2021年广西北部湾经济区中考数学试卷

2021年广西北部湾经济区中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1．（3分）（2021•广西）下列各数是有理数的是（　　）A．πB．2C．33D．02．（3分）（2021•广西）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（　　）A．B．C．D．3．（3分）（2021•广西）如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是（　　）A．14B．13C．12D．234．（3分）（2021•广西）我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为（　　）A．4×109B．40×107C．4×108D．0.4×1095．（3分）（2021•广西）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（　　）第31页（共31页）\nA．这一天最低温度是﹣4℃B．这一天12时温度最高C．最高温比最低温高8℃D．0时至8时气温呈下降趋势6．（3分）（2021•广西）下列运算正确的是（　　）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a6÷a2＝a3D．3a2﹣2a＝a27．（3分）（2021•广西）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，3）8．（3分）（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（　　）A．2B．3C．2D．39．（3分）（2021•广西）函数y＝2x+1的图象不经过（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第31页（共31页）\n10．（3分）（2021•广西）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（　　）A．y=3x-2y=2x+9B．y=3(x-2)y=2x+9C．y=3x-2y=2x-9D．y=3(x-2)y=2x-911．（3分）（2021•广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB=2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为（　　）A．22B．23C．12D．5312．（3分）（2021•广西）定义一种运算：a*b=a，a≥bb，a＜b，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（　　）A．x＞1或x＜13B．﹣1＜x＜13C．x＞1或x＜﹣1D．x＞13或x＜﹣1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）13．（3分）（2021•广西）要使分式1x-2有意义，则x的取值范围是　　．14．（3分）（2021•广西）分解因式：a2﹣4b2＝　　．15．（3分）（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为　　第31页（共31页）\n米（结果保留根号）．16．（3分）（2021•广西）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是　　．17．（3分）（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是　　．18．（3分）（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为　　．三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）第31页（共31页）\n19．（6分）（2021•广西）计算：23×（-12+1）÷（1﹣3）．20．（6分）（2021•广西）解分式方程：xx+1=x3x+3+1．21．（8分）（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．22．（8分）（2021•广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.74.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0整理数据：质量（kg）4.54.64.74.84.95.0数量（箱）217a31分析数据：平均数众数中位数4.75bc（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．第31页（共31页）\n（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？23．（8分）（2021•广西）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF．∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE＝DF．又S△ABC=12BC•AE，S△DBC=12BC•DF．∴S△ABC＝S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．第31页（共31页）\n24．（10分）（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=-112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-18x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．25．（10分）（2021•广西）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；第31页（共31页）\n（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．26．（10分）（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝62，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求ABNH的值．第31页（共31页）\n2021年广西北部湾经济区中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）1．（3分）（2021•广西）下列各数是有理数的是（　　）A．πB．2C．33D．0【解答】解：0是有理数．故选：D．2．（3分）（2021•广西）如图是一个几何体的主视图，则该几何体是（　　）A．B．C．D．【解答】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是．故选：C．3．（3分）（2021•广西）如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是（　　）第31页（共31页）\nA．14B．13C．12D．23【解答】解：小明恰好在C出口出来的概率为13，故选：B．4．（3分）（2021•广西）我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面．经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为（　　）A．4×109B．40×107C．4×108D．0.4×109【解答】解：400000000＝4×108，故选：C．5．（3分）（2021•广西）如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（　　）A．这一天最低温度是﹣4℃B．这一天12时温度最高C．最高温比最低温高8℃第31页（共31页）\nD．0时至8时气温呈下降趋势【解答】解：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是8℃，最低气温是﹣4℃，从0时至4时及14时至24时，这天的气温在逐渐降低，从4时至14时，这天的气温在逐渐升高，故A正确，B，D错误；这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，故C错误；故选：A．6．