2021年四川省自贡市中考数学试卷

2021年四川省自贡市中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2021•自贡）自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一．今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为　　A．B．C．D．2．（4分）（2021•自贡）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是　　A．百B．党C．年D．喜3．（4分）（2021•自贡）下列运算正确的是　　A．B．C．D．4．（4分）（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是　　A．B．C．D．5．（4分）（2021•自贡）如图，是正五边形的对角线，的度数是　　第37页（共37页）\nA．B．C．D．6．（4分）（2021•自贡）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：人数（人9161411时间（小时）78910这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是　　A．16，15B．11，15C．8，8.5D．8，97．（4分）（2021•自贡）已知，则代数式的值是　　A．31B．C．41D．8．（4分）（2021•自贡）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为　　A．B．C．D．第37页（共37页）\n9．（4分）（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是　　A．函数解析式为B．蓄电池的电压是C．当时，D．当时，10．（4分）（2021•自贡）如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是　　A．9.6B．C．D．1011．（4分）（2021•自贡）如图，在正方形中，，是边上的一点，．将沿对折至，连接，则的长是　　第37页（共37页）\nA．B．C．3D．12．（4分）（2021•自贡）如图，直线与坐标轴交于、两点，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，绕点顺时针旋转，边扫过区域（阴影部分）面积的最大值是　　A．B．C．D．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）（2021•自贡）请写出一个满足不等式的整数解　　．14．（4分）（2021•自贡）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占，期末考试成绩占，小彤的这两项成绩依次是90，80．则小彤这学期的体育成绩是　　．第37页（共37页）\n15．（4分）（2021•自贡）化简：　　．16．（4分）（2021•自贡）如图，某学校“桃李餐厅”把密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是　　．17．（4分）（2021•自贡）如图，的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）．18．（4分）（2021•自贡）当自变量时，函数为常数）的最小值为，则满足条件的的值为　　．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2021•自贡）计算：．20．（8分）（2021•自贡）如图，在矩形中，点、分别是边、的中点．求证：．21．（8分）（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是第37页（共37页）\n，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据，，22．（8分）（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有，两种型号的无人机都被用来运送快件，型机比型机平均每小时多运送20件，型机运送700件所用时间与型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？23．（10分）（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：（优秀）、（良好）、（合格）、（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是　　，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．第37页（共37页）\n24．（10分）（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．列表如下：012340（1）直接写出表中、的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当时，函数图象关于直线对称；②时，函数有最小值，最小值为；③时，函数的值随的增大而减小．其中正确的是　　．（请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式的解集　　．25．（12分）（2021•自贡）如图，点在以为直径的上，过作的切线交第37页（共37页）\n延长线于点，于点，交于点，连接，．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的长．26．（14分）（2021•自贡）如图，抛物线（其中与轴交于、两点，交轴于点．（1）直接写出的度数和线段的长（用表示）；（2）若点为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．第37页（共37页）\n第37页（共37页）\n2021年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2021•自贡）自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一．今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为　　A．B．C．D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．2．（4分）（2021•自贡）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的相对面上的字是　　A．百B．党C．年D．喜【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】第37页（共37页）\n解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“迎”与“党”相对，面“建”与面“百”相对，“喜”与面“年”相对．故选：．【点评】本题考查了正方体的展开图，注意正方体是空间图形，找到相对的面是关键．3．（4分）（2021•自贡）下列运算正确的是　　A．B．C．D．【分析】按照合并同类项的运算方法、整数指数幂的运算法则、完全平方公式逐个验证即可．【解答】解：、，故错误；、，故正确；、，故错误；、由完全平方公式可得：，故错误；故选：．【点评】本题考查了合并同类项、完全平方公式、整数指数幂的运算法则，熟练掌握以上性质和法则是解题关键．4．（4分）（2021•自贡）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是　　A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．第37页（共37页）\n【解答】解：．