2021年四川省达州市中考数学试卷

2021年四川省达州市中考数学试卷一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）（2021•达州）-23的相反数是（　　）A．32B．23C．-23D．-322．（3分）（2021•达州）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（　　）A．B．C．D．3．（3分）（2021•达州）实数2+1在数轴上的对应点可能是（　　）A．A点B．B点C．C点D．D点4．（3分）（2021•达州）下列计算正确的是（　　）A．2+3=5B．(-3)2=±3C．a•a﹣1＝1（a≠0）D．（﹣3a2b2）2＝﹣6a4b45．（3分）（2021•达州）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为（　　）第42页（共42页）\nA．40°B．50°C．60°D．80°6．（3分）（2021•达州）在反比例函数y=k2+1x（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y17．（3分）（2021•达州）以下命题是假命题的是（　　）A．4的算术平方根是2B．有两边相等的三角形是等腰三角形C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行8．（3分）（2021•达州）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：十进制012…891011121314151617…十六进制012…89ABCDEF1011…例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　　）第42页（共42页）\nA．28B．62C．238D．3349．（3分）（2021•达州）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（　　）A．（﹣22020，-3×22020）B．（22021，-3×22021）C．（22020，-3×22020）D．（﹣22021，-3×22021）10．（3分）（2021•达州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x=12，有下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（c2a，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个第42页（共42页）\n二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）（2021•达州）截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2，惠及建档立卡贫困户8.96万人,将392.5亿元用科学记数法表示应为　　元．12．（3分）（2021•达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为　　．13．（3分）（2021•达州）已知a，b满足等式a2+6a+9+b-13=0，则a2021b2020＝　　．14．（3分）（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝　　．15．（3分）（2021•达州）若分式方程2x-ax-1-4=-2x+ax+1的解为整数，则整数a＝　　．16．（3分）（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为　　．第42页（共42页）\n三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）（2021•达州）计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1-3|．18．（7分）（2021•达州）化简求值：（1-3a-10a-2）÷(a-4a2-4a+4)，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．19．（7分）（2021•达州）为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）这次抽样调查的总人数为　　人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为　　；（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．第42页（共42页）\n20．（7分）（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．21．（7分）（2021•达州）2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为163米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，3≈1.73）第42页（共42页）\n22．（8分）（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？23．（8分）（2021•达州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．24．（12分）（2021•达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为　　；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD第42页（共42页）\n，且CE⊥BD，则CEBD的值为　　；【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB=13，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．①求DECF的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．25．（11分）（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+13AE′的最小值；第42页（共42页）\n（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．第42页（共42页）\n2021年四川省达州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）（2021•达州）-23的相反数是（　　）A．32B．23C．-23D．-32【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：-23的相反数是23．故选：B．【点评】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）（2021•达州）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（　　）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．【解答】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，关键是熟知从正面看得到的图形是主视图，注意圆柱的主视图是矩形．3．（3分）（2021•达州）实数2+1在数轴上的对应点可能是（　　）第42页（共42页）\nA．A点B．B点C．C点D．D点【分析】先确定2＜2+1＜3，再根据数轴上点的位置可得结论．【解答】解：∵1＜2＜4，∴1＜2＜2，∴2＜2+1＜3，则实数2+1在数轴上的对应点可能是点D，故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较的应用，能根据算术平方根得出2＜2+1＜3是解此题的关键．4．（3分）（2021•达州）下列计算正确的是（　　）A．2+3=5B．(-3)2=±3C．a•a﹣1＝1（a≠0）D．（﹣3a2b2）2＝﹣6a4b4【分析】直接利用二次根式的加减运算法则、二次根式的性质、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A.2+3无法合并，故此选项错误；B.(-3)2=3，故此选项错误；C．a•a﹣1=aa=1（a≠0），故此选项正确；D．（﹣3a2b2）2＝9a4b4，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．第42页（共42页）\n5．（3分）（2021•达州）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为（　　）A．40°B．50°C．60°D．80°【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．