（3分）（2021•广西）下列运算正确的是（　　）A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a6÷a2＝a3D．3a2﹣2a＝a2【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；C．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；D．3a2﹣2a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意．故选：A．7．（3分）（2021•广西）平面直角坐标系内与点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（　　）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（4，3）【解答】解：点P（3，4）关于中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣4）．故选：B．8．（3分）（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（　　）第31页（共31页）\nA．2B．3C．2D．3【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∠BAC＝30°，∴∠ACO＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∵OC⊥AB，∴OD=12OC＝2，故选：C．9．（3分）（2021•广西）函数y＝2x+1的图象不经过（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵k＝2＞0，图象过一三象限，b＝1＞0，图象过第二象限，∴直线y＝2x+1经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．第31页（共31页）\n10．（3分）（2021•广西）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为（　　）A．y=3x-2y=2x+9B．y=3(x-2)y=2x+9C．y=3x-2y=2x-9D．y=3(x-2)y=2x-9【解答】解：设共有y人，x辆车，依题意得：y=3(x-2)y=2x+9．故选：B．11．（3分）（2021•广西）如图，矩形纸片ABCD，AD：AB=2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为（　　）A．22B．23C．12D．53【解答】解：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：第31页（共31页）\n由折叠A与A'对应易知：∠AOE＝90°，∵∠EAO+∠AEO＝90°，∠EAO+∠AGD＝90°，∴∠AEO＝∠AGD，即∠FEH＝∠AGD，又∵∠ADG＝∠FHE＝90°，∴△ADG∽△FHE，∴EFAG=HFAD=ABAD=12=22，故选：A．12．（3分）（2021•广西）定义一种运算：a*b=a，a≥bb，a＜b，则不等式（2x+1）*（2﹣x）＞3的解集是（　　）A．x＞1或x＜13B．﹣1＜x＜13C．x＞1或x＜﹣1D．x＞13或x＜﹣1【解答】解：由新定义得2x+1≥2-x2x+1＞3或2x+1＜2-x2-x＞3，解得x＞1或x＜﹣1故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）13．（3分）（2021•广西）要使分式1x-2有意义，则x的取值范围是　x≠2　．【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式1x-2有意义．故答案为：x≠2．14．（3分）（2021•广西）分解因式：a2﹣4b2＝　（a+2b）（a﹣2b）　．【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．第31页（共31页）\n故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．15．（3分）（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为　（30﹣103）　米（结果保留根号）．【解答】解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∴BD=33AB＝103（m），∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣103）m，故答案为：（30﹣103）．16．（3分）（2021•广西）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是　89分　．【解答】解：小婷的综合成绩为84×50%+95×40%+90×10%＝89（分），第31页（共31页）\n故答案为：89分．17．（3分）（2021•广西）如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是　33　．【解答】解：连接AC、AE，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=12∠BAD=12×120°＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∵圆弧与BC相切于E，∴AE⊥BC，∴BE＝CE＝1，∴AE=AB2-BE2=22-12=3，设圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr=120×π×3180，解得r=33，即圆锥的底面圆半径为33．故答案为33．第31页（共31页）\n18．（3分）（2021•广西）如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为　y＝（x-2513）2　．【解答】解：过C、D作x轴平行线，作B关于直线y＝4的对称点B'，过B'作B'E∥CD，且B'E＝CD，连接AE交直线y＝9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y＝4于D'，如图：第31页（共31页）\n作图可知：四边形B'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，∴B'E∥CD，C'D'∥CD，且B'E＝DP，C'D'＝CD，∴C'D'∥B'E且C'D'＝B'E，∴四边形B'EC'D'是平行四边形，∴B'D'＝EC'，∵B关于直线y＝4的对称点B'，∴BD'＝B'D'，∴EC'＝BD'，∴AE＝AC'+EC'＝AC'+BD'，即此时AC'+BD'转化到一条直线上，AC'+BD'最小，最小值为AE的长度，而AB、CD为定值，∴此时四边形ABC′D′的周长最小，第31页（共31页）\n∵B（3，0）关于直线y＝4的对称点B'，∴B'（3，8），∵四边形B'ECD是平行四边形，C（﹣3，9），D（2，4），∴E（﹣2，13），设直线AE解析式为y＝kx+b，则0=k+b13=-2k+b，解得k=-133b=133，∴直线AE解析式为y=-133x+133，令y＝9得9=-133x+133，∴x=-1413，∴C'（-1413，9），∴CC'=-1413-（﹣3）=2513，即将抛物线y＝x2向右移2513个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，∴此时抛物线为y＝（x-2513）2，故答案为：y＝（x-2513）2．三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）19．（6分）（2021•广西）计算：23×（-12+1）÷（1﹣3）．【解答】解：原式＝8×12÷（﹣2）＝4÷（﹣2）第31页（共31页）\n＝﹣2．20．（6分）（2021•广西）解分式方程：xx+1=x3x+3+1．【解答】解：去分母得：3x＝x+3x+3，解得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣3．21．