是轴对称图形，共有1条对称轴；．不是轴对称图形，没有对称轴；．不是轴对称图形，没有对称轴；．是轴对称图形，共有2条对称轴．故选：．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）（2021•自贡）如图，是正五边形的对角线，的度数是　　A．B．C．D．【分析】先求出正五边形每个内角的度数，再由等腰，求出即可．【解答】解：正五边形，每个内角为，，，，故选：．【点评】本题考查的正多边形外角和定理，以及等腰三角形的性质，求出正五边形每个内角的度数是解题的关键．6．（4分）（2021•自贡）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了50第37页（共37页）\n名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：人数（人9161411时间（小时）78910这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是　　A．16，15B．11，15C．8，8.5D．8，9【分析】直接根据众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：由于一共有50个数据，其中8小时的人数最多，有14人，所以这组数据的众数为8小时，这50个数据的第25、26个数据分别为8、9，所以这组数据的中位数为（小时），故选：．【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7．（4分）（2021•自贡）已知，则代数式的值是　　A．31B．C．41D．【分析】由已知可得：，将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即可得出结论．【解答】解：，．第37页（共37页）\n原式．故选：．【点评】本题主要考查了求代数式的值．利用整体代入的方法可使运算简便．8．（4分）（2021•自贡）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为　　A．B．C．D．【分析】根据已知可得，．利用勾股定理即可求解．【解答】解：根据已知可得：，．在中，．．故选：．【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．9．（4分）（2021•自贡）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是　　第37页（共37页）\nA．函数解析式为B．蓄电池的电压是C．当时，D．当时，【分析】根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．【解答】解：设，图象过，，，，均错误；当时，，由图象知：当时，，正确，符合题意；当时，，错误，故选：．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．第37页（共37页）\n10．（4分）（2021•自贡）如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是　　A．9.6B．C．D．10【分析】根据垂径定理求出可得的长度，利用，求出，即可求解．【解答】解：于点．．，．．．，．．，即：．．．．第37页（共37页）\n故选：．【点评】本题考查垂径定理，三角形相似的判定和性质、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度．11．（4分）（2021•自贡）如图，在正方形中，，是边上的一点，．将沿对折至，连接，则的长是　　A．B．C．3D．【分析】连接交于点，作于点，根据已知可求出、．的长度，利用面积法求出，再结合折叠性质，找到长度．结合勾股定理建立等式，即可求出．最后即可求解．【解答】解：连接交于点，作于点．如图：，．，．四边形是正方形．第37页（共37页）\n．根据折叠性质，，．．．．．．．．．．．．故选：．【点评】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理，面积法求三角形的高等知识．本题关键在于利用勾股定理建立等式，求出边的长度．12．（4分）（2021•自贡）如图，直线与坐标轴交于、两点，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，绕点顺时针旋转，边扫过区域（阴影部分）面积的最大值是　　第37页（共37页）\nA．B．C．D．【分析】设，则，根据图形可表示出扫过区域（阴影部分）面积是两个扇形面积之差，将面积表示出来，利用二次函数性质即可求最大值．【解答】解：设，则．，．绕点顺时针旋转．．．第37页（共37页）\n扫过区域（阴影部分）面积．当时，的最大值为：．故选：．【点评】本题考查了一次函数性质，二次函数的性质，扇形面积等知识，关键在于理解旋转前后的两个图形全等，从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积之差．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）（2021•自贡）请写出一个满足不等式的整数解　6（答案不唯一）　．【分析】直接解不等式，再利用估算无理数的方法得出的取值范围，即可得出答案．【解答】解：，，，，，故满足不等式的整数解可以为：6（答案不唯一）．故答案为：6（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确估算出无理数的大小是解题关键．第37页（共37页）\n14．（4分）（2021•自贡）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占，期末考试成绩占，小彤的这两项成绩依次是90，80．则小彤这学期的体育成绩是　83　．【分析】将小彤体育课外活动、期末考试的成绩分别乘以对应的百分比，再求和即可．【解答】解：小彤这学期的体育成绩是，故答案为：83．【点评】本题主要考查加权平均数，加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数．15．（4分）（2021•自贡）化简：　　．【分析】先把分子分母因式分解，进行通分，计算即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了分式的化简，把分子分母因式分解是解题的关键．16．（4分）（2021•自贡）如图，某学校“桃李餐厅”把第37页（共37页）\n密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是　244872　．【分析】根据前面三个等式，寻找规律解决问题．【解答】解：由三个等式，得到规律：⊕可知：，⊕可知：，⊕可知：，⊕．故答案为：244872．【点评】本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键．17．（4分）（2021•自贡）如图，的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】取格点，连接，取的中点，作射线即可．【解答】解：如图，射线即为所求作．第37页（共37页）\n【点评】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18．（4分）（2021•自贡）当自变量时，函数为常数）的最小值为，则满足条件的的值为　　．【分析】分及两种情况去绝对值，再根据函数的增减性，结合最小值为列出方程，即可得答案．【解答】解：当时，函数，此时随的增大而增大，而时，函数的最小值为，时取得最小值，即有，解得，（此时，成立），当时，函数，此时随的增大而减小，而时，函数的最小值为，时取得最小值，即有，此时无解，故答案为：．【点评】本题考查去绝对值及一次函数的最小值，解题的关键是分和去绝对值．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2021•自贡）计算：．