2021年湖北省恩施州中考数学试卷

2021年湖北省恩施州中考数学试卷一、选择题：本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）（2021•恩施州）﹣6的相反数是（　　）A．﹣6B．6C．±6D．162．（3分）（2021•恩施州）全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780万，将数5780万用科学记数法表示为（　　）A．5.780×108B．57.80×106C．5.780×107D．5.780×1063．（3分）（2021•恩施州）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．4．（3分）（2021•恩施州）图中几何体的俯视图是（　　）A．B．第34页（共34页）\nC．D．5．（3分）（2021•恩施州）下列运算正确的是（　　）A．7a3﹣3a2＝4aB．（a2）3＝a5C．a6÷a3＝a2D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a6．（3分）（2021•恩施州）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（　　）A．35B．15C．310D．257．（3分）（2021•恩施州）从2，-3，-2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（　　）个．A．0B．1C．2D．38．（3分）（2021•恩施州）分式方程xx-1+1=3x-1的解是（　　）A．x＝1B．x＝﹣2C．x=34D．x＝29．（3分）（2021•恩施州）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（　　）A．W=18sB．W＝20sC．W＝8sD．s=160W10．（3分）（2021•恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD第34页（共34页）\n的面积为（　　）A．30B．60C．65D．65211．（3分）（2021•恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（　　）A．CE≠12BDB．△ABC≌△CBDC．AC＝CDD．∠ABC＝∠CBD12．（3分）（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c=12m．其中正确的有（　　）个．A．1B．2C．3D．4第34页（共34页）\n二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分.13．（3分）（2021•恩施州）分解因式：a﹣ax2＝　　．14．（3分）（2021•恩施州）如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝　　．15．（3分）（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径　　寸．16．（3分）（2021•恩施州）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；图形…五边形数1512223551…将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；第34页（共34页）\n观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为　　．三、解答题：本大题8个小题，共72分.17．（8分）（2021•恩施州）先化简，再求值：1-a-2a+4÷a2-4a2+8a+16，其中a=2-2．18．（8分）（2021•恩施州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．19．（8分）（2021•恩施州）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：平均数中位数众数方差第34页（共34页）\n甲175ab93.75乙175175180，175，170c（1）求a、b的值；（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．20．（8分）（2021•恩施州）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1m）21．（8分）（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y=kx经过点A．（1）求k；（2）直线AC与双曲线y=-33x在第四象限交于点D，求△ABD的面积．第34页（共34页）\n22．（10分）（2021•恩施州）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？23．（10分）（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．24．（12分）（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B第34页（共34页）\n在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．第34页（共34页）\n2021年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）（2021•恩施州）﹣6的相反数是（　　）A．﹣6B．6C．±6D．16【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣（﹣6）＝6，则﹣6的相反数是6．故选：B．【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．（3分）（2021•恩施州）全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780万，将数5780万用科学记数法表示为（　　）A．5.780×108B．57.80×106C．5.780×107D．5.780×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．【解答】解：5780万＝57800000＝5.780×107，故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2021•恩施州）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）第34页（共34页）\nA．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．4．（3分）（2021•恩施州）图中几何体的俯视图是（　　）A．B．第34页（共34页）\nC．D．【分析】根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．【解答】解：从上边看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．5．（3分）（2021•恩施州）下列运算正确的是（　　）A．7a3﹣3a2＝4aB．（a2）3＝a5C．a6÷a3＝a2D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：A.7a3﹣3a2，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；C．