2023届高考数学一轮复习单元测试--第五章一元函数的导数及其应用A卷（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第五章一元函数的导数及其应用A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（）A．B．C．D．2．已知，为的导函数，则的大致图象是（）A．B．C．D．3．若，则（）A．B．C．D．4．若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区\n间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．5．已知函数，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（）A．B．C．D．7．已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：①函数在区间上单调递减；②若，则；③函数在上有3个极值点；④若，则．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．②③D．①④8．如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则a的取值范围是（）\nA．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数，则下列命题正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的最小正周期为C．的值域为D．在上单调递减10．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的n+1次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（）\nA．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似值为B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似值为C．D．11．法国数学家柯西(A.Cauchy，研究了函数的相关性质，并证明了在处的各阶导数均为对于函数，有如下判断，其中正确的有（）A．是偶函数B．在是上单调递减C．D．若恒成立，则的最小值为112．如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A．B．\nC．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知a，b为正实数，若直线与曲线相切，则的取值范围是______．14．已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________．15．若对任意的，且，，则的最小值是_____.16．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则_____.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若恒成立，证明：；18．已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，恒有，求实数a的最小值.\n19．设函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）\n20．已知函数.（1）若，求曲线单调递增区间及在点处的切线方程；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）若有两个极值点，，且.记，求的取值范围，使得.21．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．（1）求实数k的值并判断的单调性；（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．\n22．已知．（1）当时求的极值点个数；（2）当时，，求a的取值范围；（3）求证：，其中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，，当时，，，原函数单调递增，\n又因为，所以当时，，此时，，所以，当时，，此时，，所以，所以当时，，又因为是奇函数，当时，，求，分两种情况求解，当时，，只需，解得，当时，，只需，解得所以的范围是故选：A2．已知，为的导函数，则的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴易知是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B和D，由，排除C，所以A正确.故选：A.\n3．若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】所以是R的偶函数，．，又又当，所以在(0，+∞)单调递减，∴，故选：C．4．若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】\n，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又，，，由“稳定函数”定义可知：，即，解得：，即实数的取值范围为.故选：D.5．已知函数，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以是奇函数，，令，则，令，则，当时，，所以是增函数，，即，所以当时是增函数，，所以，在上是增函数，因为是奇函数所以在上是增函数，由，得，所以，解得.故选：B.6．定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（）A．B．\nC．D．【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，有，所以为奇函数，且对于正实数，有，即，所以，所以在是增函数，又因为为奇函数，所以为上的增函数，由得，所以，即，解得或，故选：D.7．已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题：①函数在区间上单调递减；②若，则；③函数在上有3个极值点；④若，则．其中正确命题的序号是（）\nA．①③B．②④C．②③D．①④【答案】B【解析】①中，看图知，在区间上，，在区间上，，故函数在区间上先增再减，①错误；②中，看图知，在区间上，是下凸的，任意连接两点，中点为，线段一定在图象上方，故中点也在图象上方，即，故②正确；③中，看图知，在区间上，，在区间上，，在区间上，，所以有一个极大值点和一个极小值点，故③错误；④中，看图知，在区间上，，且递减，故单调递增，故，故，即④正确.综上，正确命题的序号是②④.故选：B.8．如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，若不等式对恒成立，则a的取值范围是（）\nA．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，图象过点和，即，解得：，，即，当时，设抛物线，代入点得，，即，所以，的图象是由向左平移个单位长度得到，因为，对恒成立，所以的图象恒在的上方，当两图象如图所示，相切时，抛物线，，与直线相切，即，解得：，，切点代入得，得，所以，解得：或.故选：A\n二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知函数，则下列命题正确的是（）A．