【解答】解：∵∠ABM＝40°，∠ABM＝∠OBC,∴∠OBC＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN=12(180°﹣∠BCD)＝50°，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的基础．6．（3分）（2021•达州）在反比例函数y=k2+1x（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）第42页（共42页）\nA．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1【分析】根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用x1＜0＜x2＜x3得到y1＜0，0＜y3＜y2．【解答】解：∵k2+1＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限，∵x1＜0＜x2＜x3，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．7．（3分）（2021•达州）以下命题是假命题的是（　　）A．4的算术平方根是2B．有两边相等的三角形是等腰三角形C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】根据算术平方根、等腰三角形的定义、中位数以及平行公理判断即可．【解答】解：A、4=2的算术平方根是2，原命题是假命题，符合题意；B、有两边相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；C、一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5，原命题是真命题，不符合题意；D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，不符合题意；故选：A．第42页（共42页）\n【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．（3分）（2021•达州）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：十进制012…891011121314151617…十六进制012…89ABCDEF1011…例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　　）A．28B．62C．238D．334【分析】根据题干十六进制与十进制的运算方法求解．【解答】解：由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．故选：D．【点评】本题考查有理数的混合运算，解题关键是正确理解十六进制与十进制的关系．9．（3分）（2021•达州）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（　　）第42页（共42页）\nA．（﹣22020，-3×22020）B．（22021，-3×22021）C．（22020，-3×22020）D．（﹣22021，-3×22021）【分析】每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，故A2021在第四象限，且OA2021＝22021，画出示意图，即可得到答案．【解答】解：由已知可得：第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：第42页（共42页）\nOH=12OA2021＝22020，A2021H=3OH=3×22020，∴A2021（（22020，-3×22020），故选：C．【点评】本题考查旋转变换，涉及等边三角形、30°的直角三角形等知识，解题的关键是确定A2021所在的象限．10．（3分）（2021•达州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x=12，有下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（c2a，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个第42页（共42页）\n【分析】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴-b2a=12，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到abc＞0，即可判断①；根据抛物线对称轴方程可得a+b＝0，即可判断②；根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0）以及c＜0，得到4a+2b+3c＜0，即可判断③；先根据a+b＝0和4a+2b+c＝0得c＝﹣2a，再根据对称性可知：抛物线过（﹣1，0），即可判断④；根据b＝﹣a，把b换成﹣a，提公因式，分解因式，根据平方的非负性即可判断⑤．【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x=12，即对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，∵抛物线与y轴交在负半轴上，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=12，∴-b2a=12，∴﹣2b＝2a，∴a+b＝0，故②不正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∵c＜0，第42页（共42页）\n∴4a+2b+3c＜0，故③正确；④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0），∵a+b=04a+2b+c=0，∴c＝﹣2a，∴c2a=-1，∴当a≠0，无论b，c取何值，抛物线一定经过（c2a，0），故④正确；⑤∵b＝﹣a，∴4am2+4bm﹣b＝4am2﹣4am+a＝a（4m2﹣4m+1）＝a（2m﹣1）2，∵a＞0，∴a（2m﹣1）2≥0，即4am2+4bm﹣b≥0，故⑤正确；本题正确的有：①③④⑤，共4个．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．二、填空题（每小题3分，共18分）第42页（共42页）\n11．（3分）（2021•达州）截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2，惠及建档立卡贫困户8.96万人,将392.5亿元用科学记数法表示应为　3.925×1010　元．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：392.5亿＝39250000000＝3.925×1010．故答案为：3.925×1010．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．12．（3分）（2021•达州）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为　2　．【分析】将x＝3代入y＝|x|﹣1（x≤4）求解．【解答】解：∵3＜4，∴把x＝3代入y＝|x|﹣1得y＝3﹣1＝2，故答案为2．【点评】本题考查函数值，解题关键是找到正确计算x＝3的解析式．13．（3分）（2021•达州）已知a，b满足等式a2+6a+9+b-13=0，则a2021b2020＝　﹣3　．【分析】利用非负数的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵a2+6a+9+b-13=0，∴（a+3）2+b-13=0，第42页（共42页）\n∴a+3＝0，b-13=0，解得：a＝﹣3，b=13，则a2021b2020＝（﹣3）2021•（13）2020＝﹣3×（﹣3×13）2020＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题的关键．14．（3分）（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝　﹣12　．【分析】利用等腰直角三角形的性质可求出FN，NA，MB，设OA＝a，用含有a的代数式表示点F、点M的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出a的值，进而确定k的值．【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a﹣1，第42页（共42页）\n∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y=kx（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形和特殊锐角三角函数值，构造直角三角形，利用特殊锐角三角函数值确定点F、点M的坐标是解决问题的关键．15．（3分）（2021•达州）若分式方程2x-ax-1-4=-2x+ax+1的解为整数，则整数a＝　±1　．【分析】先将分式方程化简为整式方程，再用含a代数式表示x，由方程的解为整数及x＝±1为增根可求a．