第37页（共37页）\n【分析】利用算术平方根，绝对值和零指数幂的意义进行运算．【解答】解：原式．【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，绝对值的意义，零指数幂的意义．熟练应用上述法则是解题的关键．20．（8分）（2021•自贡）如图，在矩形中，点、分别是边、的中点．求证：．【分析】根据矩形的性质和已知证明，，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到答案．【解答】解：四边形是矩形，，，又、分别是边、的中点，，又，四边形是平行四边形，．【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．21．（8分）（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据，，第37页（共37页）\n【分析】由题意可知米，，因为，可求出，又由，可求出，即得到答案．【解答】解：由题意可知米，，，．，（米．故办公楼的高度约为10.4米．【点评】本题考查的是解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．22．（8分）（2021•自贡）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有，两种型号的无人机都被用来运送快件，型机比型机平均每小时多运送20件，型机运送700件所用时间与型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？【分析】设型机平均每小时运送快递件，则型机平均每小时运送快递件，根据工作时间工作总量工作效率结合型机运送700件所用时间与型机运送500件所用时间相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设型机平均每小时运送快递件，则型机平均每小时运送快递件，第37页（共37页）\n根据题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的根，且符合题意，，答：型机平均每小时运送快递70件，型机平均每小时运送快递50件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（10分）（2021•自贡）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为：（优秀）、（良好）、（合格）、（不合格）四个等级．小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制了如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是　100　，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数．【分析】（1）由已知等级的人数为25人，所占百分比为，可得样本容量；利用样本容量可求，等级的人数；（2）依据题意列出表格后求得概率；第37页（共37页）\n（3）利用样本估计总体的思想，用样本的优秀率估计总体的优秀率可得结论．【解答】解：（1）由条形统计图可得等级的人数为25人，由扇形统计图可得等级的人数占比为，样本容量为，．补全条形统计图如下：故答案为：100．（2）等级的学生有：（人．由题意列表如下：由表格可得，共有20种等可能，其中恰好回访到一男一女的等可能有12种，第37页（共37页）\n恰好回访到一男一女的概率为．（3）样本中（优秀）的占比为，可以估计该校2000名学生中的（优秀）的占比为．估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为：（人．【点评】本题主要考查了统计的相关知识，包括总体，个体，样本，样本容量，利用列表法或画树状图求事件的概率，用样本估计总体的思想，条形统计图等，准确的理解相关的数量指标，并熟练的应用是解题的关键．24．（10分）（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质．列表如下：012340（1）直接写出表中、的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当时，函数图象关于直线对称；②时，函数有最小值，最小值为；③时，函数的值随的增大而减小．其中正确的是　②③　．（请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式的解集　　．第37页（共37页）\n【分析】（1）利用函数解析式分别求出和对应的函数值；然后利用描点法画出图象即可；（2）观察图象可知当时，随值的增大而增大；（3）利用图象即可解决问题．【解答】解：（1）把代入得，，把代入得，，，，函数的图象如图所示：第37页（共37页）\n（2）观察函数的图象，①当时，函数图象原点对称；错误；②时，函数有最小值，最小值为；正确；③时，函数的值随的增大而减小，正确．故答案为②③；（3）由图象可知，函数与直线的交点为、、不等式的解集为或．【点评】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．25．（12分）（2021•自贡）如图，点在以为直径的上，过作的切线交延长线于点，于点，交于点，连接，．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的长．【分析】（1）连接，证明，推出，再证明即可解决问题．（2）如图，连接．证明，可得结论．第37页（共37页）\n（3）过点作于．由，假设，，则，，在中，利用勾股定理求出，再利用（2）中结论求出，再根据，推出，可得结论．【解答】（1）证明：如图，连接．是的切线，，，，，，，．（2）证明：如图，连接．是直径，，，，，，，第37页（共37页）\n，，，，．（3）解：过点作于．是的切线，，，可以假设，，则，，，，，，，或（舍弃），，，，第37页（共37页）\n，，，，，，，，．【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．26．（14分）（2021•自贡）如图，抛物线（其中与轴交于、两点，交轴于点．（1）直接写出的度数和线段的长（用表示）；（2）若点为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点，使得第37页（共37页）\n？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接利用抛物线的解析式求出，，的坐标即可解决问题．（2）证明，推出，由此构建方程，即可解决问题．（3）作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接．证明，推出当点与点重合时满足条件．作点关于直线的对称点，则，作直线交抛物线于，点满足条件，构建一次函数，利用方程组确定交点坐标即可．【解答】解：（1）定义抛物线，令，可得或，，，令，得到，，，，．，．第37页（共37页）\n（2）是等腰直角三角形，，点是的外心，，，也是等腰直角三角形，，，，解得或（舍弃），抛物线的解析式为．（3）作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接．，，第37页（共37页）\n，，关于直线对称，，四边形是等腰梯形，，，，当点与点重合时满足条件，．作点关于直线的对称点，则，作直线交抛物线于，点满足条件，，，直线的解析式为，由，解得或，，，综上所述，满足条件的点的坐标为或，．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是证明是等腰直角三角形，学会添加辅助线，寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．第37页（共37页）\n第37页（共37页）