河北省唐山市丰南区2022年中考数学一模试卷（解析版） 新人教版

2022年河北省唐山市丰南区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，1-6小题，每小题2分；7-12小题，每小题2分，共30分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2分）（2022•长沙）﹣3相反数是（　　）　A．B．﹣3C．﹣D．3考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．解答：解：﹣3相反数是3．故选D．点评：本题主要考查了互为相反数的定义，熟记定义是解题的关键．　2．（2分）（2022•枣庄）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　）　A．30°B．25°C．20°D．15°考点：平行线的性质．分析：本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．解答：解：根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，故选B．点评：本题主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质，互为余角的两角的和为90°，难度适中．　3．（2分）（2022•衢州）如图，下列几何体的俯视图是右面所示图形的是（　　）　A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．根据俯视图得出形状即可．解答：解：∵几何体的俯视图是两圆组成，∴只有圆台才符合要求．故选A．点评：15\n此题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的两圆形得出实际物体形状是解决问题的关键．　4．（2分）（2022•金华）不等式组的解在数轴上表示为（　　）　A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．专题：计算题；数形结合．分析：先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．解答：解：由不等式①，得2x＞2，解得x＞1，由不等式②，得﹣2x≤﹣4，解得x≥2，∴数轴表示的正确方法为C，故选C．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法及其数轴表示法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．　5．（2分）（2022•嘉兴）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（　　）　A．6B．8C．10D．12考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题；压轴题．分析：过O作OD⊥AB于D，则OD是弦AB的弦心距，连接OB，根据垂径定理求出BD=AD=8，在Rt△OBD中，根据勾股定理即可求出OD．解答：解：过O作OD⊥AB于D，则OD是弦AB的弦心距，连接OB，∵OD⊥AB，OD过圆心O，∴BD=AD=AB=8，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD===6．故选A．点评：15\n本题主要考查对垂径定理，勾股定理等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能求出OD的长是解此题的关键．　6．（2分）（2022•丰南区一模）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC，交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（　　）　A．6cmB．4cmC．3cmD．2cm考点：菱形的性质；三角形中位线定理．分析：根据已知可得OE是△ABC的中位线，从而求得OE的长．解答：解：∵OE∥DC，AO=CO，∴OE是△ABC的中位线，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=6cm，∴OE=3cm．故选C．点评：本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，属于基础题，关键是得出OE是△ABC的中位线，难度一般．　7．（3分）（2022•长春）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为（　　）　A．（1，2）B．（2，1）C．（2，2）D．（3，1）考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：首先根据折叠可以得到B′E=BE，B′D=BD，又点B的坐标为（3，2），BD=BE=1，根据这些条件即可确定B′的坐标．解答：解：∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2），∴CB=3，AB=2，又根据折叠得B′E=BE，B′D=BD，而BD=BE=1，∴CE=2，AD=1，∴B′的坐标为（2，1）．故选B．点评：此题主要考查了折叠问题，解题的关键是利用折叠的隐含条件得到相等的线段，然后利用线段的长度即可确定点的坐标．　8．（3分）（2022•无锡）100名学生进行20秒钟跳绳测试，测试成绩统计如下表：15\n跳绳个数x20＜x≤3030＜x≤4040＜x≤5050＜x≤6060＜x≤70x＞70人数5213312326则这次测试成绩的中位数m满足（　　）　A．40＜m≤50B．50＜m≤60C．60＜m≤70D．m＞70考点：中位数．专题：计算题．分析：首先确定人数的奇偶性，然后确定中位数的位置，最后确定中位数的范围．解答：解：∵一共有100名学生参加测试，∴中位数应该是第50名和第51名成绩的平均数，∵第50名和第51名的成绩均在50＜x≤60，∴这次测试成绩的中位数m满足50＜x≤60，故选B．点评：本题考查了中位数的确定，解题的关键是根据人数的奇偶性确定中位数的位置，进而确定其中位数．　9．（3分）（2022•河南）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为（　　）　A．6.5×10﹣5B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣7D．65×10﹣6考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000065=6.5×10﹣6；故选：B．点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．　10．（3分）（2022•丰南区一模）若反比例函数y=的图象过（﹣1，2），则一次函数y=﹣2x﹣k的图象不经过（　　）　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象与系数的关系．