【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），整理得﹣2ax＝﹣4，整理得ax＝2，∵x，a为整数，∴a＝±1或a＝±2，第42页（共42页）\n∵x＝±1为增根，∴a≠±2，∴a＝±1．故答案为：±1．【点评】本题考查分式方程的解，解题关键是用含参代数式表示方程的解x并注意增根情况．16．（3分）（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为　23　．【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACF，可得∠ABE＝∠CAF，可求∠APB＝120°，过点A，点P，点B作⊙O，则点P在AB上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAC=∠ACBAE=CF，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴∠ABE＝∠CAF，第42页（共42页）\n∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，∴∠APB＝120°，如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，∴点P在AB上运动，∵AO＝OP＝OB，∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°，∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cos∠ACO=ACCO=32，CO＝2AO，∴CO＝43，∴AO＝23，第42页（共42页）\n在△CPO中，CP≥CO﹣OP，∴当点P在CO上时，CP有最小值，∴CP的最小值＝43-23=23，故答案为23．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，圆的有关知识，确定点P的运动轨迹是解题的关键．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）（2021•达州）计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1-3|．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+1+2×32-（3-1）＝﹣1+1+3-3+1＝1．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（7分）（2021•达州）化简求值：（1-3a-10a-2）÷(a-4a2-4a+4)，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，再结合三角形三边关系、分式有意义的条件得出a的值，求出答案即可．【解答】解：原式=a-2-3a+10a-2•(a-2)2a-4=-2(a-4)a-2•(a-2)2a-4＝﹣2(a﹣2)＝﹣2a+4,第42页（共42页）\n∵a与2，3构成三角形的三边，∴3﹣2＜a＜3+2,∴1＜a＜5,∵a为整数，∴a＝2,3或4，又∵a﹣2≠0,a﹣4≠0,∴a≠2且a≠4,∴a＝3,∴原式＝﹣2a+4＝﹣2×3+4＝﹣6+4＝﹣2．【点评】此题主要考查了分式的化简求值、三角形三边关系，正确掌握相关运算法则是解题关键．19．（7分）（2021•达州）为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）这次抽样调查的总人数为　200　人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为　108°　；（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？第42页（共42页）\n（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．【分析】（1）由参加唱歌的人数和所占百分比求出这次抽样调查的总人数，即可解决问题；（2）由该校学生人数乘以参加书法的学生所占的比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）这次抽样调查的总人数为：36÷18%＝200（人），则参加舞蹈”的学生人数为：200﹣36﹣80﹣24＝60（人），∴扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为：360°×60200=108°，故答案为：200，108°；（2）1400×80200=560（人），即估计选择参加书法有560人；（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8种，第42页（共42页）\n∴恰为一男一女的概率为812=23．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（7分）（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可，再根据三角形的面积公式求出△A1C1C2的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积＝4×8-12×3×2-12×2×8-12×4×5＝11．第42页（共42页）\n【点评】本题考查作图﹣旋转变换，坐标与图形变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．21．（7分）（2021•达州）2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为163米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，3≈1.73）【分析】过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G，根据正弦、余弦的定义求出CE、BE，可得DG的值，根据正切的定义求出AG，结合图形计算，得到答案．【解答】解：过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G，第42页（共42页）\n在Rt△CEB中，∠CBE＝30°，BC＝48米，∴CE＝BC•sin30°=12×48＝24（米），BE＝BC•cos30°＝48×32≈24×1.73＝41.52（米），∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+163≈41.52+27.68＝69.2（米），在Rt△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.2×0.70＝48.44（米），∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），答：桥墩AB的高约为72.4米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义、坡度坡角的定义、锐角三角函数的定义是解题的关键．22．（8分）（2021•达州）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【分析】（1）根据利润＝销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可，将x第42页（共42页）\n＝2代入函数关系式即可求解；（2）根据（1）求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；（3）首先由（2）中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．【解答】解：（1）由题意得：W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，x＝2时，W＝（48﹣30﹣2）（500+50×2）＝9600（元），答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）2+9800，∵﹣50＜0，∴x＝4时，W最大为9800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48﹣5＝43（元），答：定价应为43元．【点评】此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．23．（8分）（2021•达州）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E第42页（共42页）\n处得△ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．【分析】（1）连接OC，求得∠ACO＝∠EAC，根据内错角相等两直线平行得到OC∥AE，进而求得∠ECO＝90°，即可证明CE是⊙O的切线；（2）根据锐角三角函数求出OG、AG、CD、OD，进而求得AF、AE，利用S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF即可求得面积．