（8分）（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△ABC和△CDA中，∠B=∠D∠CAB=∠ACDAC=CA，∴△ABC≌△CDA（AAS）；（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：第31页（共31页）\n（3）解：由（1）知：△ABC≌△CDA，∵四边形ABCD的面积为20，∴S△ABC＝S△CDA＝10，∴12AB•CE＝10，∵AB＝5，∴CE＝4．22．（8分）（2021•广西）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.74.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0整理数据：质量（kg）4.54.64.74.84.95.0数量（箱）217a31分析数据：平均数众数中位数第31页（共31页）\n4.75bc（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？【解答】解：（1）a＝20﹣2﹣1﹣7﹣3﹣1＝6，分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c=4.7+4.82=4.75，∴a＝6，b＝4.7，c＝4.75；（2）选择平均数4.7，这2000箱荔枝共损坏了2000×（5﹣4.7）＝600（千克）；（3）10×2000×5÷（2000×5﹣600）≈10.7（元），答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本．23．（8分）（2021•广西）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF．∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE＝DF．第31页（共31页）\n又S△ABC=12BC•AE，S△DBC=12BC•DF．∴S△ABC＝S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．【解答】解：【类比探究】过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∵DE＝CE，EF⊥CD，∴DF＝CF=12CD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°，∴AD∥EF，∴S△ADE＝S△ADF，∴S△ADE=12×AD×DF=12×4×2＝4；【拓展应用】如图③，连接CF，第31页（共31页）\n∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，∴∠BDC＝∠GCF，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BCD，∴S△BDF=12BC×BC＝8．24．（10分）（2021•广西）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=-112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-18x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；第31页（共31页）\n（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y=-18x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：4=c8=-18×42+4b+c，解得：b=32c=4，∴抛物线C2的函数解析式为：y=-18x2+32x+4；（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：-18m2+32m+4﹣（-112m2+76m+1）＝1，整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；（3）C1：y=-112x2+76x+1=-112（x﹣7）2+6112，当x＝7时，运动员到达坡顶，即-18×72+7b+4＞3+6112，解得：b＞3524．25．（10分）（2021•广西）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x第31页（共31页）\n的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．【解答】解：（1）设EF＝m．∵BC＝14，BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝8，∵AD＝8，∴AD＝DC＝8，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AC=2AD＝82，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°，∴∠AHE＝∠FGC＝90°，∵∠DAC＝∠C＝45°，∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°，第31页（共31页）\n∴AH＝EH＝x，CG＝FG＝x，∴3m＝82，∴m=823，∴EF=823．（2）∵DE＝DF＝x，DA＝DC＝8，∴AE＝CF＝8﹣x，∴EH=22AE=22（8﹣x），EF=2DE=2x，∴y=S1S2=12×(8-x)×62x×22(8-x)=3x，∴y=3x（0＜x＜8）．（3）如图③中，由（2）可知点P在y=3x上，当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时P（3，3），当直线MN⊥OP时，△OMN的面积最小，第31页（共31页）\n此时OM＝ON＝23，∴△MON的面积的最小值=12×23×23=6．26．（10分）（2021•广西）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD＝62，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE＝∠OCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若GF＝1，求cos∠AEF的值；（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求ABNH的值．【解答】（1）证明：∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠DOC＝∠OAE，第31页（共31页）\n∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AEF，∴∠DOC＝∠AEF，∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AFE+∠DOC＝90°，∵∠AFE＝∠OCD，∴∠OCD+∠DOC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）连接DF，如图：∵AD是⊙O的直径，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∵CD是⊙O的切线，∴∠G+∠DAF＝90°，第31页（共31页）\n∴∠ADF＝∠G，又∠DAF＝∠GAD，∴△ADF∽△AGD，∴AFAD=ADAG，∵AD＝62，GF＝1，∴AF62=62AF+1，解得AF＝8或AF＝﹣9（舍去），在Rt△AEF中，AE=EF2-AF2=AD2-AF2=22，∴cos∠AEF=AEEF=13；（3）延长CO交AF于K，连接MN、MF，如图：∵EF是⊙O直径，∴∠EAF＝90°，∵OC∥AB，∴∠CKA＝90°，即OK⊥AF，∵EF＝AD＝62，AF＝8，∴FO＝32，FK＝AK＝4，第31页（共31页）\nRt△OKF中，OK=FO2-FK2=2，∵∠G+∠OAF＝90°，∠OFA+∠AEF＝90°，且∠OAF＝∠OFA，∴∠G＝∠AEF，∴tanG＝tan∠AEF，即CKGK=AFAE，∴CKFK+GF=AFAE，即CK5=822，解得CK＝102，∵BH平分∠ABC，OC∥AB，∴∠CBH＝∠ABH＝∠CHB，∴CH＝BC＝OA＝32，∴MH＝CK﹣OK﹣OM﹣CH＝102-2-32-32=32，∴KH＝OK+OM+MH＝72，在Rt△AKH中，AH=AK2+KH2=42+(72)2=114，而∠MNH＝∠MFA=12∠MOA=12∠ABC＝∠ABH，且∠MHN＝∠HAB，∴△MNH∽△HBA，∴ABNH=AHMH=11432=573．第31页（共31页）