2023届高考数学一轮复习单元测试--第四单元指数函数与对数函数A卷（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第四单元指数函数与对数函数A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是（）A．（1，3]B．（1，3）C．（0，1）D．[3，+∞）2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．B．C．D．3．一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）A．2.3小时B．3.5小时C．5.6小时D．8.8小时4．函数的定义域为（）A．(1，4)B．[1，4)C．(-∞，1)∪(4，+∞)D．(-∞，1]∪(4，+∞)5．若函数f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，]C．（1，）D．[）6．已知函数恒过定点，则函数不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．定义在实数集R上的函数，满足，当时，\n，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．8．已知函数，，以下命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（）A．B．C．D．10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．在上是增函数D．的值域是11．对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（）A．B．\nC．＞0D．12．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（）A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C．当时，增长速度一直快于D．当时，增长速度有时快于三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．与地震释放的能量的关系为．那么里氏9级的地震释放的能量是里氏7级地震释放的能量的______倍．14．已知函数，且，则f(2013)=_________15．已知，若，则________．16．关于函数的下列命题：①函数的图象关于y轴对称；②函数的最小值为；③当时，是增函数；当时，是减函数；④在上是增函数；⑤无最大值，也无最小值．其中正确命题的序号是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．\n（1）求m、n的值；（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．（3）令g(x)=，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．18．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．（1）求函数，的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；19．2013年9月22日，为应对台风“天兔”侵袭，我校食堂做好了充分准备，储备了至少三天的食物，食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192时，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42时.（1）写出保鲜时间（单位：时）关于储藏温度（单位：℃）的函数解析式；\n（2）请运用（1）的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？（精确到整数）.（参考数据：）20．函数（1）如果时，有意义，确定的取值范围；（2），若值域为，求的值；（3）在（2）条件下，为定义域为的奇函数，且时，对任意的恒成立，求的取值范围.21．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，，且．\n（1）请指出图中曲线，分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较，，，的大小．22．已知常数a∈R+，函数f（x）＝x2﹣ax+1（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，求a的取值范围；（3）设集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是（）A．（1，3]B．（1，3）C．（0，1）D．[3，+∞）【答案】A【解析】由函数在（0，2）上为减函数，可得函数在（0，2）上大于零，且为减函数，，\n故有，解得故选：A．2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，定义域为，因为，所以此函数为偶函数，所以A不合题意；对于B，定义域为，因为，所以此函数为偶函数，所以B不合题意；对于C，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，所以C不合题意；对于D，定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数，所以D符合题意，故选：D3．一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）A．2.3小时B．3.5小时C．5.6小时D．8.8小时【答案】A【解析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则，，，，\n．故选：A．4．函数的定义域为（）A．(1，4)B．[1，4)C．(-∞，1)∪(4，+∞)D．(-∞，1]∪(4，+∞)【答案】A【解析】由题意得>0，即(x-1)(x-4)<0，解得1<x<4.故选：A5．若函数f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，]C．（1，）D．[）【答案】B【解析】令y＝logat，t＝2﹣ax，∵a＞0，∴t＝2﹣ax在（1，3）上单调递减，∵f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增，∴函数y＝logat是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立，∴，∴0＜a≤.故选：B．6．已知函数恒过定点，则函数不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】恒过定点，，\n，为减函数，且过点，的函数图象不经过第三象限．故选：．7．定义在实数集R上的函数，满足，当时，，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，函数是以为周期的周期函数，又，所以，函数是偶函数，，的图象关于直线对称，任取、且，则，所以，，即，所以，函数在区间上为增函数，令得，作出函数和的图象如图所示：令得，由图象可得函数和的图象在每个区间上都有个交点，所以，函数共有个零点．故选：B．8．已知函数，，以下命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的个数是（）\nA．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】如图，画出的图象，在单调递增，观察图形易判断①②正确，对③④，当时，若，则，若，则，化为，即，则，故③正确.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】若，则对数函数在上单调递增，二次函数\n开口向上，对称轴，经过原点，可能为A，不可能为B.若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点，C、D都不可能.