2021年浙江省杭州市中考数学试卷

2021年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）（2021•杭州）　　A．B．2021C．D．2．（3分）（2021•杭州）“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为　　A．B．C．D．3．（3分）（2021•杭州）因式分解：　　A．B．C．D．4．（3分）（2021•杭州）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连结，则　　A．B．C．D．5．（3分）（2021•杭州）下列计算正确的是　　A．B．C．D．6．（3分）（2021•杭州）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5第30页（共30页）\n万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为，则　　A．B．C．D．7．（3分）（2021•杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是　　A．B．C．D．8．（3分）（2021•杭州）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为　　A．B．C．D．9．（3分）（2021•杭州）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则　　第30页（共30页）\nA．B．C．D．10．（3分）（2021•杭州）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是　　A．和B．和C．和D．和二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。11．（4分）（2021•杭州）计算：　　．12．（4分）（2021•杭州）计算：　　．13．（4分）（2021•杭州）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连结，则　　．14．（4分）（2021•杭州）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为　　元千克．第30页（共30页）\n15．（4分）（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则　　（填“”、“”、“”中的一个）．16．（4分）（2021•杭州）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则　　度．三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17．（6分）（2021•杭州）以下是圆圆解不等式组的解答过程：解：由①，得，所以．由②，得，所以，所以．第30页（共30页）\n所以原不等式组的解是．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．18．（8分）（2021•杭州）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表组别（次）频数100～13048130～16096160～190a190～22072（1）求a的值；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．19．（8分）（2021•杭州）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．第30页（共30页）\n问题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若　　，求证：．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．20．（10分）（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数是常数，，与函数是常数，的图象交于点，点关于轴的对称点为点．（1）若点的坐标为，①求，的值；②当时，直接写出的取值范围；（2）若点在函数是常数，的图象上，求的值．21．（10分）（2021•杭州）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．（1）求证：；第30页（共30页）\n（2）若，求的面积．22．（12分）（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数，是常数，．（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：．23．（12分）（2021•杭州）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．（1）求证：．（2）已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．（3）已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：．第30页（共30页）\n2021年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）（2021•杭州）　　A．B．2021C．D．【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．【解答】解：．故选：．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的概念是解题关键．2．（3分）（2021•杭州）“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为　　A．B．C．D．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．【解答】解：．故选：．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定与的值是解题的关键．3．（3分）（2021•杭州）因式分解：　　A．B．C．D．第30页（共30页）\n【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：．故选：．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．4．（3分）（2021•杭州）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连结，则　　A．B．C．D．【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．【解答】解：，点是直线上的一个动点，连结，，故选：．【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．5．（3分）（2021•杭州）下列计算正确的是　　A．B．C．D．第30页（共30页）\n【分析】求出，，再逐个判断即可．【解答】解：．，故本选项符合题意；．，故本选项不符合题意；．，故本选项不符合题意；．，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：．6．（3分）（2021•杭州）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为，则　　A．B．C．D．【分析】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：，进而得出答案．【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为，则．故选：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量现在的量，为增长或减少的百分率．增加用，减少用．7．（3分）（2021•杭州）某轨道列车共有3第30页（共30页）\n节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是　　A．B．C．D．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把3节车厢分别记为、、，画树状图如图：共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，甲和乙从同一节车厢上车的概率为，故选：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．8．（3分）（2021•杭州）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为　　第30页（共30页）\nA．B．C．D．【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则，只需把开口向上的二次函数解析式求出即可．【解答】解：由图象知，、、组成的点开口向上，；、、组成的二次函数开口向上，；、、三点组成的二次函数开口向下，；、、三点组成的二次函数开口向下，；即只需比较、、组成的二次函数和、、组成的二次函数即可．设、、组成的二次函数为，把，，代入上式得，，解得；设、、组成的二次函数为，把，，代入上式得，，第30页（共30页）\n解得，即最大的值为，故选：．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．9．（3分）（2021•杭州）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则　　A．B．C．D．【分析】直接利用基本作图方法得出，再结合等腰直角三角形的性质表示出，的长，即可得出答案．【解答】解：，，平分，，，，第30页（共30页）\n，，设，故，．故选：．【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键．10．（3分）（2021•杭州）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是　　A．