(2)连接BE,请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系?(只需写出结论,不必证明).\nABCDEF【答案】(1)证明:连接AC、AD…………………1分∵点F是CD的中点,且AF⊥CD,∴AC=AD…………………2分∴∠ACD=∠ADC…………………3分∵∠BCD=∠EDC,∴∠ACB=∠ADE…………………4分∵BC=DE,AC=AD∴△ABC≌△AED…………………6分∴AB=AE…………………8分(2)BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE.…………………9分113.(2022河南省1模,17,9)如图,将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置,EF交AB于M,GF交BD于N.请猜想BM与FN有怎样的数量关系?并证明你的结论.【答案】17.BM=FN……………1分证明:在正方形ABCD中,BD为对角线,O为对称中心,∴BO=DO,∠BDA=∠DBA=45°.……………3分∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得,∴FO=DO,∠F=∠BDA∴OB=OF,∠OBM=∠OFN…………………………5分\n在△OMB和△ONF中∴△OBM≌△OFN…………………………8分∴BM=FN…………………………9分114.(2022河南省1模,17,8)已知:如图,B、C、E三点在同一条直线上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.求证:(1)BC=DE;(2)若BE=5,AC=2,求DE的长.BCEAD【答案】证明:∵AC∥DE,∴∠ACD=∠D,∠BCA=∠E…………………2分又∵∠ACD=∠B,∴∠B=∠D……………………3分又∵AC=CE,∴△ABC≌△CDE……………………4分∴BC=DE……………………5分(2)∵△ABC≌△CDE∴BC=DE,AC=CE……………………6分∵BE=BC+CE∴BE=DE+AC∴DE=BE-AC……………………7分∵BE=5,AC=2∴DE=5-2=3……………………8分115.(2022河南省新密市1模,17,9)如图,线段AC、BD相较于点E,∠AEB的平分线交AB于点F,AD=BC,AC=BD,\n(1)请你在答题卷的图中作出点F(要求用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不证明)(2)求证:AF=FB.DCAEB【答案】.解:作图痕迹正确.---------------------------------------------2分(1)作法:①以E为圆心,适当长为半径画弧别交EA、EB于点M、N;②分别以M、N为圆心,相同的长为半径画弧交于点T;③连接直线ET与AB的交点就是所求的点F.----------------4分⑵证明:∵在△ABD≌△BAC中,AD=BC,AC=BD,AB=BA∴△ABD≌△BAC.---------------------------------------7分∴∠DBA=∠CBA,∴EA=AB--------------------------------8分∵EF平分∠AEB,∴F是AB的中点.即AF=FB---------------9分116.(2022湖北省黄冈中学1模,18,6))如图,菱形ABCD的边长为2,对角线BD=2,E、F分别是AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.(1)求证:△BDE≌△BCF;(2)判断△BEF的形状,并说明理由,同时指出△BCF是由△BDE经过怎样的变换得到?【答案】证明:(1)∵菱形ABCD的边长为2,BD=2,∴BD=BC,且∠BDE=∠BCF=60°.∵AE+CF=2,又∵AE+DE=AD=2,∴DE=CF,∴△BDE≌△BCF.(2)△BEF是等边三角形.理由如下:由(1)得:△BDE≌△BCF,∴BE=BF,∠CBF=∠DBE,∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°,\n∴△BEF是等边三角形,△BCF是由△BDE绕点B顺时针旋转60°得到.117.(2022湖北省像样市1模,19,11)如图1,四边形ABCD是正方形,G在BC的延长线上,点E是边BC上的任意一点(不与B、C重合),∠AEF=90°,且AE=EF,连接CF.(1)求证:∠FCG=45°;(2)如图2,当四边形ABCD是矩形,且AB=2AD时,点E是边BC上的任意一点(不与B、C重合),∠AEF=90°,且AE=2EF,连接CF,求tan∠FCG的值.BADFGCE图1书BCFDAE图2书G【答案】(1)证明:过F作FH⊥CG于H,……(1分)在正方形ABCD中,∠ABE=900,AB=BC,∵∠AEF=900,∴∠AEB+∠FEH=900,又∵∠BAE+∠AEB=900∴∠BAE=∠FEH……(3分)又∵∠ABE=∠FHE,AE=EF,∴△ABE≌△EHF……(4分)∴BE=FH,AB=EH=BC,∴BE=CH=FH,∴△FCH是等腰直角三角形∴∠FCH=450……(6分)说明:也可以在AB上截取AH′=EC,通过证△AH′E≌△FCE来证明,请参考以上评分说明给分。(2)过F作FH⊥CG于H……(7分)在矩形ABCD中,同(1)理可证∠BAE=∠FEH.……(8分)又∵∠ABE=∠EHF=900,∴△ABE∽△EHF.……(9分)∴===2,∴BC=EH,即BE=CH.……(10分)∴BE=CH=2FH∴tan∠FCH==……(11分)118.