故选：BCD.10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．在上是增函数D．的值域是【答案】BC【解析】根据题意知，.∵，，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，∴是奇函数，B正确；在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；\n，，，，，D错误.故选：BC.11．对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（）A．B．C．＞0D．【答案】BC【解析】对于A，，即，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，在定义域中单调递增，，故C正确；对于D，，利用基本不等式知，又，则，故D错误；故选：BC12．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（）A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C．当时，增长速度一直快于D．当时，增长速度有时快于\n【答案】BD【解析】如图对于，从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，再也追不上，故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确；由于的增长速度是不变的，当时，大于，当时，大于，再也追不上，增长速度有时快于，C错误．故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．与地震释放的能量的关系为．那么里氏9级的地震释放的能量是里氏7级地震释放的能量的______倍．【答案】1000【解析】由题意，，则里氏9级的地震释放的能量，里氏7级地震释放的能量，所以.故答案为：1000.\n14．已知函数，且，则f(2013)=_________【答案】0【解析】设，则，所以，.故答案为：0.15．已知，若，则________．【答案】【解析】因为当，为减函数，当时，为增函数，若，不妨设，，所以，所以，则．故答案为：．16．关于函数的下列命题：①函数的图象关于y轴对称；②函数的最小值为；③当时，是增函数；当时，是减函数；④在上是增函数；⑤无最大值，也无最小值．其中正确命题的序号是_________．【答案】①②④\n【解析】对①，，定义域为，，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确.对②，，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为，故②正确.对③，时，，令，设任意，.当时，，所以为减函数，当时，，所以为增函数，所以在为减函数，在为增函数，故③错误.对④，因为函数在为减函数，在为增函数，又因为函数为偶函数，所以在，上是增函数，故④正确.对⑤，由②知，函数的最小值为，故⑤错误.故答案为：①②④\n四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．（1）求m、n的值；（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．（3）令g(x)=，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．【答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．【解析】（1）函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，f（x）=x2﹣3x+2在x∈[0，5]上的最小值为：f（）=﹣，可得k＜﹣．（3）g(x)==x+﹣3，函数F（x）=g（2x）﹣r•2x在x∈[﹣1，1]上有零点，即g（2x）﹣r•2x=0在x∈[﹣1，1]上有解，即r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，令t=，则r=2t2﹣3t+1，∵x∈[﹣1，1]，∴t∈[，2]，即r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，r=2k2﹣2t+1=2（t﹣）2﹣，（≤t≤2），∴﹣≤r≤3，∴r的范围是[﹣，3]．18．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且\n．（1）求函数，的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；【答案】（1），；（2）．【解析】（1），用代替得，则，解方程组得：，．（2）由题意可得对任意恒成立，令，，因为在单调递增，故则对恒成立因为，当且仅当时，等号成立.故，即实数的最大值为.19．2013年9月22日，为应对台风“天兔”侵袭，我校食堂做好了充分准备，储备了至少三天的食物，食物在储藏时，有些易于保存，而有些却需要适当处理，如牛奶等，它们的保鲜时间会因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192时，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42时.（1）写出保鲜时间（单位：时）关于储藏温度（单位：℃）的函数解析式；（2）请运用（1）的结论计算，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为多少？（精确到整数）.（参考数据：）\n【答案】（1）；（2）14℃.【解析】（1）设（且），则有，，.（2）依题意有，若我校购买的牛奶至少要储藏三天，则储藏时的温度最高约为14℃.20．函数（1）如果时，有意义，确定的取值范围；（2），若值域为，求的值；（3）在（2）条件下，为定义域为的奇函数，且时，对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意，，即，令，则，，的取值范围为.（2）令，由题意，的值域包含，①时，，值域为，满足条件；②时，，令，所以为开口向下的抛物线，\n易知的值域为，不满足条件，综上，.（3）时，，若，又为奇函数，，综上，，且，，易知，为减函数，所以为单调递增函数，，即，可看作在上成立，当且仅当，.21．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，，且．（1）请指出图中曲线，分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较，，，的大小．\n【答案】（1）对应的函数为，对应的函数为；（2）．【解析】（1）对应的函数为，对应的函数为．（2），，，又，，，；，，，又，，，．当时，，．．22．已知常数a∈R+，函数f（x）＝x2﹣ax+1（1）若a＝3，解方程log3f（x）＝1+log3（x﹣）；（2）设函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，求a的取值范围；（3）设集合A＝{x|f（x）＝x+a﹣3，x≥a﹣1}的元素个数为n，求n关于a的函数n（a）在R+的表达式．【答案】（1）{5}；（2）[]；（3）n（a）＝.【解析】（1）a＝3时，f（x）＝x2﹣3x+1，所以方程为：log3（x2﹣3x+1）＝log3[3（x﹣）]＝log3（3x﹣4），\n所以，解得：x＝5或x＝1（舍），所以方程的解集为{5}．（2）因为函数g（x）＝[f（x）]．若g（x）在[0，]上单调递减，所以f（x）0，且f（x）在x∈[0，]单调递减，所以，解得，即所以a的取值范围为：[]；（3）x＝﹣1显然不是方程x2﹣ax+1＝x+a﹣3的解．当x≠﹣1时，原方程可变为a+3＝x+1+，令t＝x+1∈[a，+∞），则a+3＝t+，所以当0＜a＜2﹣3时，方程无解；当a＝时，方程只有一解；当＜a＜时，方程有两解；当a时，方程只有一解．故n（a）＝