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、单项式乘多项式运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（3分）（2021•恩施州）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（　　）A．35B．15C．310D．25第34页（共34页）\n【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，∴这两名工人恰好都是男工人的概率为620=310，故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（3分）（2021•恩施州）从2，-3，-2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（　　）个．A．0B．1C．2D．3【分析】依题意任选两数相乘，将所得的三个乘积与2作比较，即可得出结论．【解答】解：∵2×(-3)=-6＜2，2×(-2)=-2＜2，（-3）×(-2)=6＞2，∴从2，-3，-2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有2个．故选：C．【点评】本题主要考查了实数的运算，实数大小的比较．运算中要注意运算结果的符号，这是解题的关键．第34页（共34页）\n8．（3分）（2021•恩施州）分式方程xx-1+1=3x-1的解是（　　）A．x＝1B．x＝﹣2C．x=34D．x＝2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+x﹣1＝3，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故选：D．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．9．（3分）（2021•恩施州）某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（　　）A．W=18sB．W＝20sC．W＝8sD．s=160W【分析】两点确定一条直线解析式，设W与s的解析式为W＝Ks，把s＝20，W＝160代入上式，可得解析式．【解答】解：设W与s的关系解析式为W＝Ks（K≠0），当s＝20时，W＝160，把（20，160）代入上式得，第34页（共34页）\n160＝20K，解得K＝8，∴W＝8s，故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，解本题关键理解题意和图象，掌握一次函数的性质和代入法求值．10．（3分）（2021•恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（　　）A．30B．60C．65D．652【分析】根据平行四边形的性质以及勾股定理求出四边形ABCD的底边BC和其对角线AC的值，然后根据平行四边形的面积计算公式求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5．∵AC⊥BC，∴△ACB是直角三角形．∴AC=AB2-BC2=132-52=12．∴S▱ABCD＝BC•AC＝5×12＝60．故选：B．第34页（共34页）\n【点评】本题考查了平行四边形性质，勾股定理以及平行四边形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．（3分）（2021•恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（　　）A．CE≠12BDB．△ABC≌△CBDC．AC＝CDD．∠ABC＝∠CBD【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC和∠CBD的关系．【解答】解：由图可得，BC=42+22=25，CD=22+12=5，BD=32+42=5，∴BC2+CD2＝（25）2+（5）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴EFDG=BFBG，即EF3=24，解得EF＝1.5，第34页（共34页）\n∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴CEBD=2.55=12，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD=5，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC=ACAB=12，tan∠CBD=CDBC=525=12，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（3分）（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c=12m．其中正确的有（　　）个．第34页（共34页）\nA．1B．2C．3D．4【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得abc的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即-b2a=-1，得b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可判断出结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c并计算可得b=-12m，由对称轴可得b＝2a，∴a=-14m，由a+b+c＝0可得c=34m，再计算b+c的值，可判断④错误．【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x=-b2a=-1，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：第34页（共34页）\nax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，，a+b+c＝0，∴b=-12m，∵b＝2a，∴a=-14m，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c=34m，∴b+c=-12m+34m=14m，故选：B．【点评】本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，观察函数图像结合二次函数图形与系数关系，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分.13．（3分）（2021•恩施州）分解因式：a﹣ax2＝　a（1+x）（1﹣x）　．【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．第34页（共34页）\n【解答】解：a﹣ax2＝a（1﹣x2）＝a（1+x）（1﹣x）．故答案为：a（1+x）（1﹣x）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．14．（3分）（2021•恩施州）如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝　30°　．【分析】由平角的定义求出∠CAE，根据平行线的性质即可求出∠C．