(2022湖北省枣阳市1模,25,10)如图1,已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.连接GD、FC.(1)求证:△ADG≌△ABE;(2)观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由;(3)如图2,将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=,BC=(、为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请用含、的代数式表示tan∠FCN的值;若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.\n【答案】解:(1)∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°.(1分)∵∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD,∴∠BAE=∠DAG.(2分)∴△BAE≌△DAG.(3分)(2)∠FCN=45°.(4分)理由:作FH⊥MN于H,如图.∵∠AEF=∠ABE=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,∴∠FEH=∠BAE.又∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90°,∴△EFH≌△ABE.(5分)∴FH=BE,EH=AB=BC,∴CH=BE=FH.∵∠FHC=90°,∴∠FCH=45°.(6分)(3)当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变.(7分)理由:作FH⊥MN于H,如图.由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°,结合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG.∵G在射线CD上,∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°,∴△EFH≌△AGD,△EFH∽△AEB.(8分)∴EH=AD=BC=,∴CH=BE,(9分)∴.∴在Rt△FCH中,tan∠FCN===.∴当点E由B向C运动时,∠FCN的大小总保持不变,tan∠FCN=.(10分)119.(2022湖北省黄冈1模,18,6)如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交DC于F,BD分别交CE,AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系,并说明理由.FGH【答案】猜测AE=BD,AE⊥BD.理由如下:∵∠ACD=∠BCE=90°,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∴AC=CD,CE=CB.∴△ACE≌△DCB(S.A.S.)∴AE=BD,∠CAE=∠CDB,.∵∠AFC=∠DFH,∴∠DHF=∠ACD=90°,∴AE⊥BD.\n120.(2022江苏省扬州市1模,23,10)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD的中点,EF∥AB交BC于点F.(1)求证:BF=AD+CF;(2)当AD=1,BC=7,且BE平分∠ABC时,求EF的长.【答案】(1)如图,延长AD交FE的延长线于N,∵∠NDE=∠FCE=90°,∠DEN=∠FEC,又DE=EC,∴△NDE≌△FCE.(3分)∴DN=CF.又AB∥FN,AN∥BF,∴四边形ABFN是平行四边形.∴BF=AD+DN=AD+FC.(5分)(2)解:∵AB∥EF,∴∠1=∠BEF,∵∠1=∠2,∴∠2=∠BEF.∴EF=BF.(8分)∵EF=AD+CF=AD+(BC-BF),∴EF+BF=AD+BC=1+7=8,∴EF=4.(10分)121.(2022江苏省苏州市市1模,23,6)已知.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.求证:(1)△BFC≌△DFC.(2)AD=DE.【答案】122.(2022江苏省苏州市市1模,23,6)如图,点E、F分别在□ABCD的边AD的延长线上,且DE=AD,连结BD、CE、BF,分别交CE、CD于点G、H.求证:(1)△ABD≌△DCE;(2)CE:CG=DF:AD.\n【答案】123.(2022江苏省太仓市1模,22,6)矩形ABCD中,以点B为圆心、BC长为半径画弧,交AD边于点E,连接BE,过C点作CF⊥BE,垂足为F.猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在答题卷的横线上,然后再加以证明.结论:BF=▲.证明:【答案】124.(2022江苏省徐州市1模,22,8)已知:如图,点C是线段AB的中点,CE=CD,∠ACD=∠BCE,求证:AE=BD.