和B．和C．和D．和【分析】根据题干信息可知，直接令，若方程有解，则具有性质，若无解，则不具有性质．【解答】解：．令，则，解得或，即函数和具有性质，符合题意；．令，则，整理得，，方程无解，即函数和不具有有性质，不符合题意；．令，则，整理得，，方程无解，即函数和第30页（共30页）\n不具有有性质，不符合题意；．令，则，整理得，，方程无解，即函数和不具有有性质，不符合题意；故选：．【点评】本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，本题也可利用函数图象快速解答．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。11．（4分）（2021•杭州）计算：　　．【分析】根据直接解答即可．【解答】解：．【点评】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．12．（4分）（2021•杭州）计算：　　．【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．【解答】解：，故答案为．【点评】本题考查了合并同类项的法则，解题时牢记法则是关键．13．（4分）（2021•杭州）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连结，则　　．第30页（共30页）\n【分析】根据圆的切线性质可得出为直角三角形，再利用勾股定理求得长度．【解答】解：是的切线，为切点，，在中，，，，故：．【点评】本题考查了圆的切线性质，即圆的的切线垂直于过切点的半径．14．（4分）（2021•杭州）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示．甲种糖果乙种糖果单价（元千克）3020千克数23将这2千克甲种糖果和3千克乙种糖果混合成5千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这5千克什锦糖果的单价为　24　元千克．【分析】将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可．【解答】解：这5千克什锦糖果的单价为：（元千克）．故答案为：24．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求30、20第30页（共30页）\n这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．15．（4分）（2021•杭州）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则　　（填“”、“”、“”中的一个）．【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的关系推出角之间的关系．【解答】解：连接，由上图可知，，是等腰直角三角形，，又，同理可得，第30页（共30页）\n，则在中，有，是等腰直角三角形，，，故答案为：．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，可以根据各个点的坐标构造直角三角形求出各线段的长度，再根据边来判断角的大小．其解题关键在于构造相关的直角三角形．16．（4分）（2021•杭州）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则　18　度．【分析】连接,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得和为等腰三角形，,；由折叠可知,可得；由,,,可得,进而得到；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得；最后在中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．【解答】解：连接,如图：第30页（共30页）\n四边形是矩形，．是的中点，,,．,关对称，,．,,,．．,．,．设,则,．,．．故答案为：18．【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论,第30页（共30页）\n利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．三、解答题：本大题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17．（6分）（2021•杭州）以下是圆圆解不等式组的解答过程：解：由①，得，所以．由②，得，所以，所以．所以原不等式组的解是．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确过程如下：由①得，，，由②得，，，不等式组的解集为．【点评】第30页（共30页）\n本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（8分）（2021•杭州）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表组别（次）频数100～13048130～16096160～190a190～22072（1）求a的值；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．【分析】（1）用360减去第1、2、4组的频数和即可；（2）根据以上所求结果即可补全图形；第30页（共30页）\n（3）用第4组的频数除以该年级的总人数即可得出答案．【解答】解：（1）a＝360﹣（48+96+72）＝144；（2）补全频数分布直方图如下：（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为×100%＝20%．【点评】本题考查频数（率）分布直方图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19．（8分）（2021•杭州）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合），点在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点．若　①②或③　，求证：．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．第30页（共30页）\n【分析】若选择条件①，利用得到，则可根据“”可判断，从而得到；选择条件②，利用得到，则可根据“”可判断，从而得到；选择条件③，利用得到，再证明，则可根据“”可判断，从而得到．【解答】证明：选择条件①的证明为：，，在和中，，，；选择条件②的证明为：，，在和中，第30页（共30页）\n，，；选择条件③的证明为：，，，，，即，在和中，，，．故答案为①②或③【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形的性质．第30页（共30页）\n20．（10分）（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数是常数，，与函数是常数，的图象交于点，点关于轴的对称点为点．（1）若点的坐标为，①求，的值；②当时，直接写出的取值范围；（2）若点在函数是常数，的图象上，求的值．【分析】（1）①由题意得，点的坐标是，分别代入是常数，，，是常数，即可求得，的值；②根据图象即可求得；（2）设点的坐标是，，则点的坐标是，，根据待定系数法即可求得，，即可求得．【解答】解：（1）①由题意得，点的坐标是，函数是常数，，与函数是常数，的图象交于点，，，，；第30页（共30页）\n②由图象可知，当时，的取值范围是；（2）设点的坐标是，，则点的坐标是，，，，．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称的性质，待定系数法求函数的解析式，表示出的坐标是解题的关键．21．（10分）（2021•杭州）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．（1）求证：；（2）若，求的面积．【分析】（1）计算出和，利用等角对等边即可证明；（2）利用锐角三角函数求出即可计算的面积．【解答】（1）证明：平分，，，，，，；第30页（共30页）\n（2）解：由题意得，，，，．【点评】本题考查等腰三角形的判定以及利用锐角三角函数求值，解题的关键是求出和的度数．22．（12分）（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数，是常数，．（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：．【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；（2）已知,则．容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出．最后注意利用条件判断，得证．【解答】解：（1）由题意，得,解得,所以，该函数表达式为．第30页（共30页）\n并且该函数图象的顶点坐标为．（2）由题意，得,,所以，由条件，知．所以，得证．【点评】本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围．第（2）小问的关键是利用，首先对代数式化简，然后配方说明的范围，另外注意．23．（12分）（2021•杭州）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．（1）求证：．（2）已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．（3）已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：．第30页（共30页）\n【分析】根据的平分线交于点，知，由圆周角定理知，即可证；由（1）知，由得，即可计算的长度；先证，得出线段比例关系，即可得证．【解答】（1）证明：平分，，又，；（2）解：由（1）知，，，，，；（3）证明：，，，，，第30页（共30页）\n又，，，．【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键．第30页（共30页）