【解答】解：∵∠BAC+∠CAE+∠DAE＝180°，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，∴∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣100°﹣50°＝30°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝30°，故答案为：30°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和平角的定义，熟记两直线平行内错角相等是解决问题的关键．15．（3分）（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径　26　寸．第34页（共34页）\n【分析】过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，则CD＝1寸，AC＝BC=12AB，连接OA，设圆的半径为x，利用勾股定理在Rt△OAC中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC=12AB，AD=BD．则CD＝1寸，AC＝BC=12AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的应用，解决此类问题常添加的辅助线为弦心距，通过勾股定理解答．第34页（共34页）\n16．（3分）（2021•恩施州）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；图形…五边形数1512223551…将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为　1335　．【分析】观察表中图形及数字的变化规律可发现第n个五边形数可表示为：1+2+3+...+（n﹣1）+n2，观察数表找到规律，计算出这个数表中的第八行从左至右第2个数是第几个五边形数即n的值，代入上面的代数式即可求得答案．【解答】解：观察表中图形及数字的变化规律可得第n个五边形数可表示为：1+2+3+...+（n﹣1）+n2，由数表可知前七行数的个数和为：1+2+3+...+7＝28，∴数表中的第八行从左至右第2个数是第30个五边形数即n＝30，∴把n＝30代入得：1+2+3+...+29+302，＝1335，故答案为：1335．【点评】本题考查了学生的观察能力，发现规律总结概括能力，观察表中图形及数字、数表的变化，发现其规律是解决本题的关键．三、解答题：本大题8个小题，共72分.第34页（共34页）\n17．（8分）（2021•恩施州）先化简，再求值：1-a-2a+4÷a2-4a2+8a+16，其中a=2-2．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：1-a-2a+4÷a2-4a2+8a+16＝1-a-2a+4⋅(a+4)2(a+2)(a-2)＝1-a+4a+2=a+2-a-4a+2=-2a+2，当a=2-2时，原式=-22-2+2=-2．【点评】本题考查分式的化简求值、二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．18．（8分）（2021•恩施州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE．求证：OE⊥AD．【分析】利用DE∥AC，AE∥BD，可得四边形AODE为平行四边形，由四边形ABCD为矩形可得AO＝OD，于是解得平行四边形AODE为菱形，根据菱形对角线的性质可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OD．第34页（共34页）\n∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形．∵OA＝OD，∴平行四边形AODE为菱形．∴OE⊥AD．【点评】本题主要看出来了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定．利用菱形的对角线互相垂直是证明两条直线互相垂直的重要方法．19．（8分）（2021•恩施州）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：平均数中位数众数方差甲175ab93.75乙175175180，175，170c（1）求a、b的值；（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；第34页（共34页）\n（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出b、c的值；（2）答案不唯一，可从平均数，方差，中位数等方面，写出理由；（2）根据平均数，方差，中位数，可得答案．【解答】解：（1）甲的成绩从小到大排列为：160，165，165，175，180，185，185，185，∴甲的中位数a=175+1802=177.5，∵185出现了3次，出现的次数最多，∴众数b是185，故a＝177.5，b＝185；（2）应选乙，理由：乙的方差为：18[2×（175﹣175）2+2×（180﹣175）2+2×（170﹣175）2+（185﹣175）2+（165﹣175）2]＝37.5，乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩成绩比甲的稳定；（3）乙的方差为：18[2×（175﹣175）2+2×（180﹣175）2+2×（170﹣175）2+（185﹣175）2+（165﹣175）2]＝37.5，①从平均数和方差相结合看，乙的成绩比较稳定；②从平均数和中位数相结合看，甲的成绩好些．【点评】本题考查了折线统计图，方差，中位数，利用方差的公式，众数的定义，中位数的定义是解题关键．20．（8分）（2021•恩施州）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D处观测乙居民楼楼底B第34页（共34页）\n处的俯角是30°，观测乙居民楼楼顶C处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1m）【分析】根据矩形的性质得到BE＝AD＝10m，根据三角函数的定义得到BD，解直角三角形求得BF=12BC，CF=32BC，DF＝CF，于是得到12BC+32BC＝20，解得BC≈14.6m．【解答】解：作DE⊥BC于E，CF⊥BD于F，在Rt△BED中，BE＝AD＝10m，∠EDB＝30°，∴∠EBD＝60°，BD＝2BE＝20m，在Rt△CBF中，∠CBF＝60°，∴BF=12BC，CF=32BC，在Rt△CDF中，∠CDF＝45°，∴DF＝CF=32BC，∵BD＝BF+DF，∴12BC+32BC＝20，∴BC=401+3≈14.6（m），答：乙居民楼的高约为14.6m．第34页（共34页）\n【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（8分）（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y=kx经过点A．（1）求k；（2）直线AC与双曲线y=-33x在第四象限交于点D，求△ABD的面积．【分析】（1）作AH⊥BC于H，求出AH的长和OH的长确定A点坐标即可；（2）求出直线AD的解析式，确定D点坐标，再根据三角形ABD的面积等于三角形ABC面积加三角形BCD面积即可求出．