分析：利用待定系数法求得k值后，再根据一次函数y=﹣2x﹣k中的﹣2、﹣k的符号判定该直线所经过的象限．解答：解：∵反比例函数y=的图象过（﹣1，2），∴k=xy=﹣1×2=﹣2；∴一次函数y=﹣2x﹣K的解析式为y=﹣2x+2；∵﹣2＜0，2＞0，∴直线y=﹣2x+2的图象经过第第一、二、四象限，∴该直线不经过第三象限；故选C．点评：本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、一次函数图象与系数的关系．直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．15\n　11．（3分）（2022•衢州）如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）　A．a2﹣πB．（4﹣π）a2C．πD．4﹣π考点：扇形面积的计算；直线与圆的位置关系．专题：几何图形问题；压轴题．分析：这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差．解答：解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是：．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×1﹣4×=4﹣π．故选D．点评：本题主要考查了正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．　12．（3分）（2022•丰南区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc=0；④2a﹣b=0，其中正确的有（　　）　A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：观察函数图象得到x=1时，y＜0；x=﹣1时，y＞0，所以a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，则可对①②进行判断；由于抛物线过原点，所以c=0，可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=﹣1，即x=﹣=﹣1，则可对④进行判断．解答：解：∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0；所以①错误；∵x=﹣1时，y＞0，15\n∴a﹣b+c＞0；所以②正确；∵抛物线过原点，∴c=0，∴abc=0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，所以③正确．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．　二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案直接写在题中的横线上）13．（3分）（2022•丰南区一模）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b=﹣2a+3b，如：1⊕5=﹣2×1+3×5=13，则方程x⊕4=0的解为　x=6　．考点：解一元一次方程．专题：新定义．分析：根据新定义列出方程，然后根据一元一次方程的解法求解即可．解答：解：∵x⊕4=﹣2x+3×4=﹣2x+12，∴方程x⊕4=0可化为：﹣2x+12=0，解得x=6．故答案为：x=6．点评：本题考查了解一元一次方程，是基础题，读懂题目信息，理解新定义并转化为一元一次方程的一般形式是解题的关键．　14．（3分）（2022•丰南区一模）当x=　﹣1　时，分式的值等于零．考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式的值为零的条件可以求出x的值．解答：解：根据题意得：1﹣x2=0且1﹣x≠0，解得：x=﹣1，故答案是：﹣1．点评：本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．　15．（3分）（2022•丰南区一模）在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值=　　．考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．15\n分析：作AD⊥BC于D点，根据等腰三角形的性质得到BD=BC=3，然后根据余弦的定义求解．解答：解：如图，作AD⊥BC于D点，∵AB=AC=4，BC=6，∴BD=BC=3，在Rt△ABD中，cosB==．故答案为．点评：本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质．　16．（3分）（2022•丰南区一模）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2．正确的是　①　．考点：两条直线相交或平行问题．专题：数形结合．分析：根据一次函数的图象和性质即可判断出k和a的取值范围；由图象的交点横坐标即可得到③的结论．解答：解：①y1=kx+b的图象过一、二、四象限，则k＜0；故此选项正确；②y2=x+a的图象过一、三、四象限，则a＜0；故此选项错误；③由于两函数图象交点横坐标为3，则当x＜3时，y1＞y2；故此选项错误．故答案为①．点评：此题考查了一次函数的图象和性质及一次函数与不等式组的关系，要结合图形，利用数形结合来解答．　17．（3分）（2022•葫芦岛）根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为　﹣　．15\n考点：实数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：此题的关键是理解此程序，从图中可以看出程序关系为y=÷2﹣3，把64代入程序，可得出答案．解答：解：÷2﹣3=8÷2﹣3=4﹣3=1，∵1＞0，再代入得1÷2﹣3=﹣．故答案为﹣．点评：本题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是理解程序，如果第一次输入不符合要求要再进行第二次输入．　18．（3分）（2022•丰南区一模）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为　πa　．考点：弧长的计算；正多边形和圆；旋转的性质．分析：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，利用正六边形的性质分别计算出A1A4=2a，A1A5=A1A3=a，而当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，a，2a，a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．