2022年高考文数真题试卷（全国乙卷）及答案

2022年高考文数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，则（　　）A．B．C．D．2．设，其中为实数，则（　　）A．B．C．D．3．已知向量，则（　　）A．2B．3C．4D．54．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（　　）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65．若x，y满足约束条件则的最大值是（　　）A．B．4C．8D．126．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（　　）A．2B．C．3D．7．执行下边的程序框图，输出的（　　）A．3B．4C．5D．68．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（　　）A．B．C．D．9．在正方体中，E，F分别为的中点，则（　　）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面10．已知等比数列的前3项和为168，，则（　　）A．14B．12C．6D．311．函数在区间的最小值、最大值分别为（　　）A．B．C．D．12．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（　　）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等差数列的前n项和．若，则公差　　．14．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为　　．15．过四点中的三点的一个圆的方程为　　．16．若是奇函数，则　　，　　．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）证明：.18．如图，四面体中，，E为AC的中点．（1）证明：平面平面ACD；（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．19．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号i12345678910总和0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6根部横截面积材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．附：相关系数．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．20．已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．21．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．已知a，b，c都是正数，且，证明：（1）；（2）．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】D11．【答案】D12．【答案】C13．【答案】214．【答案】15．【答案】或或或16．【答案】；17．【答案】（1）解：∵且∴∵sinB＞0∴∴C=C-A（舍）或C+（C-A）=π即：2C-A=π又∵A+B+C=π，A=2B∴C=（2）证明：由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．18．【答案】（1）证明：由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）解：依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，所以.19．【答案】（1）解：样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为（2）解：则（3）解：设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．则该林区这种树木的总材积量估计为20．【答案】（1）解：当时，x（0，1）1（1，+∞）f’（x）+0-f（x）↗　↘∴的最大值=f（1）=-1-ln1=-1（2）解：定义域为（0，+∞）根据（1）得：a=0时，f（x）max=-1＜0，∴f（x）无零点当a＜0时，∀x＞0，ax-1＜0，又x2＞0x（0，1）1（1，+∞）f’（x）+0-f（x）↗　↘∴∀x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）无零点当a＞0时，①当0＜a＜1时，＞1x（0，1）1（1，）（，+∞）f’（x）+0-0+f（x）↗　↘　↗∴∀x∈（0，]，f（x）≤f（1）=a-1＜0，又f（x）=+∞，∴f（x）恰有一个零点②当a=1时，，∴f（x）在（0，+∞）上递增，由f（1）=a-1=0可得，f（x）恰有一个零点③当a＞1时，∈（0，1]x（0，）（，1）1（1，+∞）f’（x）+0-0+f（x）↗　↘　↗∴∀x∈[，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0，又f（x）=-∞，∴f（x）恰有一个零点综上所得a取值范围为21．【答案】（1）解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：（2）证明：，所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点22．【答案】（1）解：因l：，所以，又因为，所以化简为，整理得l的直角坐标方程：（2）解：联立l与C的方程，即将，代入中，可得，所以，化简为，要使l与C有公共点，则有解，令，则，令，，对称轴为，开口向上，所以，，所以m的取值范围为.23．【答案】（1）证明：因为，，，则，，，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．（2）证明：因为，，，所以，，，所以，，当且仅当时取等号．