【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H，∵Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，第34页（共34页）\n∴OC=12BC＝2，AC＝BC×sin30°＝2，∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°，∴∠HAC＝∠ABC＝30°，∴CH＝AC×sin30°＝1，OH＝AC×cos30°=3，∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1，∴A（1，3），∵双曲线y=kx经过点A，∴1=k3，即k=3；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（1，3），C（2，0），∴0=2k+b3=k+b，解得k=-3b=23，∴直线AC的解析式为y=-3x+23，∵直线AC与双曲线y=-33x在第四象限交于点D，∴y=-3x+23y=-33x，解得x=3y=-3或x=-1y=33，∵D在第四象限，∴D（3，-3），第34页（共34页）\n∴S△ABD＝S△ABC+S△BCD=12BC•BH+12BC•（﹣yD）=12×4×3+12×4×3=43．【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质和求解三角形面积的方法是解题的关键．22．（10分）（2021•恩施州）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元列出一元一次方程求解即可；（2）设花生销售m千克，茶叶销售（60﹣m）千克，先根据总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍求出m的取值范围，再根据利润之和求出函数解析式，根据函数的性质求最大值．【解答】解：（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元，根据题意得：50x＝10（40+x），第34页（共34页）\n解得：x＝10，40+x＝40+10＝50（元），答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；（2）设花生销售m千克，茶叶销售（60﹣m）千克获利最大，利润w元，由题意得：6m+36(60-m)≤1260m≤2(60-m)，解得：30≤m≤40，w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，∵﹣10＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝30时，利润最大，此时花生销售30千克，茶叶销售60﹣30＝30千克，w最大＝﹣10×30+840＝540（元），∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．【点评】本题考查一次函数的性质和一元一次方程的应用，关键是总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍求出花生的取值范围．23．（10分）（2021•恩施州）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．第34页（共34页）\n【分析】（1）证OC⊥AB即可证AB为⊙O的切线；（2）作EH⊥AC于H，利用三角形相似和勾股定理分别求出EH和CH的长度，再利用勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵∠AOC＝2∠ACE，∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE=12（∠OCE+∠OEC+∠AOC）=12×180°=90°，∴OC⊥AB，∴AB为⊙O的切线；（2）解：作EH⊥AC于H，∵AO＝20，BO＝15，∴AB=OA2+OB2=202+152=25，∵12OA⋅OB=12AB⋅OC，即12×20×15=12×25×OC，∴OC＝12，∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，第34页（共34页）\n∵EH⊥AC，OC⊥AC，∴EH∥OC，∴△AEH∽△AOC，∴AEAO=EHOC，即820=EH12，∴EH=245，∵BC=OB2-OC2=152-122=9，∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，∵AH=AE2-EH2=82-(245)2=325，∴CH＝AC﹣AH＝16-325=485，∴CE=EH2+CH2=(245)2+(485)2=2455．【点评】本题主要考查切线的判定和性质，相似三角形的判定，勾股定理等知识，熟练利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．24．（12分）（2021•恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；第34页（共34页）\n（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出点B的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；（2）以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；（3）设抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解．【解答】解：（1）由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B的坐标为（1，0），则1+b+c=016-4b+c=5，解得b=2c=-3，第34页（共34页）\n故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为（2，5），由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F的坐标为（﹣1，m），由点B、E的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，设点Q的坐标为（s，t），∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q（F）向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），则s+1=-1t+5=m26=(2+1)2+(m-5)2或s-1=-1t-5=m26=(s-2)2+(t-5)2，解得m=5±17s=-2t=±17或s=0t=5±22m=±22，故点F的坐标为（﹣1，5+17）或（﹣1，5-17）或（﹣1，22）或（﹣1，-22）；（3）存在，理由：设抛物线的对称轴交x轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1个单位得到点B″（﹣2，0），第34页（共34页）\n连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM为平行四边形，则B″M＝B′P＝BP，则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E为最小，由点B″、E的坐标得，直线B″E的表达式为y=54（x+2），当x＝﹣1时，y=54（x+2）=54，故点M的坐标为（﹣1，54），则EM+MP+PB的最小值B″E=(-2-2)2+(0-5)2=41+1．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．第34页（共34页）