解答：解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，∴A1A4=2a，∠A1A6A5=120°，15\n∴∠CA1A6=30°，∴A6C=a，A1C=a，∴A1A5=A1A3=a，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以a，a，2a，a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，∴顶点A1所经过的路径的长=πa，故答案为：πa．点评：本题考查了弧长公式：l=，也考查了正六边形的性质以及旋转的性质，难度一般．　三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2022•丰南区一模）计算：（﹣1）2022+2tan60°+20﹣+|1﹣|．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．分析：先根据0指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣1+2+1﹣3+﹣1=﹣1．点评：本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂、有理数乘方的法则、绝对值的性质特殊角的三角函数值是解答此题的关键．　20．（8分）（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为　1　时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为　2　时，四边形AMDN是菱形．考点：菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定．分析：（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，又∵点E是AD边的中点，15\n∴DE=AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形；故答案为：1；②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AM=2，∴AM=AD=2，∴△AMD是等边三角形，∴AM=DM，∴平行四边形AMDN是菱形，故答案为：2．点评：本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．　21．（8分）（2022•丰南区一模）如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将5，6，7的三个球放入甲箱中，标有4，6，9的三个球放入乙箱中．（1）小静从乙相中随机摸出一个球，球“摸出标有数字是3的整倍数的球”的概率．（2）小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”，请你用列表法（或画树状图）求小宇“略胜一筹”的概率．考点：列表法与树状图法．分析：（1）由标有4，6，9的三个球放入乙箱中，小静从乙相中随机摸出一个球，球“摸出标有数字是3的整倍数的球”的有6与9，然后利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）∵标有4，6，9的三个球放入乙箱中，∴小静从乙相中随机摸出一个球，球“摸出标有数字是3的整倍数的球”的有6与9，15\n∴P（摸出标有数字是3的倍数球）=；（2）用下表列举摸球的所有可能结果：　　　小静小宇4695（5，4）（5，6）（5，9）6（6，4）（6，6）（6，9）7（7，4）（7，6）（7，9）∵一共有九种可能，其中小宇所摸球的数字比小静的大1的有两种，∴P（小宇“略胜一筹”）=．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．　22．（8分）（2022•丰南区一模）如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（2，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2．（1）求反比例函数解析式．（2）若一次函数y=mx+1的图象经过点A，并且x轴交于点C，求sin∠ACB的值．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据△AOB的面积为2，可求出AB，得出点A的坐标，代入反比例函数解析式可求出k的值，继而得出反比例函数解析式；（2）将点A的坐标代入一次函数解析式可求出m的值，求出点C的坐标，在Rt△ACB中求出AC，继而可得出sin∠ACB的值．解答：解（1）∵A的横坐标为2，∴OB=2，∵△AOB的面积为2，∴AB=2，∴点A的坐标为：（2，2），将（2.2）代入，得k=4，故反比例函数解析式为：．（2）把A（2，2）代入y=mx+1，得2m+1=2，解得：m=，故一次函数解析式为：y=x+1．15\n令y=0，得0=，解得：x=﹣2，即OC=2，则CB=OC+OB=4，又∵AB=2，∴AC==，∴sin∠ACB=．点评：本题考考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是求出点A的坐标，利用待定系数法求出两函数解析式，难度一般．　23．（9分）（2022•丰南区一模）如图，⊙O的半径为6cm，射线PM与⊙O相切于点C，且PC=16cm．（1）请你作出图中线段PC的垂直平分线EF，垂足为Q，并求出QO的长；（2）在（1）的基础上画出射线QO，分别交⊙O于点A、B，将直线EF沿射线QM方向以5cm/s的速度平移（平移过程中直线EF始终保持与PM垂直），设平移时间为t．当t为何值时，直线EF与⊙O相切？（3）直接写出t为何值时，直线EF与⊙O无公共点？t为何值时，直线EF与⊙O有两个公共点．考点：直线与圆的位置关系．专题：动点型．分析：（1）连接圆心和切点构造直角三角形，利用勾股定理求得QO的长；（2）当直线EF与⊙O相切时，连接圆心与切点构造等边三角形求得直线EF运动的距离，除以速度即得到时间，本题应分内切和外切两种情况讨论；（3）根据直线与圆相交和相离确定时间的取值范围．解答：解：（1）如图，连接OC，∵PC切⊙O与点C，∴OC⊥PC，∵EF垂直平分PC，PC=16cm∴QC=8cm，∴QO==10厘米；（2）当直线EF与⊙O相切于点D、交直线PM于点N时，连接OD．∴四边形ODNC是正方形，∴CN=OD=6，∴QN=QC+CN=6+8=14或QN=QC﹣CN=8﹣6=2，∵直线EF沿射线QM方向以5cm/s的速度平移，∴t=s或s；（3）当0＜t＜或t＞时，直线EF与⊙O无公共点，15\n当＜t＜时，直线EF与⊙O有两个公共点．点评：本题考查了勾股定理的应用、相似三角形的判定及性质及动点问题，解决动点问题的关键是化动为静．　24．（9分）（2022•丰南区一模）某厂生产一种旅行包，每个包的成本为40元，售价为60元．该厂为了鼓励销售上订购，决定：当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部旅行包的单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购不会超过500个．