【解答】（1）证明：连接OC，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；第42页（共42页）\n（2）解：连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COE＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，∵OA＝2，∴OG=12OA＝1，AG=3，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝23，∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD=12OC＝1，OD=3，∴AE＝AD＝AO+OD＝2+3，∴EF＝AE﹣AF＝2-3，CE＝CD＝1，∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF=12×（2-3+2）×1-30360×π×22＝2-32-13π．第42页（共42页）\n【点评】本题主要考查翻折的性质、切线的判定与性质和垂径定理，熟记梯形和扇形的面积公式是解题的关键．24．（12分）（2021•达州）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则DECF的值为　1　；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值为　47　；【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；【拓展延伸】第42页（共42页）\n（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB=13，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．①求DECF的值；②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．【分析】（1）如图1，设DE与CF交于点G，由正方形的性质得出∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，可证明△AED≌△DFC（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝CF，则可得出结论；（2）如图2，设DB与CE交于点G，根据矩形性质得出∠A＝∠EDC＝90°，由直角三角形的性质证出∠ECD＝∠ADB，由相似三角形的判定定理证出△DEC∽△ABD即可；（3）如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，证明△DEA∽△CFH，由相似三角形的性质得出DECF=ADCH，则可得出结论；（4）①过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，证明△DEA∽△CFG，得出比例线段DECF=ADCG，证出AHDH=13，设AH＝a，则DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝92，解方程可求出AH、DH的长，由三角形ACD的面积求出CG的长，则可求出答案；②由勾股定理求出AG=95，证明△DEA∽△CFE，由相似三角形的性质得出DECF=AEFG，求出FG=35，在Rt△ABF中，由勾股定理可求出BF的长．【解答】解：（1）如图1，设DE与CF交于点G，第42页（共42页）\n∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，∠A=∠FDC∠CFD=∠AEDAD=CD，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE＝CF，∴DECF=1；（2）如图2，设DB与CE交于点G，第42页（共42页）\n∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠DGC＝90°，∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，∴∠ECD＝∠ADB，∵∠CDE＝∠A，∴△DEC∽△ABD，∴CEBD=DCAD=47，故答案为：47．（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，∵CG⊥EG，∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCH为矩形，∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，第42页（共42页）\n∴△DEA∽△CFH，∴DECF=ADCH，∴DECF=ADAB，∴DE•AB＝CF•AD；（4）①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，∵CF⊥DE，GC⊥AD，∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，∴△DEA∽△CFG，∴DECF=ADCG，在Rt△ABD中，tan∠ADB=13，AD＝9，∴AB＝3，在Rt△ADH中，tan∠ADH=13，∴AHDH=13，设AH＝a，则DH＝3a，第42页（共42页）\n∵AH2+DH2＝AD2，∴a2+（3a）2＝92，∴a=91010（负值舍去），∴AH=91010，DH=271010，∴AC＝2AH=9510，∵S△ADC=12AC⋅DH=12AD•CG，∴12×9510×271010=12×9CG，∴CG=275，∴DECF=ADCG=9275=53；②∵AC=9510，CG=275，∠AGC＝90°，∴AG=AC2-CG2=(9510)2-(275)2=95，由①得△DEA∽△CFE，∴DECF=AEFG，又∵DECF=53，AE＝1，∴FG=35，∴AF＝AG﹣FG=95-35=65，∴BF=AB2+AF2=32+(65)2=3529．【点评】第42页（共42页）\n此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．25．（11分）（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，BE′，求BE′+13AE′的最小值；（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可求出解析式；（2）先取OE的三等分点D，得出DE'=13AE'，当B，E'，D三点共线时即为最小值；（3）先设出点N的坐标，根据矩形的性质列出关于N点坐标的方程组，即可求出N点的坐标．【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：-1+b+c=0c=3，∴b＝﹣2，c＝3，第42页（共42页）\n∴y＝﹣x2﹣2x+3，（2）在OE上取一点D，使得OD=13OE，连接DE'，BD，∵OD=13OE=13OE'，对称轴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），OE＝1，∴OE'＝OE＝1，OA＝3，∴OE'OA=ODOE'=13，又∵∠DOE'＝∠E'OA，△DOE'∽△E'OA，∴DE'=13AE'，∴BE'+13AE'=BE'+DE'，当B，E'，D三点共线时，BE′+DE′最小为BD，BD=OD2+OB2=32+(13)2=823，∴BE'+13AE'的最小值为823；第42页（共42页）\n（3）∵A（﹣3，0），B（0，3），设N（n，﹣n2﹣2n+3），M（x，y），则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，∵ABMN构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形，若AB是斜边，则AB2＝AN2+BN2，即18＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，解得：n1=-1-52，n2=-1+52，∴N的横坐标为-1-52或-1+52，若AN是斜边，则AN2＝AB2+BN2，即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+n2+（n2+2n）2，解得n＝﹣1，∴N的横坐标是﹣1，若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN2，即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，解得n＝2，∴N的横坐标为2，综上N的横坐标为-1-52，-1+52，﹣1，2．【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，求解析式常用的是待定系数法，一般都是第一问，也是后面内容的基础，必须掌握且不能出错，否则后面的两问没法做，对于相似三角形，要牢记它的判定与性质，考试中一般都是先判定，在用性质．第42页（共42页）\n第42页（共42页）