【答案】证明:∵点C是线段AB的中点,----------------------------------------------------1分∴AC=BC,\n--------------------------------------------------------------------------------2分∵∠ACD=∠BCE,------------------------------------------------------------------------3分∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,---------------------------------------------------4分即∠ACE=∠BCD,------------------------------------------------------------------------5分在△ACE和△BCD中,,-----------------------------------6分∴△ACE≌△BCD(SAS),---------------------------------------------------------7分∴AE=BD.---------------------------------------------------------------------------------8分125.(2022江西省1模,19,6)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题请给出一个适当的条件使它成为真命题,并加以证明.【答案】.解:是假命题………………………………………………………………………2分添加条件如:∠E=∠CBA(不唯一)………………………………………3分证明:∵AD=BE∴AD+DB=BE+DB即AB=DE……………………………………………………………4分在△CAB和△FDE中∠A=∠FDE,AB=DE,∠E=∠CBA∴△CAB≌△FDE…………………………………………6分126.(2022江西省师大附中1模,21,7)如图,在ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE\n沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.(1)求证:BE=DG;(2)若∠B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?并证明你的结论.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD.∵AE是BC边上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成,∴CG⊥AD,∴∠AEB=∠CGD=90°,∴Rt△ABE≌Rt△CDG.∴BE=DG(2)当BC=3/2AB时,四边形ABFC是菱形.∵AB∥GF,AG∥BF,∴四边形ABFG是平行四边形.∵Rt△ABE中,∠B=60°,∴∠BAE=30°.∴BE=1/2AB.∵BE=CF,BC=3/2AB,∴EF=1/2AB.∴AB=BF∴平行四边形ABFG是菱形127.(2022江西省宜春市1模,20,8)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.(1)求证:△ABE≌△ACE;(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.\n.【答案】(1)证明:因为AB=AC且D是BC的中点所以AD垂直平分BC………………………………………….1分所以BE=CE………………………………………….2分又因为AE=AE所以△ABE≌△ACE………………………………………….4分(2)当AE=2AD时,四边形ABEC是菱形,………………………………………….5分理由如下:因为AE=2AD,AD垂直平分BC所以BC垂直平分AE,………………………………………….…………………….6分所以对角线AE与BC互相垂直平分…………………………….…………………….7分所以四边形ABEC是菱形…………………………….…………………….…………8分128.(2022云南省楚雄市1模,20,8)(8分)如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AB=DC,且BE=CF.(1)求证:AF=DE.(2)判断△OAD的形状,并证明你的结论.ADCBEFO第19题图.【答案】(8分)(1)证明:∵BE=CF∴BF=CE又∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠B=∠C且AB=DC∴△ABF≌△DCE∴AF=DE(2)△OAD是等腰三角形证明:由△ABF≌△DCE知∠AFB=∠DEC∴OE=OF且AF=DE∴OA=OD∴△OAD是等腰三角形129.(2022安徽省马鞍市1模,18,8)如图,四边形ABCD是正方形,△ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,G是CD与EF的交点.\n(1)求证:△BCF≌△DCE.(2)若BC=5,CF=3,∠BFC=900,求DG︰GC的值.ABCEDFG【答案】答案:(1)略(2)4:3130.(2022福建省福州市1模,17,⑵8)如图,□ABCF中,,延长CF到E,使,过E作BC的垂线,交BC延长线于点D。求证:EABCDF第17(2)题图【答案】131.(2022浙江省义乌市1模,19,6)已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F,且AF=DC,连结CF.(1)求证:D是BC的中点;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.\nAECBFD【答案】(1)证明:是的中点,-(1分)即:D是BC的中点;(3分)(2)四边形ADCF是矩形(4分),四边形ADCF是平行四边形即∴平行四边形ADCF是矩形(6分)
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