的图象关于直线对称B．的最小正周期为C．的值域为D．在上单调递减【答案】ACD【解析】对于A选项，当为正奇数时，，当为正偶数时，.综上所述，函数的图象关于直线对称，A对；对于B选项，因为，所以，函数为周期函数，但最小正周期不是，B错；对于D选项，，则，当时，，因为且，则，故，此时，所以，函数在上单调递减，D对；对于C选项，由于函数为周期函数，且是函数的一个周期，\n只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域，当时，，因为且，则，故，此时，所以，函数在上单调递增，所以，当时，，又因为，则，因此，函数的值域为，C对.故选：ACD.10．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的n+1次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（）A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似值为\nB．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似值为C．D．【答案】ABC【解析】令，则，当，，，故A正确；当，，，故B正确；因为；；；，∴，故C正确，D错误.故选：ABC11．法国数学家柯西(A.Cauchy，研究了函数的相关性质，并证明了在处的各阶导数均为对于函数，有如下判断，其中正确的有（）A．是偶函数B．在是上单调递减C．D．若恒成立，则的最小值为1【答案】ABD【解析】对于A，函数的定义域为，当时，由，故是偶函数，A正确；\n对于B，当时，，由，所以在是上单调递减，B正确；对于C，由于，在是上单调递减，所以，C错；对于D，因为，所以，故又因为恒成立，所以，则，故D正确．故选：ABD12．如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】解：令上部分的半球半径为，可得，解得，设小圆锥的底面半径为，小圆锥底面中心到球心距离为，可知，，和可构成直角三角形，即，小圆锥体积．令，则，可知在上单调递增，在上单调递减，\n所以当时，最大，，即，即ABC三个选项都满足题意．故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知a，b为正实数，若直线与曲线相切，则的取值范围是______．【答案】【解析】设切点为，因为，，所以切线斜率，即，代入可得，所以，解得，所以，等号不成立，所以，故答案为：14．已知函数，，若函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】函数与的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，等价于在上有零点，令\n则，所以在上，，单调递增，在上，，单调递减，则，又，，，因，又，则，所以①②解得．故答案为:15．若对任意的，且，，则的最小值是_____.【答案】【解析】由，得：，令，则在上单调递减，，当时，；当时，；的单调递减区间为，，的最小值为.故答案为：.\n16．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则_____.【答案】2019【解析】因为，所以，，令，得，又，所以的对称中心是，所以，所以，，，故答案为：2019四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若恒成立，证明：；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析\n【解析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间；（2）由（1）求得，由，得出，求出，引入新函数，求得最大值即可．（1）的定义域为，且当时，在上恒成立，在上单调递增；当时，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减；（2）故要使恒成立，只需即可；由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，故，即，，所以，，令，由得，由得．所以在上递减，在上递增所以，所以．18．已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，恒有，求实数a的最小值.【答案】（1）增区间：，，减区间：（2）【解析】\n（1）求出函数导数，求解不等式和可得；（2）易得不符合题意，当，令，讨论的情况即可求出.（1）当时，，，令或，，的增区间：，，减区间：；（2）①当时：，时：单调递减，不符合题意.②当时：令，若，则，令或，，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，又，只需，综上，a的最小值为.19．设函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，点斜式写出切线方程即可；（2）函数递增转化为恒成立，构造函数\n恒成立即可，求导数对a分类讨论，解析成立的条件即可.（1）当时，故在处的切线方程为：，即.（2）函数单调递增,则恒成立，其中，构造函数，即需恒成立，而若取则此时，故此时不可能恒成立；若，此时恒成立；若，则当时单调递减，当时，，单调递增，故的最小值在处取到，即.而显然当时，此时当时，此时，故此时综上所述，20．已知函数.\n（1）若，求曲线单调递增区间及在点处的切线方程；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）若有两个极值点，，且.记，求的取值范围，使得.【答案】（1）单调递增区间为､；.（2）（3）【解析】（1）利用导数求单调区间，和切线方程；（2）利用分离参数法转化为在上恒成立，设，，利用导数求出，即可求出a的范围；（3）先由.消元后得到，利用，利用导数求出，而，即可求出a的范围.（1）当时，定义域为，所以.令，解得：或所以曲线单调递增区间为､；又，所以在点处的切线方程为.（2）不等式在上恒成立，即为在上恒成立，所以在上恒成立，\n设，，则，所以在上递增，故，因此，即的取值范围为（3）因为，令可得：，所以.因为，，所以令，则因为，所以.因为，所以.即的取值范围为21．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．（1）求实数k的值并判断的单调性；（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．【答案】（1），在上单调递增，在上单调递减；（2）2.【解析】（1）由题意得，的定义域为．∵，∴．∵切线l与直线平行，∴，解得，∴，\n．由，得，此时在上单调递增；由，得，此时在上单调递减．故在上单调递增，在上单调递减．（2）因为，所以，∴．∵，∴在上恒成立．∵，当且仅当即时成立．由在上恒成立且，可知的最大值为2．22．已知．（1）当时求的极值点个数；（2）当时，，求a的取值范围；（3）求证：，其中．【答案】（1）两个极值点；（2）；（3）证明见解析．【解析】解：（1）当时，，所以，，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，因为，，，所以存在，使，所以，时，；时，；时，，所以0和是的极值点，\n所以有两个极值点．（2），，设，则单调递增，又，所以当时，，在上单调递增，所以，即，在上单调递增，所以，符合题意.当吋，令，解得，当时，，在上单调递减，，在）上单调递减，所以时，，不符合题意，所以a的取值范围是．（3）由（2）可知时，，，即，所以，，所以