（1）设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂单价为y元，写出当一次订购量超过100个时，y与x的关系式；（2）求当销售商一次订购x个旅行包时，可使该厂获得利润为w元，求出当一次订购量超过100个时，w与x之间的函数关系式；（3）如果该厂想获得最大的利润，请你帮它算一算它应让销售商一次订购多少个旅行包？最大利润又是多少？考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）可根据关键语“当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元．”来列函数式．（2）根据利润=（实际出厂单价﹣成本）×销售量，可得出利润关于x的二次函数关系式，从而利用二次函数的最值可得出答案．（3）需要讨论一次订购数x的范围，①x≤100，求出此时的最大利润，②100＜x≤500，根据（2）的二次函数关系式，利用函数的最值求出最大利润，从而比较两结果即可．解答：解：（1）由题意得，多订了（x﹣100）个，降价0.02（x﹣100）元，则可得y=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x（0＜x＜500）；（2）∵利润=（实际出厂单价﹣成本）×销售量，∴可得利润w=[y﹣40]×x=（22﹣0.02x）×x=﹣0.02x2+22x；（3）①当x≤100时，w=（60﹣40）x=20x，最大利润为2000；②当100＜x≤500时，w=﹣0.02x2+22x=﹣0.02（x﹣550）2+6050，15\n∵w随x的增大而增大，∴当x=500时，w取最大，w最大=﹣0.02×502+6050=6000元．综上可得当订购量为500时，厂商获得最大利润，且最大利润为6000元．点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，二次函数的应用一般都会涉及二次函数最值的求解，因此要求我们熟练掌握配方法求函数的最值．　25．（10分）（2022•丰南区一模）阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）在第一象限内求一点P，使S△PAB=S△CAB．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用顶点式求得抛物线的解析式，然后求得点A的坐标，从而求得线段AB的长；（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得CD的长，从而求得三角形ABC的面积；（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，表示出h关于x的函数关系式，然后利用面积相等求得x的值，从而确定点P的坐标．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：，把B（0，3）代入解析式求得a=﹣1所以，令y1=0，得0=﹣x2+2x+3，解得x1=﹣1，x2=3∴A点的坐标为（3，0）∴AB=3；（2）设直线AB的解析式为：y2=kx+b由A（3，0），B（0，3）∴∴直线AB的解析式为y2=﹣x+3…（4分）因为C点坐标为（1，4），所以当x=1时，y1=4，y2=2，所以CD=4﹣2=2，15\n（平方单位）；（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则；由S△PAB=S△CAB得：，解得x=2或x=1（舍）．所以P（2，3）．点评：此题主要考查了用顶点式求二次函数解析式，以及待定系数法求解析式和三角形面积求法，综合性较强．　26．（12分）（2022•丰南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向终点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B﹣C﹣A方向向终点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC，BC的长．（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．专题：综合题．分析：（1）根据AC：BC=4：3，设AC=4kcm，BC=3kcm，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到AC与BC的长；（2）分两种情况考虑：①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，根据△QHB∽△ACB，得到比例式，表示出QH，由PB为底，QH为高列出y与x的关系式（0＜x≤3）；②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QE⊥AB于E，由△AQE∽△ABC，得到比例式，表示出QE，同理表示出y与x的关系式（3＜x＜7）；（3）存在，理由为：当x=5秒时，求出AQ，AP，根据AC与BC的长，得到PQ为三角形ABC的中位线，再由AC与BC垂直，得到PQ与AC垂直，即PQ为AC的垂直平分线，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出PC与AP的长，当P与M重合时，三角形BCM周长最小，求出周长的最小值即可．解答：15\n解：（1）设AC=4kcm，BC=3kcm，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即（4k）2+（3k）2=102，解得：k=2，∴AC=8cm，BC=6cm；（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，如图所示，∵∠ACB=∠QHB=90°，∠B=∠B，∴△QHB∽△ACB，∴=，即=，∴QH=1.6x，∴y=BP×QH=×1.6x（10﹣x）=﹣0.8x2+8x（0＜x≤3）；②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QE⊥AB于E，如备用图所示，∵∠ACB=∠AEQ=90°，∠A=∠A，∴△AQE∽△ABC，∴=，即=，∴QE=8.4﹣1.2x，∴y=PB×QE=0.6x2﹣10.2x+42（3＜x＜7）；（3）存在，理由为：当x=5秒时，AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥BC，∴PQ⊥AC，∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=5+6+5=16，∴△BCM的周长最小值为16．点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：勾股定理，中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．　15